引言
为了确定伞兵质心运动的弹道-时间特性，必须选择一种简化的数学模型，该模型对于分析研究而言是相当容易获得的，同时保留了原始物体的最典型特征。
为了建立伞兵运动的简化数学模型，对常数和时间参数进行了分析，确定，系统化。
当前不存在用于构造非线性数学模型的常规且充分合理的方法，但是，对于解决特定问题，只要正确构造非线性微分方程的初始系统，用于求解它们的数值方法就可以得出足够的结果。
该出版物的目的是考虑到海拔高度和空气质量密度变化的影响，对描述飞机上伞兵降落运动的所有阶段的微分方程系统进行编译和数值求解。
伞兵运动的弹道时间特征
常数和有限变量参数包括：
H-伞兵释放的高度；
V0-飞机速度；
k-伞兵的体重，身高；
g是重力加速度；
ρ是空气密度；
T是气温。
临时（变量）参数包括：
tn-着陆时间，
w是风速；
V是伞兵的速度；
u是上升（下降）流的速度；
d-漂移（从投影到出射点地面到着陆点的距离）；
C是着陆物体的阻力系数；
F-着陆物体的中段。
跳跃阶段
第一阶段是与飞机分离后的自由落体：
第二阶段是减少稳定降落伞：
稳定降落伞的主要特性是将跳伞者稳定在最适合主降落伞的位置。
第三阶段 -填充主降落伞的圆顶：
第四阶段是减少开放降落伞：
编制跳伞所有阶段的微分方程组
我们选择以弹射点O为中心的固定坐标系OXY。轴OX与飞机速度的水平分量的方向重合。 OY轴在与跳伞者垂直速度相反的方向上垂直向上指向。
我们将假设伞兵的运动是平坦的，并且发生在OXY平面上。 可以将这种跳跃模型视为在不考虑风的影响的情况下在平静天气中的跳跃模型。
我们认为，除了重量以外，伞兵还受到与伞兵速度的平方成正比的空气阻力的影响：
，
其中：
，
-空气密度，C-阻力系数，F-身体的中段。
随着高度的增加，空气温度变化：
在10 km的高度已经达到最低温度。 并且是-55℃。 空气密度还取决于压力。 因此，在计算降落伞跳跃的弹道时，使用以下公式确定空气密度[1]较为方便：
，
在哪里
K / m;
-海平面温度； y是以米为单位的高度；
-y = 0时的空气密度；
。
在计算实践中，将增长的平方作为中间部分；将增长的平方作为中间部分。 可从表[2]中找到C的值：
Θ表示轨迹的倾斜角度。 根据组件的假设
，
速度向量V我们有：
用m除以所得系统方程的左右两边并表示
通过r，我们得到：
（1）
我们以函数V，θ，y（t），x（t）的微分方程组的形式写下跳伞者的运动方程。
鉴于：
，
，
和微分时间比例：
，考虑到方程式（1），我们得到：
，
。
因此，在初始条件下：
我们有以下微分方程组：
使用Python的微分方程组（2）的数值解
为了解决（2），我们将其重写为以下形式，引入受时间和空气密度控制的稳定阻力
和主要
降落伞分别乘以时间控制函数ks（t）和ko（t）：
，
其中：
–伞兵自由下落的时间；
-稳定降落伞在主降落伞打开之前的工作时间。
（3）
我们得到：
考虑到稀有空气导致自由落体率增加，并改变了该部分的轨迹性质。
这个问题可以借助于两个微分方程组来解决，这在下面给出（不包括降落伞和空气密度的变化）：
阻流器和空气密度的变化在扰流板下方的列表中显示，已将上述内容考虑在内且未作解释＃-*-编码：utf8-*-
从numpy import *
从scipy.integrate导入odeint
导入matplotlib.pyplot作为plt
m = 100
r0 = 1.3
c1 = 0.3
c2 = 0.6
c3 = 0.5
c4 = 0.75
S = 70
s = 0.8
SS = 1.5
g = 9.8
茶匙= 6
tsbp = 10
吨= 90.0
h = 1000.0
Beta = 1.25 * 10 **-4
阿尔法= 6.5 * 10 **-3
T0 = 300
def ks（t）：
如果t <tsp：
z = 0
否则：
z = 1
返回z
def ko（t）：
如果t <tsp + tsbp：
z = 0
否则：
z = 1
返回z
＃dy1 / dt = y2
＃dy2 / dt = g-（k1 * y2 ** 2）/ m-（k2 * y2）/ m-（ks（t）* k3 * y2 ** 2）/ m-（ko（t）* k4 * y2 ** 2）/米
def f（y，t）：
y1，y2 = y
r = r0 * exp（-beta * y1 * T0 /（T0-alfa * y1））
k1 = 0.5 * r * c1 * s
k2 = 0.5 * r * c2 * s
k3 = 0.5 * r * c3 * ss
k4 = 0.5 * r * c4 * S
返回[-y2，g-（k1 * y2 ** 2）/ m-（k2 * y2）/ m-（ks（t）* k3 * y2 ** 2）/ m-（ko（t）* k4 * y2 ** 2）/ m]
t =范围（0.0，tp）
y0 = [h，0.0]
[y1，y2] =节点（f，y0，t，full_output = False）.T
plt.title（“从1000米和800米高空跳伞”）
plt.plot（y1，y2，标签='海拔1000 m'）
h = 800.0
茶匙= 6
tsbp = 2
吨= 80.0
def ks（t）：
如果t <tsp：
z = 0
否则：
z = 1
返回z
def ko（t）：
如果t <tsp + tsbp：
z = 0
否则：
z = 1
返回z
def f（y，t）：
y1，y2 = y
r = r0 * exp（-beta * y1 * T0 /（T0-alfa * y1））
k1 = 0.5 * r * c1 * s
k2 = 0.5 * r * c2 * s
k3 = 0.5 * r * c3 * ss
k4 = 0.5 * r * c4 * S
返回[-y2，g-（k1 * y2 ** 2）/ m-（k2 * y2）/ m-（ks（t）* k3 * y2 ** 2）/ m-（ko（t）* k4 * y2 ** 2）/ m]
t =范围（0.0，tp）
y0 = [h，0.0]
[y1，y2] =节点（f，y0，t，full_output = False）.T
plt.plot（y1，y2，标签='高度800 m'）
plt.xlabel（'m的高度'）
plt.ylabel（“刻录速度（以米/秒为单位）”）
plt.legend（loc ='best'）
plt.grid（真实）
plt.show（）
我们得到：
结论
确定了从飞机降落的伞兵的质心运动的弹道-时间特性。
参考文献
- 大气压。
- 格拉西缅科I.A. 空降训练：教科书。 M .：军事出版，1986年。第1部分，第32页。