早期宇宙4.均匀膨胀宇宙的运动学

在免费讲座的网站上，麻省理工学院开放式课件（OpenCourseWare）发布了关于艾伦·古斯（ Alan Gus） 宇宙学的一系列课程，艾伦·古斯是宇宙通货膨胀模型的创造者之一。

邀请您关注第四讲的翻译：“一个均匀膨胀的宇宙的运动学”。

宇宙的各向同性和均匀性

上一次，我们研究了多普勒频移，并谈到了相对论这一特殊理论。 今天我们将开始讨论宇宙学。 我们将考虑一个统一扩展的宇宙的运动学描述。 我们认为，我们的宇宙非常近似。

在本讲座中，我们将介绍宇宙的一些基本描述属性。 当然，宇宙是一个非常复杂的对象。 例如，它包含我和您，我们非常复杂。 但是宇宙学并没有研究所有这一切。 宇宙学是对宇宙的一般研究。 我们将在最大尺度上考虑宇宙，用一个非常简单的近似模型对其进行描述。 特别是在非常大的范围内，通过三个属性可以很好地描述宇宙。

第一个属性是各向同性。 这个词来自希腊语，在各个方向上的含义相同。 当然，如果环顾四周，房间在各个方向上看起来都不一样。 观众的前排与后排不同。 城市风景与河景不同。 如果您进一步看向太空，则朝着处女座星团的方向（即我们的本地超级集群的中心）看，它看起来与朝相反方向的朝着不同。

但是，如果您以非常大的规模观察宇宙，在我们的情况下，这非常大的尺度意味着几亿光年，那么它就开始看起来非常各向同性。 如果进行平均，那么在很大的范围内，无论方向如何，都可以看到几乎相同的事物。

当您观察宇宙本底辐射时，这一点最为明显，这是我们可以看到的最远的物体。 大爆炸之后不久就出现了这种辐射。 值得回顾一下他的故事。

诞生大约头40万年，宇宙充满了等离子体。 在等离子体内部，光子无法自由移动。 它们以光速移动，但是在充满等离子体的自由电子上，散射截面非常大。 因此，光子不断地改变方向，并且它们在一个方向上的总运动可以忽略不计。

因此，光子被捕获在物质中，它们相对于等离子体的平均速度为零。 但是根据我们的计算，在大爆炸发生大约40万年后，宇宙降温得如此之快，以致等离子体变成了中性气体，就像观众中的空气一样。 空气对光子是透明的，因此光线从我到眼睛成直线移动，使您可以看到我的图像。

在观众和宇宙之间进行类比有点冒险。 大小完全不同。 但是在这种情况下，物理学是完全一样的。 一旦宇宙中充满了中性气体，它实际上就对宇宙背景辐射的光子变得透明。 从那时起，大多数这些光子沿直线自由移动。 今天，当我们观察它们时，我们实质上看到的是宇宙在大爆炸之后40万年的样子的图像。

在宇宙学中，宇宙中气体中和的过程称为重组。 实际上，此名称是不正确的，因为前缀“ re”表示重复动作，并且气体首次被中和。 我曾经问过吉姆·皮布尔斯（Jim Peebles），他为什么会选择这个名字？谁可能是第一次使用这个名字。 他回答说，“重组”一词用于等离子体物理学，因此在宇宙学中很自然地使用它。 但是对于宇宙学来说，这个名称是错误的，前缀“ re”在这里完全多余。

研究宇宙背景辐射时我们看到什么？ 我们看到它是各向同性的。 背景辐射温度的偏差约为千分之一。

$$

$$\ frac {δT} T = 10 ^ {-3}$$

这是一个非常小的数字，但实际上背景辐射更加各向同性。
该千分之一偏差具有确定的角度分布。 如果我们假设我们正在宇宙背景辐射中移动，那么就可以获得这样的角度分布。 太阳系通过背景辐射的这种运动解释了 $$$10 ^ {-3}$ 。

我们没有独立的方法来以足够的精度测量这种运动的速度。 我们只是对其进行自定义，以便尽可能消除数据偏差。 这是一个三参数拟合，我们可以更改速度的三个分量。 我们对整个天空都有一个复杂的角度辐射图，并且可以更改三个数字。

消除与我们的运动相关的偏差后，剩余偏差仍保持在水平 $$$10 ^ {-5}$ 十分之一。 辐射确实是各向同性的。 我问自己一个问题：是否可以对球进行抛光，使其精确地变成球形 $$$10 ^ {-5}$ 。 可以做到这一点，但是为此必须使用用于创建处理光波长量级的高精度透镜的技术。

因此 $$$10 ^ {-5}$ -确实具有很高的各向同性。 这就是我们的宇宙的样子。

宇宙的第二个特性是均匀性。 各向同性在各个方向上都是相同的。 同质性在所有地方都相同。 均质性更难以高精度验证。 为此，例如，您需要找出不同距离的星系密度是否相同。 为了检查各向同性，我们研究了宇宙背景辐射如何随角度变化。 但是要验证同质性，需要知道星系的分布如何随距离而变化，并且宇宙学中的距离很难测量。

据我们所知，宇宙仍然是相当均匀的，在几亿光年的尺度上，尽管很难确定。 但是，各向同性和同质性之间存在关系。

它们彼此非常相似，但是在逻辑上它们是不同的概念，值得花一点时间来了解它们之间的关系。 特别是，了解这些属性的含义的最佳方法是查看其中一个属性没有另一个发生的示例。

例如，假设我们有一个同质但非各向同性的宇宙。 这可能吗？如果可以，以什么方式呢？ 我希望您提出这样的例子。

学生：例如，一个宇宙，其中星系以恒定的密度分布，但是它们都沿某个方向旋转。

老师：的确，星系旋转，也就是说，它们具有角动量。 不同星系的角矩都可以朝某个方向看，这将是一个均匀但非各向同性的宇宙的例子。

另一个简单的例子是充满宇宙背景辐射的宇宙，其中所有在z方向上飞行的光子比在x或y方向上飞行的能量更高。 在这种情况下，宇宙也将是完全均匀的，而不是各向同性的。

您可以提出更多这样的例子。 现在，让我们尝试提出一个各向同性但异构的宇宙。 顺便说一下，各向同性的性质取决于观察者。 首先让我们提出一个对我们各向同性但异构的宇宙。 有人可以举个例子吗？

学生：我们周围的球形外壳。

老师：对。 球形结构。 我来画


如果我们在中心，并且物质呈球对称分布，那么宇宙对我们来说将是各向同性的，但不是均匀的。

这样的宇宙结构当然看起来很奇怪，因为我们不相信我们生活在宇宙中任何特殊的地方。 这是哥白尼革命的本质，它深深植根于科学家的心理学。

如果宇宙对于所有观察者都是各向同性的，那么它必须是同质的。 这就是为什么我们有信心我们的宇宙是同质的原因之一。 由于它对我们来说是各向同性的，因此我们认为每个人都应该是各向同性的。 那么它应该是均匀的。

我建议您考虑以下问题：如果宇宙相对于两个观察者是各向同性的，那么它是否可以是异质的？ 这实际上是一个比看起来更微妙的问题。

在欧几里得空间中，各向同性足以让两个不同的观察者保证均匀性。 但是对于非欧几里德空间，情况并非总是如此。 我们尚未讨论非欧几里德空间，因此，到目前为止，您可能无法使用它们。 例如，您可以在三维空间中采用曲面。

曲面是非欧几里得二维几何的很好的例子。 尝试提出一个二维表面，该表面在两个点上各向同性，但不是均匀的。 这是您下一堂课的作业。

各向同性和同质性是在很大程度上简化我们宇宙的两个关键特性。 第三个性质是宇宙的膨胀，这是哈勃定律所描述的。

哈勃定律

哈勃定律指出，平均而言，所有星系以恒定的速率远离我们 $$$H$ ，称为哈勃常数乘以到星系的距离， $$。 并非所有星系都适用该定律。 由于各向同性和均匀性是平均执行的，因此它是平均执行的。

现在，我想谈谈测量它的单位。 这将导致我们想到“差距”的概念。 天文学家测量哈勃常数，有时我将其称为哈勃参数，以每秒兆帕每秒的千米数：（km / s）/ Mpc为单位。 这是速度除以距离。 每秒的公里数是速度，而兆帕秒的速度是速度除以距离，这是应该的。

但是请注意，公里和兆帕是距离的单位。 它们之间只是固定的关系。 因此，哈勃常数实际上是时间减去一级。 但是，很少使用哈伯常数作为时间在负一阶中的表达。 相反，它以天文学家喜欢使用的单位表示。 它们像普通人一样以每秒公里数来测量速度。 但是它们以兆秒差距为单位测量距离，其中兆秒差距是一百万秒差距，并且该秒差距如图所示。


这个三角形的底数是一个天文单位，即地球与太阳之间的平均距离。 一个天文单位以等于一秒的角度可见的距离称为秒差距。 Parsec大约是三光年。 一分秒等于3.2616光年。 兆帕秒是一百万帕秒。

哈勃常数等于多少？ 她有一个非常有趣的故事。 它由George Lemeter于1927年首次测量，并以法文发表。 当时的这篇文章在世界其他地方都被忽略了。 她后来被发现。 莱默特不是天文学家。 他是一位理论宇宙学家。 我已经说过他拥有麻省理工学院的理论宇宙学博士学位。


他使用两种不同的计算方法，并使用了其他科学家的数据，得出的结果略有不同。 他在1927年收到的哈勃常数值为575至625（km / s）/ Mpc。 两年后，即1929年，哈勃在他的著名文章中获得了500（km / s）/ Mpc的值。


Lemeter和Hubble的文章之间有一个重要的区别。 首先，哈勃主要使用自己的数据，莱特默特使用其他科学家（主要是哈勃）的数据。 另外，哈勃声称该数据显示出比例性。 $$$v$ 和 $$。 莱默特（Lemeter）知道这对于一个均匀扩展的宇宙是正确的。 但是他认为证据不足以证明这一事实。 但是，他对于 $$$H$ 用星系的平均速度除以平均距离。


该图显示了哈勃数据。 显然他们不是很好。 星系的最大速度仅达到约1000 km / s。 奇怪的是-您可以看到速度延迟的垂直轴应该以每秒公里数为单位，但是哈勃在上面写了公里数。 但这并不能阻止在美国国家科学院的著作集中发表文章，当然，它也成为了著名的著作。

可以看出，数据是分散的。 在图形上绘制了直线，但是如果删除直线，则从数据本身看并不能真正看出连接是线性的。 但是，哈勃认为有足够的数据。 后来他收集了更多数据。 今天，毫无疑问，速度和距离之间存在线性关系。 在非常大的距离处，存在我们可以理解的偏差，但至少对于中等距离，该关系是线性的。

应当指出，相对于宇宙膨胀，太阳系通过宇宙背景辐射的速度也是太阳系的速度。 因此，哈勃和莱特米特都必须估算太阳系的速度，然后减去它，以获得类似于直线的数据。

Lemeter估计我们太阳系的速度为300 km / s，Hubble估计为280 km / s。 这是一个重要的更正，因为银河系的最大速度仅为每秒1000公里，并且该校正速度约为最大速度的三分之一。

学生 他们用什么来估算太阳系的速度？

老师：我认为他们只是加快了各个方向的平均扩张速度，使之大致相同。 老实说，我不确定。 但是在我看来，这是他们唯一可以使用的东西。

哈勃常数

从那时起，已经对哈勃常数进行了许多测量，并且该值发生了很大变化。 在40到60年代，沃尔特·巴德（Walter Baade）和艾伦·桑威奇（Allan Sandwich）扮演了整个角色。 同时，哈勃常数的值从哈勃和莱特米特获得的大值开始不断减小。

当我还是一名研究生时，每个人都说哈勃常数在50到100（km / s）/ Mpc之间。 不确定度仍然是2倍。 但是该值要低得多-比哈勃获得的值低5到10倍。 这个值仍然是宇宙学不确定性的主要来源。

哈勃常数的值从2001年开始细化。 然后启动了哈勃关键项目。 哈勃望远镜这个词是指哈勃望远镜，以埃德温·哈勃命名。 哈勃望远镜用于观测星系中的变造父变星，该变星远比造父变星以前能够观测到的变星远。 因此，可以测量更好的距离。 造父变星对于确定宇宙学中的距离至关重要。

所获得的值更加准确：72±8（km / s）/ Mpc。 同时，它仍然存在争议。 我必须说，当他们说哈勃常数在50到100的范围内时，这并不意味着误差太大。 实际情况是，有一组天文学家声称该值是50，而另一些天文学家则声称该值是100。当时，科学家认为哈勃常数约为50。时间，还使用了哈勃望远镜的数据。 在同一2001年，他们得出的值为60，准确度为10％。

2003年，使用WMAP卫星（即威尔金森微波各向异性探测器）（该卫星专门用于测量宇宙背景辐射的最小变化，达到十分之一的水平），它们的接收值为72±5（km / s）/ Mpc。 该值基于一年以上收集的数据。

在2011年，同一WMAP团队使用7年的数据，获得了70.2±1.4（km / s）/ Mpc的数字，这已经非常准确了。 最近的价值是通过使用类似于WMAP的卫星获得的，但更现代，功能更强大的卫星称为“ Planck”。 结果是67.3±1.2（km / s）/ Mpc的值有些出乎意料的低。

哈勃常数：
1927年Lemeter：575-625（km / s）/ Mps
1929哈勃：500（km / s）/ Mps
1940-70年Baade和Sandwich：50-100（km / s）/ Mpc
2001年Habble重点项目：72±8（km / s）/ Mpc
2001塔曼和三明治：60±6（km / s）/ Mpc
2003年WMAP：72±5
2011年WMAP：70.2±1.4（公里/秒）/ Mpc
2013普朗克：67.3±1.2（km / s）/ Mpc

学生：是什么导致了上个世纪至今的哈勃常数如此巨大的差异？

老师：在早期的测量中，科学家在估算距离时犯了一个大错误。 在我看来，这是由于对头孢西丁的不正确识别造成的。 他们以相同的方式使用了两种不同类型的头孢西丁，应该对它们进行不同的解释。我不确定这些细节，但是在估算距离时肯定是错误的。速度很容易测量，并且误差很大。

学生：最后获得的值70.2±1.4和67.3±1.2不在彼此误差的范围内。

老师：为什么会这样呢？没有人知道。我注意到，误差表示标准偏差-σ。结果不必在一个σ的误差之内。答案的概率为2/3，位于σ内，而答案的概率为1/3，则位于σ之外。

值相差约2.5σ。这意味着哈勃常数值以大约1％的概率满足两个测量。这是否可以接受仍在争论中。在实验物理学中，尤其是在宇宙学中，这种差异经常出现，人们对于这种指示是否非常重要或者这些差异是否随着时间消失常常有不同的看法。

我想补充一点，哈勃常数最初的高估对宇宙学的历史产生了非常重大的影响。使用“大爆炸”模型的科学家试图估算宇宙的年龄。结果取决于模型，物质的密度等。但是，哈勃常数是重要的参数。星系现在飞得越快，退到当前距离所需的时间就越少，我们的宇宙就越年轻。以非常好的准确性，对宇宙年龄的任何估计都与哈勃常数成反比。

由于哈勃常数的初始值与当前值相差7倍，因此宇宙的年龄也减少了7倍。科学家得出的结论是，根据大爆炸模型，宇宙的年龄是20亿年，而不是现在所认为的140亿年。

但是，在粗俗世纪的20到30年代，已经有大量的地质证据表明地球的年龄远超过20亿年。科学家们还对恒星的演化有所了解，很明显，许多恒星的年龄也超过20亿年。因此，宇宙不可能只有二十亿年的历史。这导致了大爆炸理论发展的严重问题。特别是，这被认为是所谓的静止宇宙理论的补充证据。根据这一理论，宇宙无限期地存在，并且随着其膨胀，产生了一种充满新空间的新物质，因此物质的密度保持不变。

在我看来，勒梅特（Lemaitre）在1927年的文章中构建了一个非常复杂的理论，因此它与已知的宇宙年龄不矛盾。代替大爆炸，他的模型从静态平衡开始，在静态平衡中，产生排斥性引力的正宇宙常数（我们在开幕演讲中谈到）补偿了普通物质的正常引力引力。也就是说，它原来是一个与爱因斯坦最初提出的类型完全相同的静态宇宙。

但是在Lemetre宇宙中，质量密度略小于爱因斯坦，因此它逐渐膨胀。普通重力不足以将其固定到位。随着时间的流逝，宇宙的膨胀加快了速度，并使获得的宇宙比简单的“大爆炸”模型中的宇宙大得多。

宇宙膨胀

现在，我要讨论哈勃展开定律的结果。乍一看，从哈勃定律看来，我们是宇宙的中心。所有星系都远离我们，所以我们处于中心。实际上并非如此。如图所示，如果仔细观察，就会发现，如果哈勃定律对一个观察者适用，对其他任何观察者也适用，只要没有办法测量绝对速度即可。

我们认为我们处于休息状态，但这只是我们对参照系的定义。如果我们生活在另一个星系中，那么我们同样会相信这个星系正在静止。该图仅显示了一个方向的扩展，但这足以说明该想法。

在上图中，我们认为我们生活在星系A中。其他星系以与距离成比例的速度远离我们。我们将这些星系均匀地放置在图中。邻近的星系正以极快的速度远离我们$$$v$ 。 下一个星系以2的速度移动 $$$v$ 。 接下来的速度3 $$v，依此类推，是无限的。现在我们要从星系A移到星系B。假设我们生活在星系B中，考虑星系B处于静止状态。现在，我们将在银河系B的参考系中描述我们的图片。银河系B没有速度，因为它相对于其参考系是静止的。在从一个参考系到另一个参考系的过渡中，我们将使用伽利略变换。考虑到相对论的模型将在后面讨论。当从一个参考系统移动到另一个参考系统时，我们要做的所有工作就是将等于两个参考系统之间速度差的固定速度增加到每个初始速度。$v$





为了从上到下，我们将速度添加到每个速度 $$v指向左侧。对于星系B，初始速度为$v$$$v并被指向右边。高速折叠后$v$$$v，指向左侧，我们得到0。这是我们需要的。我们正在进行一项转型，将使Galaxy B进入静止状态。添加后$v$

$$v到以该速度移动的星系Z的速度$v$$$v离开，我们得到速度2$v$$$v到左侧。当我们添加$v$$$v到银河Y，我们得到速度3$v$$$v到左侧。添加时$v$$$v到银河系C的速度，我们得到它的速度$v$$$v到右边。这将我们带到最底端。如果我们从银河B的角度看，那么邻近的星系就会以一定速度远离它$v$

$$$v$ 。 以下星系以2的速度被移除 $$v等。我们得到完全相同的图片。尽管哈勃的膨胀定律看起来像您位于宇宙的中心，但实际上它描述的是完全统一的画面。如果我们取宇宙的某个区域，然后进行均匀扩展，则每次看起来都相同。看起来像张照片。在每个后续时间点，图片看起来都像是原始图片的放大图像，但有一个重要的例外。星系之间的距离均匀增加，但每个星系都不会扩展。每个星系都保持其大小。$v$



如果我们谈论的是早期宇宙，那么在任何星系出现之前，我们将获得物质的均匀扩展。平均而言，每个分子将平均远离其他每个分子。

学生：我直到最后才明白，宇宙膨胀时，星系会在空间中移动，还是空间本身会膨胀？

老师：两种观点都是正确的。如果空间像水，那么可以在水中倒入一点灰尘，然后看一看，看看它们是否与水漂浮在一起。

但是，无法标记空格。根据相对论，不能说你是否相对于空间运动。谈论相对于空间的运动是没有意义的。谈论空间相对于您的移动也没有任何意义。

因此，两种观点都是正确的。但是，在某些情况下，例如，在封闭的Universe的情况下，如果从全局角度查看Universe，您可能会想知道，封闭的Universe的体积在扩展过程中是否会增加。在这种情况下，答案是肯定的，数量确实在增加。

因此，我们将假设宇宙本身正在膨胀。但是根据当地的观察，宇宙的膨胀与星系只是在太空中运动的说法没有区别。

学生：为什么星系本身不扩展？

老师：大爆炸发生后不久，宇宙中充满了几乎完全均匀的气体，气体均匀地膨胀。但是气体并不完全均匀。其密度有微小的波动。我们今天在宇宙背景辐射中看到的类似振动，是由早期宇宙中气体密度的波动引起的。

这些振动最终由于重力不稳定而变成星系。在质量略有多余的地方，都会创建一个稍强的引力场。它吸引了更多的物质，从​​而产生了更强的引力场。结果，这种几乎均匀分布的气体，其密度偏差很小，等于十分之一，变成了星系形式的巨大物质团。

形成银河系的重力压倒了宇宙的膨胀。形成银河系的物质在早期宇宙中膨胀。但是银河系的引力将其拉回。因此，星系达到最大大小，然后开始减小并达到平衡，在此旋转运动补偿重力并确定其最终大小。

比例因子和相关坐标系

该图显示了宇宙的膨胀。 小斑点代表星系。 一对星系之间的物理距离在左图中较小，而在右图中则较大。 描述均匀扩展系统的一种更方便的方法是引入随其扩展的坐标系。 我们称这些坐标为格（英文-缺口（notch，notch））。

分区是人造坐标；您可以将其视为地图上的标记。 通过统一扩展，我们可以将这些数字中的任何一个都视为宇宙区域地图。 然后，我们可以简单地通过将地图上的单位转换为具有不同比例因子的物理距离来继续其他任何图形。

如果马萨诸塞州每天变得越来越多，并且我们拥有一张马萨诸塞州卡，我们就不必每天都丢弃这张卡并购买一张新卡。 我们只需在地图一角重写比例尺，就可以考虑马萨诸塞州在同一张地图上的扩张情况。 首先，我们将1 cm表示为7 km，第二天将1 cm表示为8 km，然后将1 cm表示为9 km。

通过更改地图上的比例因子，我们可以描述一个扩展系统，而无需丢弃原始地图。 就宇宙而言，比例因子一词的含义完全相同。 我们将使用的坐标系称为伴随坐标系。

在伴随的坐标系中，星系的坐标大致恒定。 比例因子显示关联距离的单位的物理距离是多少，并随时间增加。 为了在以后的讲座中描述不断扩展的宇宙，我们将使用随附的坐标系。

所以物理距离 $$$l_p$ 在地图上的任意两个点之间的距离（来自英语，物理中的p）等于时间相关的比例因子 $$$a（吨）$ 乘以相关距离 $$$l_c$ （c来自英文comoving坐标-相关坐标）。

$$

$$l_p（t）= a（t）\ cdot l_c$$

物理距离是指现实世界中的距离。 如果我们谈论的是马萨诸塞州，那么这就是实际物理对象之间的距离（以公里为单位）。
对于同伴距离，我将使用与通常使用的定义稍有不同的定义。 在大多数书籍中，伴随距离，如物理距离，都是以长度（米）的普通单位来度量的。 因此，比例因子证明是无量纲的。 它仅显示您需要拉伸地图多少次才能匹配实际的物理距离。

在我看来，以通常的长度单位（例如米）而非地图中的分度来测量到地图的距离要方便得多。 这样做的优点之一是，如果您以不同的比例打印了不同的地图副本，则分区之间的距离会随着地图的物理尺寸而增长，并且无论使用哪种地图副本，其比例因子都是相同的。

但最重要的是，它允许您检查尺寸。 该卡在某些新的任意单元的帮助下进行了标记，这是该卡特有的。 我称这些部门为师。 分区只是我们用来标记地图的任意单位。 当然，物理距离是以米为单位或任何其他标准距离单位。

事实证明，比例因子以米/分度为单位，而不是无量纲的。 这样做的主要优点是，当您完成计算时，答案不应包含任何除法，因为您正在计算的是实数。 因此，可以很好地进行尺寸检查，以确保所有物理量的计算都不会消失。

此外，我想证明这种关系导致哈勃定律，并理解当比例因子改变时哈勃常数等于什么。 这是一个相当简单的计算。 到物体的物理距离 $$$l_p$ 由公式给出 $$$l_p（t）= a（t）\ cdot l_c$ 我们想知道它的速度是多少。 他的速度 $$$v_p$ 根据定义，它等于 $$$l_p（t）$ ：

$$

$$v_p = \ frac d {dt} l_p（t）= \ frac d {dt}（a \ cdot l_c）= \ frac {da} {dt} \ cdot l_c$$

从 $$$l_s$ 是恒定的。 平均而言，我们的星系位于一个伴随的坐标系中。

您可以通过除以并乘以一个稍微有用的方式重写此方程 $$$一$ ：

$$

$$v_p = \ frac {da} {dt} \ cdot l_c =（\ frac 1 {a} \ frac {da} {dt}）\ cdot a \ cdot l_c = \ frac 1 {a} \ frac {da} { dt} \ cdot l_p（t）$$

乘法和除法的优点是 $$$a（t）\ cdot l_c$ 相等 $$$l_p$ 物理距离。 事实证明，任何远程对象的速度都是 $$$\ frac 1a \ frac {da} {dt}$ 乘以该物体的距离。 这是哈勃定律。 此外，哈勃常数本身就是时间的函数，它等于：

$$

$$H（t）= \ frac 1 {a（t）} \ frac {da（t）} {dt}$$

如果我们知道如何改变 $$$一$ 根据时间，我们知道哈勃常数如何变化。 哈勃常数完全由函数决定 $$$a（吨）$ 。 我们还可以检查我所说的尺寸。 $$$一$ 以米/分度为单位，因此对于哈勃常数，我们得到的时间为减去一级的时间，因此分度数消失很重要。 除法应从任何物理量计算中消失。

我想再说一遍。 如今，几乎每个人都将比例因子指定为 $$$一$ 。 最初，比例因子是由亚历山大·弗里德曼（Alexander Fridman）提出的，他是第一个提出描述1920年代初宇宙膨胀的方程式的人。 他用字母R表示。Lemeter也用R字母。在我看来，爱因斯坦也可能用R字母。史蒂夫·温伯格（Steve Weinberg）撰写了一部有关引力和宇宙学的书，至今仍使用R字母。 R用作比例因子的工作。

使用字母R的缺点是，在相对论的一般理论中，R也意味着另一个概念。 这是所谓的标量曲率的标准符号。 因此，为了避免这两个量之间的混淆，目前，几乎所有的比例因子都表示为 $$$一$ 。

光传播

如果我们想研究不断扩展的宇宙，就需要了解光线如何通过它传播。 这很简单。 让 $$$x$ 是相关联的坐标（以格为单位进行测量），并且光束沿方向移动 $$$x$ 。 我可以写出这样的公式来描述这种光线的移动方式 $$$dx / dt$ 即光线在伴随的坐标系中移动的速度。

我们将使用的基本原理是，光始终以光速运动 $$$c$ 。 但是 $$$c$ 是光的物理速度，该速度以米每秒为单位测量。 一 $$$dx / dt$ -这是每秒以分度为单位测量的速度，因为我们随附的坐标系不是以米为单位，而是以分度为单位。 这非常重要，因为米和分度的比率一直在变化，并且我们希望以分度为单位进行测量，以便在可以使用的相关坐标的帮助下获得对宇宙描述的良好了解。

因此，我们想知道什么等于 $$$dx / dt$ 但这只是单位转换问题。 $$$dx / dt$ 是每秒的光速。 我们知道光速以米/秒为单位，等于 $$$c$ 。 因此，要将仪表转换为除法，只需要除以比例因子即可。 再次证明在分区中测量关联的长度很方便，因为我们可以检查得到的单位。

$$

$$\ frac {dx} {dt} = \ frac c {a（t）}$$

您可以通过检查尺寸来确保一切正确。 我将使用方括号指示单位。 因此，我们将检查获得了哪些计量单位 $$$s$ 除以 $$$a（吨）$ 。 当然，这是一个微不足道的问题，但是我们将确保获得正确的答案。

$$$c$ 当然，以米/秒为单位。 $$$a（吨）$ 正如我们所说，以每格米为单位 米减少了，我们得到每秒的分度数。

$$$$ display $$ [\ frac c {a（t）}] = \ frac {m / s} {m /除法} = \ frac {division}，$$显示$$

我说过，我们永远不要对物理量进行除法。 但是答案不是物理量。 这是关联坐标中的光速，并取决于我们选择的坐标。 因此，除法应该是每秒，因为 $$$x$ 分度a $$$t$ 以秒为单位。 所以我们把 $$$a（吨）$ 到正确的地方。 它应该在分母中，而不在分子中。

学生：为什么我们不考虑在宇宙膨胀时光源远离观察者的计算？

老师：事实是相对论说所有惯性观测器都是等效的，光速不取决于发出光束的光源的速度。 如果我对伴随的坐标系不动，那么我们可以假设我是惯性观测者。 如果光束飞过我，那么对我来说，它的速度是c，无论光束被释放在哪里，无论过去发生了什么。

实际上，我不是一个惯性观察者，因为宇宙中存在引力，但是我们将忽略它。 为了真正准确，我们必须使用相对论的一般理论。 我们将使用一个直观的解释，在我看来，这是显而易见的。 如果我相对于这个扩展的坐标系静止不动，那么我就是一个惯性观测器。 这样，我们将教导绝对准确的结果。

分度与米之间的比率，伴随距离与物理距离之间的比率完全相等 $$$a（吨）$ 。 所有这些都可以使用相对论的一般理论以更一般的形式来计算。 您可以将广义相对论与麦克斯韦方程组结合起来，并计算出光线的精确移动方式。 我们得到完全相同的结果。

宇宙时钟同步

现在，我想谈一谈宇宙学伴随坐标系中的时钟同步。 如您所知，在狭义相对论中，很难谈论长距离的时钟同步。 时钟同步取决于观察者的速度。 这是狭义相对论的原理之一，我在上一讲中谈到过。

在相对论的特殊理论中，没有通用的方法来同步时钟。 您可以为一个观察者同步时钟，但是对于另一个相对于第一个观察者移动的观察者，则不会同步它们。 就我们而言，这似乎更加复杂。 在伴随的坐标系中不动的时钟随飞行的星系移动。 所有这些手表都根据哈勃定律相对移动。

同步这种手表的想法似乎是无法克服的。 但是，事实证明，我们可以同步这样的时钟，并且可以引入所谓的宇宙学时间的概念，即所有这些手表上的时间都相同。 我认为相对于当地星系而言，静止不动的手表。 换句话说，相对于随之而来的扩展坐标系，它是静止不动的。

我们简化一切的主要假设是，我们正在考虑的宇宙是同质的。 这意味着，我所看到的并不取决于我在哪里。 如果我生活在一个星系中，拿出秒表，注意到哈勃常数从一个值到另一个值之间的变化之间有多长时间，那么我得到的时间将与其他任何星系中的时间完全相同。 否则，宇宙将是不均匀的。 同质性意味着每个人都能看到相同的事物。

因此，无论我们生活在这样一个宇宙中的何处，我们所有人都有共同的历史。 我们唯一不知道的是如何最初同步手表。 使我的手表上的时间与您的手表上的时间匹配。 但是，如果我们可以互相发送信号，我们可以同意-当哈勃常数为例如500（km / s）/ Mpc时，将时钟设置为零。 然后，我们将进行清晰的同步。

一旦我们以这种方式同步手表，对于我们每个人来说，哈勃常数就会根据同质性原理以相同的方式随时间变化。 在测量时间间隔时，我们得到相同的结果。 现在我们只需要测量时间间隔，因为我们同意将所有手表同时设置为一定的哈勃常数值。

您可能想知道我们有什么时钟同步选项。 我提到了哈勃常数。 当然，这是原则上可以用来同步宇宙模型中的时钟的参数之一。

我们可以使用比例因子本身来同步时间吗？ 不，由于分裂的模棱两可，我们不能。 我无法将我的部门与您的部门进行比较。 我们可以比较物理距离，因为它们与物理属性有关。 例如，氢原子的大小具有特定的物理大小，而不管它在我们宇宙中的位置如何。

我们可以使用氢原子来确定米，我们都将使用相同的米。 我们可以使用米来确定时间单位，即一米需要多长时间。 因此，我们可以就米和秒达成一致，因为它们与物理现象相关联，这些物理现象在我们同质的宇宙中到处都是相同的。 但是对于分裂，事实并非如此。 每个人都可以有自己的区分。 这只是他所抓牌的大小。

因此，我们不能比较比例因子，也不能同意在两个比例因子都有特定含义时将时钟设置在特定时间。 根据选择的分区，我们将获得不同的同步。 因此，与哈勃常数相反，比例因子不能用作同步机制。

如果我们回想起宇宙本底辐射，那么它的温度会随着宇宙的膨胀而降低。 因此，它也可以用于同步时钟。

我想说一句有趣的话。 对于我们的宇宙，哈勃常数随时间变化，背景辐射温度随时间变化。 使用它们进行同步没有问题。 但是，如果我们考虑宇宙的其他数学模型，那么我们可以想象一个哈勃系数恒定的宇宙。 实际上，在相对论一般理论出现之后不久就对这类模型进行了研究。 这就是所谓的de Sitter空间。 这样的事情发生在通货膨胀期间，因此我们稍后将讨论de Sitter空间。

在de Sitter空间中，哈勃系数绝对恒定，因此我提到的至少一种时钟同步机制消失了。 同样，在德西特的净空中，没有宇宙微波背景辐射，因此这种机制也消失了。 还有别的吗？ 事实证明，没有。 在de Sitter的空间中，无法同步时钟。 可以表明，如果以任何方式同步de Sitter空间中的时钟，则可以进行转换以使时钟不同步。 在这种情况下，空间将与以前相同。

因此，同步的概念不是那么简单。 这取决于哈勃常数是否随时间变化。 就我们真实的宇宙而言，它确实正在发生变化。