Navier-Stokes方程描述了简单的日常现象，例如从花园水管流出的水-但是，它们基于一个问题，其解决方案估计为一百万美元
在物理学中，有一些方程式描述了从拉伸时空到光子飞行的所有过程。 但是，只有一组方程组在数学上如此复杂，以至于它被选为七个“
千年问题 ”之一，为此，
克莱数学研究所提供了100万美元的奖金：这些是描述流体流动
的Navier-Stokes方程组 。
最近，我
写了关于这些方程式如何获得重要的新结果的文章。 这项工作表明，争取千年奖的进展将比预期的更加困难。 为什么这些方程式在数学上比诸如包括黑洞之类的令人震惊的物体的爱因斯坦场方程式更难理解，以描述流经软管的水这样的熟悉现象？
据我了解，答案在于湍流。 我们都经历过这种现象，是在不均匀的空气中，海拔10,000 m的情况下飞行，还是观察到沐浴水进入排水管的漏斗。 但是，知识并非来自于意识：湍流是物理世界中鲜为人知的领域之一。
无湍流的一个例子是平静的河流。 它的每个部分都以相同的速度沿相同的方向移动。 当河流破裂时，会出现湍流，因此河流的不同部分开始以不同的速度向不同的方向运动。 物理学家首先将湍流的形成描述为漏斗在平滑流动中的出现，然后将其描述为在第一个漏斗中形成了小的漏斗，甚至在这些漏斗中形成了较小的漏斗-大量的漏斗进入了液体，因此液体分解成离散的部分，每个部分彼此交互并朝着自己的方向移动。
研究人员想确切地了解平滑流如何分解成湍流，并在湍流造成损失之后对流体的未来形状进行建模。 但是，千年挑战的制定较为温和：您只需要证明解决方案始终存在即可。 也就是说，问题是，方程式可以描述任何流体，任何初始条件以及无限远的未来吗？
普林斯顿大学的数学家查理·费弗曼（Charlie Fefferman）说：“第一步只是试图证明这些方程组具有某些解。” “这并不能真正了解液体的行为，但是如果您也没有，那么您什么都不知道。”
那么，如何证明解决方案的存在呢？ 您需要先了解为什么可能不是。 Navier-Stokes方程意味着计算速度和压力等量的变化。 数学家担心以下情况：您使这些方程式消失，并且在有限的时间后，他们告诉您流体粒子以无限的速度运动。 这就是问题所在-计算无穷大的变化比除以零并不容易。 数学家将这种情况称为“爆炸”，并且在发生爆炸的情况下，方程式将停止工作，并且找不到解决方案。
Navier-Stokes方程描述了不可压缩流体的流动。
通常，质量（蓝色部分）和加速度（紫色）的乘积等于作用在液体上的力（橙色）：- ρ是流体密度；
- dV / dt-速度随时间变化；
- V∇V-运动的速度和方向；
- ∇P-内压变化；
- ρg-外力的影响（例如重力）；
- μV 2 V-内力的影响（粘度）。
没有爆炸（和存在溶液）的证明等同于任何液体粒子的最大速度仍然受到某个有限值限制的证明。 最重要的量之一是液体的动能。
当您开始使用Navier-Stokes方程模拟流量时，您的流体具有一些初始能量。 在湍流中，能量可以开始聚集。 可以将动能收集在任意大小的漩涡中，而不是在整个河流中均匀分布，并且这些漩涡中的粒子（理论上）可以加速到无限速度。
随着向越来越小的规模过渡，动能在决策控制中的作用越来越小。 这项决定可以做任何事情，而且我也不知道该如何控制。”普林斯顿大学的数学家弗拉德·维科尔（Vlad Vikol）说，他与特里斯坦·巴克马斯特（Tristan Buckmaster）撰写了一篇新著作。
数学家根据偏微分方程可在无限小的规模上开始表现不良的程度，对偏微分方程进行分类。 Navier-Stokes方程式处于这种规模的极端。 从某种意义上说，方程式数学的复杂性反映了它们必须能够描述的湍流的复杂性。
Vikol说：“当您放大某个位置时，然后从数学的角度来看，您将丢失有关解决方案的信息。” “但是湍流只能说明这一点-动能从大尺度到越来越小的尺度的转移，因此它确实要求您扩大规模。”
说到物理方程的数学性质，自然会问一个问题：这些论点会改变我们对待物理世界的方式吗？ 对于Navier-Stokes方程和Millennium问题，答案将是“是”和“否”。 经过近200年的实验，很明显，这些方程式起作用了：Navier-Stokes预测的流量与实验中观察到的流量连续重合。 如果您是在实验室工作的物理学家，这对您来说可能就足够了。 但是数学家需要了解更多-他们想检查是否有可能一直遵循这些方程式，以监控流量从一个时刻到另一个时刻（对于任何初始流体构造）如何精确地变化，甚至捕捉湍流的来源。
费弗曼说：“液体的行为充满了惊奇。” “这些惊奇原则上是由控制流体流动的基本方程式解释的，但是如何从控制流体运动的方程式转变为描述流体实际运动的方式是一个谜。”