理查德·汉明（Richard Hamming）：第17章。数字滤波器-IV

“本课程的目标是为您的技术未来做好准备。”

哈Ha 还记得那篇很棒的文章“您和您的工作” （+219、2442个书签，393k读取）吗？

因此，汉明（是的，是的，自我检查和自我纠正的汉明代码 ）根据他的演讲编写了一整本书 。 我们正在翻译它，因为那个人在谈论生意。

这本书不仅是关于IT的书，还是关于令人难以置信的酷人的思维方式的书。 “这不仅仅是积极思考的冲动； 它描述了增加做出色工作机会的条件。”

我们已经翻译了30章中的24章。 我们正在纸上版。

Chapter 17.数字滤波器-IV

（感谢翻译，Andrei Pakhomov，他在“上一章”中回复了我的电话。）想要帮助翻译，排版和出版本书的人-用个人电子邮件或magisterludi2016@yandex.ru撰写

现在我们来看看递归过滤器，其格式如下：



此公式表明，只有第n个当前值的一侧具有值。 我们使用信号的先前值及其在当前时间un的值，以及在滤波器输出处获得的先前值。
这种经典方法是以下事实的结果：我们经常实时处理信号，而无法访问将来的信号值。

回顾基础知识，我们将看到，如果我们拥有“未来价值”，则双向预测可能会更加准确。 然后，要计算yn，我们会遇到一个可以立即求解线性方程式的系统-在廉价计算时代是可以​​的。 我们将这一观察结果放在一边，今天我们经常将信号记录在磁带或其他介质上，然后在实验室中处理数据-因此我们在某个时间点上具有未来价值。 例如，在图像处理中使用递归数字滤波器将是愚蠢的，因为它不使用某些可用的相关信息。

使用前一个输出值作为下一个输入时，您需要注意的下一个方面是反馈的存在-这会自动引发稳定性问题。 这是我们在递归滤波器设计期间必须不断监视的条件。 这限制了我们的工作。 在这种情况下，稳定性意味着初始条件的影响不会开始在最终结果中占主导地位。

在线性系统上工作时，我们看到无论滤波器在静止时施加于滤波器输入的频率如何，尽管输出信号的相位可以相对于原始信号的相位发生偏移，但只有该频率出现在滤波器的输出上。 但是，在过渡状态下，可能会出现由齐次微分方程解引起的其他频率。 递归滤波器无非是一个常数方程的微分方程的解，对于构成强迫函数的un项。

因此，对于稳态（忽略瞬变），我们假设



（其中A可以是复数，以考虑相移），这导致对比率A0 / A1进行求解以找到传递函数：



该表达式是复变量exp {iωt} = z的有理函数，与先前考虑的非递归滤波器相反，后者的传递特性是z中的多项式。 发展了以傅立叶级数展开形式表示函数的理论部分； 但是到目前为止，还没有关于将函数表示为两个傅立叶级数之间的关系的理论（我认为没有理由可能不存在这种理论）。 因此，目前，设计方法不是系统的（Kaiser在非递归滤波器的设计中所做的），而是一组技巧。

因此，我们有一个Butterworth滤波器，两种类型的Chebyshev滤波器（取决于通带和抑制带中是否存在相同的纹波）和一个椭圆形的滤波器（由于使用椭圆函数而得名），在两个频段中具有相同的纹波。



图17.1

我只会谈谈反馈的话题。 为了使反馈问题明确，我将向您介绍一个有关我的故事。 从前，我参加了一系列六个半小时的计算机和计算机电视节目。 拍摄主要在旧金山进行。 我经常呆在那里，有一个习惯，就是住在同一家酒店的同一房间里-非常高兴知道房间已经很晚了，当您很累或者您必须在半夜起床时要了解所有细节，因此很想住在同一房间房间。

水管工将淋浴器连接到大管道上非常好（图17.I）。 结果，早晨开始淋浴时，水太冷了，我用温水转动水龙头把手，但仍然太冷，越来越多，仍然太冷，甚至更多，最后，当水温合适时我留下了 当然，由于以前流入管道中的水越来越多，水变得越来越热，我不得不跳出淋浴，然后再次尝试找到适合热水龙头手柄的位置。 热水供应的延迟给我带来了不便。 尽管经验丰富，但我发现自己处于不稳定的典型情况。 您可以从两个方面之一来观察这种情况：要么我的反应太强烈（我的动作很粗鲁），要么信号检测太迟了（我太急于调整分接头）。 效果一样持久！ 我以前从来不需要处理很长的延迟，所以每天早上我都感到不便！ 在这个说明性示例中，您可以查看不稳定的本质。

在这里，我不会深入研究递归滤波器的设计，我只注意到在与针对常微分方程数值解的校正公式的斗争中，我独立地开发了一种理论。

预测器-校正器方法中的校正器具有以下形式



我们看到，现在递归滤波器的系数uj是滤波器输出的导数yn'，它们取自微分方程。 常规的非递归过滤器没有反馈回路-计算得出的yn值稍后不会出现在表达式的右侧。 在微分方程中，它们同时出现在反馈回路及其导数中，从而形成了另一个通常为非线性的反馈回路。 因此，在求解微分方程领域中的稳定性比在递归滤波器领域中更为复杂。

这样的递归滤波器通常被称为“具有无限脉冲响应的滤波器”（IIR滤波器），因为只有在滤波器稳定的情况下，单个干扰会通过反馈回路回波，并且会呈指数衰减。 如果我不怀疑所有递归过滤器是否都应具有此属性，我就不会做我自己。 很快我发现了相反的例子。 实际上，这不是您通常设计的那种过滤器，但是此示例表明此陈述是肤浅的。 如果问自己说的话是否都是真实的，那么即使在设计良好的地区，您也会惊讶地发现有多少事情是错误的！

在第26章中，我将讨论与专家合作的问题。 现在，您将看到一个经常发生的情况的示例。 专家们还在教室里的时候，在教室里被告知一些事情，他们没有问问题，他们只是把它当作事实。 他们不断地重现这个被接受的事实，甚至没有试图检查它是否正确，特别是关于他们目前正在试图解决的问题。

现在让我告诉你另一个故事。 贝拉实验室的数学系的一位女士在一次周末聚会上与一位物理学家跳了一场广场舞，周一星期一，在走廊上，她向我提到了他遇到的一个问题。 我记得，他在放射性实验中测量了256个能级时的脉冲数。 这称为过程频谱。 他的问题是获取数据的导数。

因此，您知道（a）某个能级的脉冲数将形成具有不连续性的曲线，并且（b）对其进行微分以获得局部角度系数本身并不是一件容易的事。 我对她的随机音符的思考越多，我就越觉得他需要一个好帮手-也就是我！ 我在贝尔实验室电话簿中找到了他，并向他解释了我的兴趣以及我对他的了解。 他立即想来我的办公室，但我很固执，坚持要在他的实验室见面。 他试图提供他的办公室，但我仍然坚持要他的实验室。 怎么了 为了评估他的能力并决定他的问题是否值得我付出时间和精力，因为这肯定是一个难以解决的难题。 他出色地通过了实验室的测试-显然他是一个非常称职的实验者。

他几乎是无所不能的了-收集了一个星期的数据，许多屏幕掩盖了放射源。 您似乎无法采取其他任何措施来收集更准确的数据。 此外，尽管我几乎不了解任何细节，但我很快就确信他的实验对物理学以及贝尔实验室都很重要。 因此，我承担了这项任务。 道德：在某种程度上，您可以选择并执行您认为重要的任务。

显然，这是一个平滑问题，事实上，Kaiser只是培训了我，因此，什么比将实验人员带到Kaiser并要求Kaiser设计合适的微分滤波器更好呢？ 问题立即开始。 凯撒一直认为信号是时间的函数，曲线下的面积是能量，在这种情况下，能量是一个自变量！ 在这一点上，凯撒的问题反复出现，直到我直接告诉他：“好吧，他的精力就是时间，他的测量，冲动就是这个电压。” 只有在那之后，凯撒才能够解决问题。

专家的诅咒在于他们对自己能做什么的了解有限。 我向您提到凯撒（Kaiser）是一个非常有能力的人，但是他的经验（如专家经常发生的那样）限制了他的视野。 反过来，您能做得更好吗？ 我希望这些故事可以帮助您避免这种陷阱。

正如我之前注意到的那样，有用信号的频谱通常在奈奎斯特频带的底部，并且噪声频谱分布在整个奈奎斯特频带，因此我们必须找到物理学家有用信号和平坦白噪声之间的截止频率。 如何找到她？ 首先，我从物理学家的脑袋中尝试了一个实验的理论模型-在宽高斯函数的顶部，高斯函数形式出现了许多窄谱线（我怀疑这是柯西分布，但没有与之争论，因为差异鉴于我们拥有的数据的性质，它会很小）。 因此，我们模拟了这种分布，他准备了与该模型相对应的一定数量的综合数据。 通过快速傅立叶变换对信号进行的快速频谱分析表明，该信号位于奈奎斯特频带的较低1/20处。 此外，我们以相同的方式处理了他的实验数据，并获得了相同的截止频率位置！ 真幸运！ （也许运气应该归功于实验者的技能）。 从前，理论与实践融为一体！ 事实证明，我们能够滤除95％的噪声。 最后，凯撒（Kaiser）为他编写了一个程序，该程序合成了给定截止频率的滤波器，该频率由实验者设定。

程序（1）计算了一个合适的微分滤波器，（2）编写了一个程序来计算平滑输出，然后（3）在没有物理学家任何干预的情况下，使用该滤波器处理了数据。

后来，我通过调整在一系列测量中获得的能级数据不同部分的截止频率来抓捕物理学家，被迫提醒他有一定的“自由度”，而他所做的并不是诚实的数据处理。 当事情进展顺利时，要说服他从数据中获取最大收益（这是非常昂贵的），问题就变得更加棘手了-他应该使用冲量的平方根，因为它们的方差相同。 最后，他明白了这一点，并做到了。 他和凯撒（Kaiser）在这一领域写了一部经典著作，为可能要做的新事情打开了大门。

我的贡献 首先，首先确定问题，然后召集合适的人员，然后看着Kaiser面对他这一事实，即不仅需要对信号作为时间的函数进行滤波，最后还要使他们想起从统计中知道的（或者应该知道知道，但也许他们不知道）。

在我的基础上，在我看来，随着人们在越来越狭窄的知识领域中成为越来越深入的专家，对这种角色的需求也越来越大。 有人需要保持广阔的视野，并确保事情如实进行。 我认为我是在约翰·图基（John Tukey）的领导下进行了很长时间的教育之后才担任这个职位的，除了以通用的科学工具“数学”的良好基础为基础。 我将在第23章中讨论数学的本质。

大部分信号处理来自一段时间内的信号。 同时，大多数数字滤波器是为小型，高度专业化的研究而设计的，这些研究不一定会随时间而变化。 在这里，我将请您日后注意。 假设您的业务最高，并对显示设备早期人工成本的数据感兴趣。 这将是嘈杂的数据，但是从通常的意义上讲，您仍然想了解组织中发生的事情-正在进行哪些长期过程-那些过程太慢以至于人们已经理解时就会理解它们，但是仍然要理解要想成为一名好经理，赶上这点至关重要。 您将需要一个数字滤波器来平滑数据并查看趋势的提示（如果存在）。 您不想找到不存在的趋势，但是如果存在，那么您真的想知道它以前是什么，以便预测在不久的将来可能会发生什么。 实际上，如果数据允许您查看趋势斜率的变化，您将希望看到它。 一些信号（例如与船舶排水量有关的火力）与时间无关，但是它们可以告诉您很多有关船队当前状态的信息。 当然，您可以根据时间来研究这种关系。

在您的职业生涯的最高阶段，您将能够使用各种低级数字滤波器来作为信号随时间变化的信号，而不仅仅是更好地管理事物。 因此，我认为您可能为这种非标准的东西合成了更多的数字滤波器，而不是为缩小雷达数据和类似的经典应用而合成的数字滤波器。 通常，在新的知识应用中，您可以获得最大的回报。

让我对不正确使用智能工具表示一些担忧；在第27章中，我将更详细地讨论与统计接近的主题。 傅立叶展开分析假设基础模型是线性的。 您可以将其用于略微非线性的情况，但通常情况下，由于所研究的现象本质上是非线性的，因此通过傅立叶展开的巧妙分析失败了。 我看到当外部人很明显地发现非线性会使通过傅立叶级数近似进行的整个线性分析失真时，会浪费掉数百万美元。 当他们指出这一点时，他们的答案是他们不知道可以采用其他方法，所以他们继续做错事！ 我在这里不夸张。



图17.2

非线性滤波器呢？ 这里的可能性是无止境的，并且当然取决于您要处理的问题。 我将只处理其中之一，即中值过滤器。您考虑特定数据集的中值过滤器输出。让我们看看它在实践中如何工作。首先，我们注意到它试图消除任何局部噪声，但是滤波器在断点处的表现如何（图17.2）？

如果中值过滤器中的成员数为奇数，您将看到过滤器输出保持在较高级别，直到过滤器输入上的点的一半以上处于较低级别，此后过滤器输出“向下”跳跃。他会很好地跟随休息，并且不会尝试完全消除休息！在某些情况下，这正是适合您的滤波器类型-可以消除局部噪声，同时不会丢失所研究系统状态的突然变化。

我再说一次，通过傅立叶级数进行的分析是线性的，尽管存在大量的非线性滤波器，但是除了中值滤波器以外，该理论还没有得到很好的发展。卡尔曼滤波器是使用部分非线性滤波器的另一个示例；非线性部分是滤波器对信号的独立“调整”。

最后，这是我在研究数字滤波器时所做的另一项基本观察。一天，在研究一本有关傅立叶积分的书时，我发现了一个定理，该定理声称函数的变化乘以其变换的变化应大于某个常数。我问自己：“那是什么，但量子力学不确定性的著名原理”？是的，每个线性理论都应具有连接共轭变量的不确定性原理。一旦采用线性方法，并且CM断定了本征态的绝对可加性，就应该发现不确定性原理。时间的线性不变性自动导致本征函数e ^iω（t）。它们立即导致傅立叶级数，进而具有不确定性原理。好像您戴着蓝色有色眼镜。无论您看什么，它都应具有蓝色调！

因此，您不太确定是否存在著名的CM不确定性原理。也许这仅仅是系统隐含线性的影响。

很少有人想相信我们所看到的取决于我们处理问题的哪一方面！我们经常看到我们想要看到的东西，这就是为什么您应该在任何地方都使用科学方法，怀疑您自己的信念。
为了清楚地说明这一点，我将重复爱丁顿关于渔民的故事。他们在网中捕鱼，当他们检查网中捕获的鱼的大小时，他们决定海中的鱼最小。

总之，如果您不时对所采用的规则表示怀疑，那么很可能您将不会成为任何领域的领导者，另一方面，如果您对所有事情都表示怀疑，您将瘫痪而无所事事。什么时候怀疑，什么时候学习基础知识，什么时候为自己思考，什么时候继续按原样进行，这是一种思维方式的问题，我无法给出解决这个问题的简单公式。您必须从自己的经验中学到东西。通常，在该领域所依据的基本假设发生重大变化之后，才能获得重大收益。我们的知识水平决定了研究各个方面之间的平衡。似乎年轻的时候，直觉和洞察力就有更多的回报空间，但是当您老了时，剩下的时间更少了，可能应该集中精力在指尖上。

待续...

谁想帮助本书的翻译，排版和出版-用个人电子邮件或电子邮件magisterludi2016@yandex.ru撰写。

顺便说一句，我们还推出了另一本很酷的书的翻译- “梦想机器：计算机革命的历史”）