两位数学家证明，在某些极端条件下，Navier-Stokes方程给出了胡说八道。
Navier-Stokes方程借助几个简单的术语描述了物理世界中最常见的现象之一：流体流动。 如今，这些方程式可以追溯到1820年代，用于描述从飞机的洋流和湍流到血液流入心脏的所有过程。
尽管物理学家认为这些方程是可靠的，就像锤子一样，但数学家却不信任它们。 对于数学家来说，这些方程似乎起作用并不大。 他们需要证明方程是无误差的：对于任何流体以及长期的预测（直到将来分布），方程的数学都不会失败。 找到这样的保证并不容易。 第一个可以证明Navier-Stokes方程将一直有效的人或团队-或提供一个证明它们不起作用的示例-能够因解决由
Clay数学研究所宣布
的千年问题之一而获得奖励，并获得一百万美元的奖励。 [截至2017年，格雷戈里·佩雷尔曼（Gregory Perelman）/大约完成了千年的七项任务（庞加莱假设）中的一项。 翻译]。
数学家已经开发出许多解决此问题的方法。 这项于9月出版的新著作提出了一个严重的问题，即多年来开发出的最受欢迎的解决方法之一能否成功。 普林斯顿大学的特里斯坦·巴克马斯特（Tristan Buckmaster）和弗拉德·维科尔（Vlad Vikol）撰写的这项工作是第一个结果，显示了在特定条件下Navier-Stokes方程如何给出与物理世界矛盾的描述。
Buckmaster说：“我们试图理解这些方程式固有的某些问题，以及人们为什么必须重新思考它们。”
Buckmaster和Vikola的工作表明，如果您在求解Navier-Stokes方程时做出非常粗略的假设，则它们开始变得毫无意义：他们说，具有相同初始条件的相同流体可以处于两种或更多种不同的状态。 它可以以一种方式或以完全不同的方式流动。 如果是这样，那么这些等式将无法可靠地描述它们所针对的物理世界。
爆炸方程
要了解方程如何分解，请想象一下洋流。 在其框架内，可以存在局部流动，因此，局部流动可以沿一个方向以一种速度运动，而其他部分则以另一种速度以另一方向运动。 局部水流在摩擦和水压的不断相互作用中相互作用，这决定了水流。
数学家使用一张地图为这种相互作用建模，该地图会向您通知流体中任何点的方向和流速。 该图称为矢量场，是流体内部动力学的快照。 Navier-Stokes方程将这张照片拍摄并复制为视频，告诉您在随后的每个瞬间向量场的精确度。
风向图（windy.com）的工作方式类似于矢量场。 在每个点，风都有一定的方向和强度。这些方程式起作用。 它们描述流体流动的可靠性与牛顿方程式预测行星的未来位置一样可靠。 物理学家不断地使用它们，并且它们不断地与实验结果相吻合。 但是，数学家需要的不仅仅是情节式确认-他们需要证明等式没有违反，无论您从哪个矢量场开始，以及将来在多远的距离上进行再现，这些等式始终可以为您提供证明新的，独特的矢量场。
这是“千年问题”的主题，它询问Navier-Stokes方程是否对所有时间点的所有起点都有解（该解实际上是矢量场）。 这些解决方案应确保流体中每个点的流的确切方向和强度。 以无限小的分辨率提供信息的解决方案称为“平滑”。 为了提供一个平滑的解决方案，该场的每个点都有一个与之关联的向量，该向量使您可以“平滑地”在该场周围旅行而不会卡在缺少该向量的点上-在该点上您将无法理解进一步的运动。
平滑解是物理世界的完整表示，但是从数学角度来看，它们可能并不总是存在。 研究此类方程的数学家担心这种情况：您运行Navier-Stokes方程并观察矢量场的变化。 经过一段有限的时间后，这些方程式告诉您某个流体粒子以无限的速度运动。 然后，您将遇到问题。 这些方程式包括测量诸如压力，摩擦和流体速度等性质的变化-用术语来说，它们采用这些量的导数-但采用无限量的导数比除以零并不容易。 因此，如果方程式给出无穷大的值，我们可以说它们拒绝了您，或者“爆炸了”。 他们无法再描述流体的后续状态。
这样的“爆炸”证明了这些方程式缺少对它们必须描述的物理世界某些特性的描述。 “也许这些方程式不能涵盖真实流体的所有影响，因为在真实流体中，我们并不期望无限的粒子速度，” Buckmaster说。
千年问题的解决方案是要么表明Navier-Stokes方程永远不会爆炸，要么找到发生这种情况的条件。 数学家使用的策略之一是减轻对这些方程式描述所需解决方案的精确度的要求。
流量扰动
Navier-Stokes方程必须描述具有任何初始条件的任何流体的流动，并将其无限扩展到未来。 为了证明这种能力，数学家有时会“弱化”，也就是说，他们使用描述流体的矢量场的近似描述。 但这有困难。
理想情况下，数学家希望证明将Navier-Stokes方程应用于任何连续的“平滑”流体将产生一个独特的结果。
但是，使用“弱”（而不是那么详细的矢量场）更容易。 数学家已经发现，一些较弱的描述会产生非唯一的结果-它们允许相同的流体以两种方式在相同的初始条件下流动。
从弱到平滑
当数学家研究诸如此类的方程式时，他们有时会开始扩展构成解决方案的定义。 光滑的解需要最大的信息-在Navier-Stokes的情况下，它们要求在与液体关联的向量场中的每个点都存在一个向量。 但是，如果我们放宽要求，并说只需要为该字段的某些点计算向量，或者只需要获得向量的近似值，该怎么办？ 这样的决定称为“弱”。 它们使数学家无需完全找到所有解（这在实践中是不可能的）的繁琐工作即可感觉到方程的行为。
普林斯顿大学数学家Tristan Buckmaster“从某些角度来看，较弱的决定比真实的决定更容易描述，因为您需要了解的少得多，”与Lazlo Schekelikhidi共同撰写的Camillo De Lellis说。他撰写了几本重要著作，为Buckmaster和Vikola的工作奠定了基础。
弱解决方案有不同的等级。 如果您想象具有无限分辨率的液体数学图像形式的平滑解，那么弱解将类似于该图像的32位，16位或8位版本。
1934年，法国数学家
让·雷雷（Jean Leray）定义了一类重要的弱解。 代替使用精确的向量，“ Leray解”采用向量场的较小邻域中向量的平均值。 Leray证明了您始终可以求解Navier-Stokes方程，从而使您的决策可以采用这种形式。 换句话说，莱拉的决定不会爆发。
Lera的成就决定了解决Navier-Stokes问题的新方法：从Lera的解决方案开始，该解决方案的存在已经为人所知，然后看看它们是否可以转化为您想证明其存在的平滑解决方案。 此过程类似于从一幅粗糙的图片开始的过程，然后查看是否可以逐渐扭曲分辨率以实现逼真的图像。
Bakmaster说：“一种可能的策略是证明这些弱小的Lera的决定是平稳的，如果可以证明它们是平稳的，那么您将解决千年挑战。”
弗拉德·沃考（Vlad Vkol）代表了一半的团队，他们发现了检查Navier-Stokes方程的方法中的问题。还有另一个问题。 Navier-Stokes方程的解对应于实际的物理事件，并且物理事件以一种可能的方式发生。 鉴于此，我希望您的方程式只有一组唯一的解。 如果这些方程式为您提供许多可能的解决方案，则它们将无法完成工作。
因此，只有Leray的解决方案具有独特性，数学家才能使用Leray的解决方案来解决“千年问题”。 根据Navier-Stokes规则，非唯一Leray解决方案将意味着具有相同初始条件的相同流体可以进入两种不同的物理状态，这些物理状态没有物理意义，并且意味着方程式实际上并未描述应该怎么办。
Bakmaster和Wikol的新结果是第一个暗示，即对于弱决策的某些定义可能会发生。
许多世界
在他们的新工作中，Buckmaster和Wikol考虑的解决方案甚至比Leray的解决方案更弱-这些解决方案使用与Leray相同的平均原理，但又削弱了一个额外的要求（称为能量不平等）。 他们使用“凸积分”方法，该方法源于数学家约翰·纳什（John Nash）的几何工作，后来由De Lellis和Schekelikhidi参与了液体的研究。
Buckmaster和Wikol使用这种方法证明了Navier-Stokes方程的这些非常弱的解不是唯一的。 例如，它们证明了，如果您从一种完全平静的液体开始，例如在床旁喝一杯水，则可能发生两种类型的事件。 第一个很明显：水开始处于平静状态，并且始终保持平静。 第二个是奇妙的，但在数学上是可能的：水从平静状态开始，在深夜爆炸，然后返回平静状态。
Vikol说：“这证明缺乏唯一性，因为可以从初始数据构造至少两个对象。”
Buckmaster和Wikol证明了Navier-Stokes方程的许多非唯一弱解（不仅是上述两个弱解）的存在。 该证据的重要性仍有待理解。 在某些时候，弱解可能变得如此弱，以致它们不再与应该模仿的更平滑解相关。 如果是这样，那么Bakmaster和Wikol所获得的结果将无济于事。
“这一结果显然是一种警告，但人们可以辩称，这种警告与最弱的决策弱点有关。 De Lellis说，“在Navier-Stokes方程式的情况下”，您可以希望有许多更强大的解决方案来实现更好的性能。
Backmaster和Wikol还在层次上进行了思考，他将目光投向了Lehr的决策-证明他们还接受了多种物理学，其中来自同一状态的同一流体将来可能会以不同的形式出现。
“ Tristan和我相信Leray的决定并非独一无二。 我们尚未证明这一点，但我们的工作为攻击该任务奠定了桥头堡。