早期宇宙5.宇宙红移和统一扩展宇宙的动力学，第1部分

在免费讲座的网站上，麻省理工学院开放式课件（OpenCourseWare）发布了关于艾伦·古斯（ Alan Gus） 宇宙学的一系列讲座，艾伦·古斯是宇宙膨胀模型的创造者之一。

邀请您关注第五讲的译文：“宇宙红移和统一扩展宇宙的动力学，第1部分”。


今天，我们结束对上次讨论的均匀扩展的宇宙运动学的考虑。 我们尚未触及的这个话题的唯一问题是宇宙学的红移。 然后我们继续进行均匀膨胀的动力学-重力如何影响宇宙的膨胀。 这将是今天和以后的几次演讲的主题。

宇宙时间

让我提醒您，在上一堂课的结尾，我们讨论了坐标系中的时钟同步，我们将用它来描述一个均匀扩展的宇宙。 回想一下，我们引入了伴随坐标，该坐标随宇宙而扩展。 我们将假设宇宙是完全均匀且各向同性的，并且所有对象都位于该坐标系中。

在真实的宇宙中，由于宇宙不是完全均匀的，因此物质相对于该坐标系会有一些运动。 但是现在，我们将以近似值工作，其中我们的模型宇宙是绝对均匀的，所有物质都相对于扩展的坐标系处于静止状态。

现在，请记住在上一堂课中我们如何确定宇宙学时间。 想象一下，在宇宙的每个点上，都有一个相对于物质静止的时钟，因此伴随着一个不断扩大的坐标系。 所有此类手表均以当地时间为准，我们希望就它们的同步达成一致。 上一次，我们发现如果在宇宙中的任何地方都可以看到并且随时间变化的任何宇宙学现象，我们可以使时钟同步。 我们给出了两个示例：一个是哈勃常数的变化，可以在本地测量该变化，并同意在哈勃常数取某个值时将时钟设置为零。

第二个例子是宇宙微波背景辐射的温度。 在我们的模型宇宙中，您可以同意在宇宙背景辐射的温度达到5度或任何给定数字时将手表设置为零。 如果存在类似现象，并且它们存在于我们的宇宙中，那么您可以同步所有时钟。 重要的是要理解，一旦时钟一旦同步，由于我们假设的均匀性，它将保持同步。 也就是说，如果每个人都同意零时间宇宙背景辐射的温度是10度，并且每个人等待15分钟，那么每个人在这段时间内都会看到相同的温度下降，否则将违反我们的绝对均匀性假设。

学生：对所有惯性观测者来说，背景辐射温度是真的吗？

老师：对于不同的惯性观测者来说，情况并不完全相同。 对于特权级的观察者来说，这是相同的，它们相对于物质的平均分布并且因此对于伴随的坐标系而言是静止的。 如果您开始在宇宙背景辐射中移动，那么您将不再看到均匀的温度分布。 您会看到一个方向的辐射更热，而相反方向的辐射更冷。 实际上，正如我提到的，我们在真实的宇宙中看到了这种效应。 显然，我们相对于宇宙背景辐射正在以大约光速的1/1000移动。 因此，辐射温度相对于观察者的运动不是不变的。

可能会问另一个问题：在可见宇宙的不同位置，背景辐射的温度是否相同？ 据我们判断，是的。 有一种直接的方法可以测量背景辐射的温度，我们将在本课程的后面部分通过观察遥远星系中的某些光谱线来进行测量。 在可见这些线的某些星系中，可以直接测量宇宙微波背景辐射的温度。 在我们的模型中，我们假设完全均匀，所有地方都一样。 尽管真实宇宙中的同质性不完整，但是有充分的证据证明我们的宇宙具有近似同质性。

学生：如果一些观察员住在黑洞附近，这会影响这些观察员的时钟同步吗？

老师：当然可以。 仅假定宇宙绝对同质，就可以宇宙同步时钟。 一旦出现诸如黑洞之类的异质性，甚至像太阳这样的恒星，它们就会产生偏差，从而阻止时钟彼此同步。 一旦质量浓度出现，均匀性就仅近似。 但是这些偏差很小。 太阳引起的偏差约为百万分之一。 因此，通过我们的齐次模型可以很好地逼近宇宙。 虽然，如果您非常靠近位于星系中心的一个超大质量黑洞之一，那么事实证明，它对时钟的进程有很大的影响。

宇宙红移

正如我所承诺的，下一个主题是宇宙学的红移。 在第三讲中，我们考虑了相对论，讨论了声波的多普勒频移和光波的相对论多普勒频移。 但是，尽管狭义相对论用于描述宇宙学中的局部事件，但是相对论并没有完全描述宇宙学。 相对论的特殊理论不包括引力的影响，在全球范围内，引力的影响对于宇宙学非常重要。 因此，狭义相对论不足以理解宇宙的许多特性，包括宇宙学的红移。 然而，事实证明，存在一种描述宇宙学红移的方法，它比相对论更简单地解释了宇宙红移。 首先，我将对其进行描述，然后，我们将讨论如何将这个看起来很简单的结果与相对论这一特殊理论的结论进行比较，该相对论至少在局部也应该是正确的。

因此，假设我们正在看一个遥远的星系，并且光是由位于该星系中的光源发出的。 我们想了解辐射中的光频率与接收到光时所看到的频率之间的关系。


想像一下这种情况，让我们介绍一个坐标系， $$$x$ 。 这将是我们的同伴坐标系。 $$$x$ 分度测量。 我们将把自己置于起源，而遥远的银河系将与我们保持一定距离。 她有特定的坐标。 $$$l_c$ （ $$$c$ 表示伴随）。 $$$l_c$ 是我们到星系的伴随距离。 我们称物理距离 $$$l_p$ （ $$$p$ 意味着物理），取决于时间，因为宇宙正在膨胀。 正如我们之前所说 $$$l_p（t）= a（t）l_c$ 。 比例因子 $$$a（吨）$ ，它取决于时间，并乘以与距离无关的距离。 因此，物理距离仅与比例因子成比例地增加 $$$a（吨）$ 。

现在假设银河系发出光波，我们试图确定波峰之间的距离，该距离等于波长。 因为我们只对山脊感兴趣，所以我们简单地想象每个山脊都是一个冲动，而它们之间发生的事情对我们不感兴趣。 我们将跟踪星系发出的连续光脉冲。

重要的是，对于我们的模型，知道光波如何在伴随的坐标系中传播。 如果 $$$x$ 是关联的坐标，则 $$$dx / dt$ -伴随的光速，等于通常的光速 $$$c$ 但除以比例因子：

$$

$$\ frac {dx} {dt} = \ frac c {a（t）}$$

比例因子在这里起到将仪表转换为刻度的作用。 $$$c$ 以米/秒为单位。 分享分享 $$$c$ 在 $$$a（吨）$ 我们可以根据需要获得以每秒分度为单位的光速，因为 $$$x$ 不是以米为单位，而是以格为单位。 除法是我们选择用来描述伴侣坐标系的任意单位。

该方程式的重要特征是伴随坐标系中的光速取决于时间，但不取决于时间 $$$x$ 。 我们的宇宙是均匀的，所以所有点 $$$x$ 等价的。 因此，无论何时何地，两个光脉冲都会以相同的伴随速度移动。 这就是我们所需要的。 第一个冲动离开遥远的星系并向我们移动，第二个冲动跟随第一个冲动。 即使随时间变化，第二个脉冲在任何时刻的移动速度也与第一个脉冲相同。

这意味着以下内容。 脉冲的伴随速度可以随时间变化，但是只要它们都以相同的伴随速度移动，则在任何给定时间，它们在伴随坐标系中彼此之间的距离都将完全相同。 $$$Δx$ ，两个脉冲之间的伴随距离不会随时间变化。 如果伴随距离不随时间变化，并且物理距离始终等于比例因子乘以伴随距离的乘积，那么光脉冲的物理波长将简单地与比例因子成比例地拉伸。 波长将随着宇宙的膨胀而增加，就像我们宇宙模型中的任何其他距离都会随着宇宙的膨胀而增加一样。 这是一个关键思想，它非常简单，并且包含了所有内容。

那 $$$Δx$ 一直意味着 $$$Δl$ 物理距离成比例 $$$a（吨）$ ，这意味着光的波长 $$$λ$ 是t的函数，是成比例的 $$$a（吨）$ 。

波长与波比的周期有关 $$$λ=cΔt$ 。 波长是一个波在一个周期内传播的距离。 因此，如果 $$$λ$ 成比例的 $$$a（吨）$ 然后 $$$Δt$ ，波浪周期将成比例 $$$a（吨）$ 。 因此：

$$$$ display $$ \ frac {Δt_{acc。}} {Δt_{source}} = \ frac {λ_ {acc。}} {λ_ {source}} = \ frac {a（t_ {acc。 ）}} {a（t_ {source）}} $$显示$$

。

因此，波长比只是宇宙伸展的次数。 它等于初始时间和最终时间中比例因子的比率。 我们使用波动周期确定了红移。 周期之比或波长之比或比例因子之比为1 + z。

$$

$$1 + z = \ frac {a（t_ {obs。）}} {A（t_ {source）}}$$

宇宙学红移与狭义相对论的关系
宇宙学的红移与狭义相对论的红移有什么关系？ 我们的结果与我们在第三堂课中所做的计算在两个方面有所不同。 对我们而言重要的第一个原因是，宇宙学计算考虑了先前计算未考虑的影响。 特别是，尽管我们使用一个非常简单的运动学论据得到了答案，乍一看，其中几乎没有数学，但实际上却非常强大，因为它不仅考虑了相对论的特殊理论，而且还考虑了一般理论相对论。 它包括重力的所有影响。 重力并不影响伴随的光速为 $$$c / a（t）$ 。 这只是单位的转换，还有光速始终相等的基本物理假设 $$$c$ 关于任何观察者。

因此，当我们考虑重力时，该比率将继续保持不变，这是我们唯一使用的比率，因此重力不会影响答案。 我们是否错过了相对论这一特殊理论？ 我没有考虑时间膨胀，这对于我们的相对论红移计算至关重要。

我做错了吗？ 我需要在某处添加时间膨胀吗？ 其实没有 我们进行了两个小时的计算：银河中的时钟和我们的时钟，这两个时钟用于测量辐射周期和接收周期。 但是，尽管它们彼此相对移动，但它们相对于本地物体都是静止的。 因此，根据定义，它们测量宇宙学时间。 宇宙时间是一种非常特殊的时间，它不是任何惯性系统中的时间。 时钟彼此相对移动，因此，如果我们确定惯性系统中的时间，则此类时钟将永远无法同步，并且时间在它们之间不会重合。

但是在宇宙时间系统中，它们显示的时间是相同的。 由于每只手表都相对于本地静止不动，因此它们可以测量 $$$t$ 宇宙时间。 因此，不需要时间膨胀。 不是我们忘记了它，而是在那里。 它不用于计算。

因此，无论看起来多么简单，所获得的结果实际上都完全涵盖了相对论和引力论的影响。 让我指出，这里的重力并不明显。 我告诉你，结果包括重力的所有影响。 重力藏在哪里？ 我想问你这个问题。 即使我在计算时没有提到重力，重力也会如何影响计算？

学生：通过比例因子。

老师：对，通过比例因子。 我们还没有谈论如何改变 $$$a（吨）$ 。 改变 $$$a（吨）$ 将明确包括重力效应。 这就是为什么我们的结果取决于重力的原因，尽管我们并不需要使用或提及重力来获得答案。 宇宙红移的答案很简单，因为 $$$a（吨）$ 已经包含了很多信息。 我们只是利用这一点来获得非常简单的表达式，具体取决于 $$$a（吨）$ 还没有说我们如何计算 $$$a（吨）$ 。 这是第一个区别。

两种计算之间的另一个重要区别是答案中使用的变量。 取决于使用哪个变量，同一问题可能会有几个不同的答案。 在这种情况下，我们表示红移 $$$z$ 用于放置在伴随坐标系中的对象。 另一方面，在相对论的特殊理论中，根据惯性坐标系中测得的速度得出z。 因此，结果用完全不同的术语表示。

如果我们尝试比较相对论和宇宙学红移得到的答案，会发生什么？ 只有在一种情况下才可以对它们进行比较。 由于我们刚才进行的计算包括重力影响，而使用相对论的特殊理论进行的计算不包括重力影响，因此只有在重力可忽略时才可以比较它们并确保它们重合的唯一情况。

我们可以考虑重力小的宇宙模型，在这个模型中没有矛盾。 如果重力可以忽略不计，它将如何表现 $$$a（吨）$ ？ 如果没有重力 $$$a（吨）$ 应该线性地依赖 $$$t$ 。 这意味着所有速度都是恒定的。 因此，在没有重力的特殊情况下， $$$a（吨）$ 随着时间线性增长。 在这种情况下，您始终可以确保添加到线性项的常数变为零，只需在 $$$a（吨）$ 等于零。 因此，在没有重力的情况下，我们可以说 $$$a（吨）$ 必须与t成正比。

然后对于这种特殊情况，我们的两个计算必须重合。 您可以自己检查。 这不是那么简单，为此您需要了解两个坐标系之间的关系。 相对论的特殊理论的答案是在惯性坐标系中给出的，该惯性坐标系在存在重力的情况下根本不存在。 由于与在膨胀宇宙中发生的运动相关的时间膨胀和洛伦兹收缩，它以复杂的方式与膨胀坐标系相连。

您将需要找出这两个坐标系之间的关系。 当您这样做并比较答案时，您会发现它们确实完全匹配。 所有这一切都与狭义相对论非常吻合，特别是在没有重力的情况下。

牛顿和静态宇宙

我们讨论了我想讲述的关于均匀扩展的宇宙运动学的一切，现在我们可以继续进行动力学了。我们需要弄清楚重力是如何影响宇宙的，以便能够计算出$$$a(t)$随着时间的变化。这将是了解行为的唯一目标。$$$a(t)$ 。

从某种意义上说，这个问题可以追溯到艾萨克·牛顿。我想指出的是，宇宙学中有趣的事情之一是，如果您看一下宇宙学的历史，许多伟大的物理学家在尝试分析宇宙学问题时会犯重大错误。今天，我们将讨论牛顿的一个错误。甚至牛顿这样的伟大物理学家也可能犯愚蠢的错误。在分析他自己的引力论的宇宙学后果时，他确实犯了一个愚蠢的错误。

像哈勃之前的每个人一样，牛顿相信宇宙是静止的。他将宇宙表示为散布在太空中的恒星的静态分布。据我所知，在他职业生涯的初期，他认为恒星在无限空间中的分布是有限的。但是在某个时候，他意识到，如果在空白空间中存在有限的质量分布，并且所有物质都以与距离的平方成反比的吸引力相互吸引，他知道，因为他打开了距离，因此，所有东西都应该压缩成点。他认为自己的假设行不通，但是他仍然确定宇宙是静态的，因为一切看起来都是静态的，所以恒星不会在任何地方移动。

因此，他想知道会发生什么变化，因此决定，与其假设恒星形成有限分布，不如假设恒星在空间中无限分布是更好的选择。他的推论如下，这恰恰是一个错误：如果恒星充满无限的空间，那么即使它们彼此吸引，它们也不会具有首选的运动方向。由于它们不会受到偏爱的移动方向的影响，因为它们被四面八方吸引，因此它们会保持原位。因此，他认为物质的无限均匀分布将是稳定的，在这种无限的质量分布中不会产生引力。

他显然听到了各种支持这一观点的论点。关于无限分布将是稳定的论点之一是，无穷的力将其向右拉动，而无穷的力将其向左拉动作用在粒子上。由于它们都是无限的，因此它们彼此抵消。牛顿不接受这个论点。他足够精通，可以理解无穷减无穷不一定为零。但是，牛顿坚信无限的质量分布将是稳定的。

说服他的论点不是双方的无限，而是对称。他的论据是，如果您查看此无限分布的任何点，如果您查看此点，则所有方向都将看起来相同，物质会延伸到无穷大，因此，力将没有方向作用于任何特定的粒子。如果力没有方向，则该力应为零。这就是牛顿的论点。

现在，我们将对此进行更详细的讨论，并试图了解现代学者如何与此论点联系。顺便说一句，我想提一个历史事实。据我所知，直到阿尔伯特·爱因斯坦（Albert Einstein），数百年来，牛顿的观点一直没有受到任何人的质疑。阿尔伯特·爱因斯坦（Albert Einstein）试图用他的新的相对论来描述宇宙学，他是第一个认识到即使质量分布无限大也会崩溃的人。爱因斯坦意识到牛顿物理学中也会发生同样的事情，这不是广义相对论的特征。它只是在历史上只是需要建立一个相对论的一般理论，以使人们重新思考并理解牛顿是错误的。

静态宇宙的不可能

尝试以牛顿的方式分析问题的困难在于，牛顿将重力视为远距离作用的力。如果我们有两个物体相距很远$$$r$ 分开，它们将以成比例的力相互吸引 $$$1/r^2$ 。自牛顿时代以来，已经出现了其他描述牛顿重力的方法，这使情况更加清晰。使用牛顿的描述的困难在于，如果我们尝试将所有这些力按比例相加$$$1/r^2$，我们得到不同的金额，我们需要了解其解释。但是要了解牛顿是错的，最简单的方法就是看一下牛顿引力的其他公式。我将描述它们中的两个，您可能已经很熟悉。

我将通过类比库仑定律来描述第一个。库仑定律的确与引力定律相同。库仑定律指出，任何带电粒子都会产生一个电场，该电场等于电荷除以距离的平方，然后乘以从电荷指向的单位矢量。

$$

$$\vec E=\frac q{r^2} \hat r$$

这就是库仑定律。有时它具有常数，具体取决于测量单位$$$q$但这对我们并不重要。我假设我们使用的方程式中常数为1。

如您所知，从库仑定律中可以得到高斯定律。如果库仑定律是正确的，那么我们可以肯定地说任何封闭表面上的电场通量的积分等于什么。它与表面内部的电荷总量成正比。

$$

$$\oint\limits_S \vec E \cdot d\vec a = 4πq_{}$$

在哪里 $$$q_{}$等于封闭表面内的电荷总量。

您几乎可以用牛顿的公式写下牛顿的重力定律。您可以在距对象给定距离处表示重力加速度：

$$

$$\vec g=\frac {-GM}{r^2} \hat r$$

这是相同的平方反比定律，并且与库仑定律相似，只是开始时是常数。该常数具有相反的符号，这在某些情况下很重要，但现在不重要。重要的是，该方程式可以重新构造为高斯定律，被称为高斯引力定律。唯一不同的是前面的常量：

$$

$$\oint\limits_S \vec g \cdot d\vec a = -4πGM_{}$$

现在，我们来考虑牛顿考虑的物质的均匀分布。牛顿认为，有可能采取填充所有无限空间的均匀物质分布，并且它将是静态的，也就是说不会有加速度。牛顿语言缺乏加速度意味着$$$\vec g$到处都必须为零。但是从最后一个公式得出，如果$$$\vec g$ 到处都是零，然后是 $$$\vec g$在任何闭合表面上的总质量也将等于零，因此，封闭在该表面内的总质量也应等于零。但是，如果我们具有均匀的质量分布，那么对于任何非零体积，总封闭质量当然不会为零。因此，很明显，关于系统是静态的断言直接与高斯牛顿万有引力定律的提出相矛盾。

只是为了好玩，我将使用另一种更现代的牛顿引力公式给您另一个类似的论点。如果您还没有遇到她并且不了解我在说什么，请不要担心，这不是那么重要。对于那些认识她的人，我会带她去。建立牛顿引力的另一种方法是引入引力。我会用这封信$$$φ$ . :$$→g=−→∇φ$\vec g = - \vec ∇φ$ 在哪里$$→∇φ$\vec ∇φ$ — $$$φ$ 。 $$$φ$ $$$\hat i$ x $$$φ$ $$$x$ , $$$\hat j$ y, $$$φ$ $$$y$ , $$$\hat k$ $$$φ$ $$$z$ ：

$$

$$\vec ∇φ = \hat i \frac {\partial φ}{\partial x} + \hat j \frac {\partial φ}{\partial y} + \hat k \frac {\partial φ}{\partial z}$$

, , . ,

$$

$$∇^2φ = 4πGρ$$

ρ — , $$$∇^2φ$ 定义为的二阶导数 $$$φ$ 由 $$$x$ ，加上的二阶导数 $$$φ$ 由 $$$y$ ，加上的二阶导数 $$$φ$ 由 $$$z$ ：

$$$$ display $$∇^2φ= \ frac {\部分^ 2φ} {\部分x ^ 2} + \ frac {\部分^ 2φ} {\部分y ^ 2} + \ frac {\部分^ 2 φ} {\部分z ^ 2} $$显示$$

这称为泊松方程。 如果给出了质量密度，则可以找到引力势，然后可以计算其梯度，并找到 $$$\ vec g$ 。 这等效于其他重力公式。 但是，这使我们再次验证了牛顿的断言，即物质没有任何引力的均匀分布。 如果没有重力，那么 $$$\ vec g$ 正如我们在一分钟前说的，应该为零。 从事实 $$$\ vec g$ 等于零，因此梯度 $$$φ$ 等于零。

如果您看梯度公式，那么这是一个向量。 对于零向量，其三个分量中的每个分量都必须等于零，因此， $$$φ$ 由 $$$x$ 的导数 $$$φ$ 由 $$$y$ 的导数 $$$φ$ 由 $$$z$ 将消失。 这意味着 $$$φ$ 在任何地方都必须是常数；它在任何空间坐标上都不具有导数。 因此，如果 $$$\ vec g$ 等于零然后是梯度 $$$φ$ 等于零和 $$$φ$ 在所有空间中都是一个常数。 如果 $$$φ$ 它在没有重力的情况下到处都是恒定的，那么立即很明显 $$$∇^2φ$ 必须等于零，这意味着ρ必须等于零，即没有质量密度。 但是牛顿想要一个非零的质量密度，一种均匀分布在无限空间中的物质。 这是牛顿论证不正确的又一例证。

条件收敛积分

因此，我们得出的结论是牛顿错了，但是我们需要更仔细地分析牛顿的论点，以便准确了解他犯错的地方。 我要讨论的下一件事情是与无限宇宙中牛顿引力的增加有关的歧义。 我提到过，牛顿计算的真正问题在于他计算的数量相差很大，在尝试计算时要小心。

为了阐明这一点，我想从给出歧义值的积分的示例开始。 我将介绍几个数学概念。 假设我们有一些任意函数 $$$f（x）$ 在哪里 $$$x$ 将只是一个变量。

我们将其归纳为我们感兴趣的三个维度，但我们将从一个变量开始。 如果我们有一个功能 $$$f（x）$ ，我们可以考虑从负无穷大到 $$$f（x）$ 我会打电话给他 $$$I_1$ ：

$$

$$I_1 = \ int \极限_ {-\ infty} ^ \ infty f（x）dx$$

这种积分是通过将所有作用在人体上的重力相加而获得的。 现在我要考虑的情况是 $$$I_1$ 是有限的。

我首先需要更准确地确定我的意思 $$$I_1$ ，从负到正无穷大的整数。 我们可以定义从负无穷大到无穷大的积分为 $$$-L$ 之前 $$$L$ 来自 $$$f（x）$ 在哪 $$$L$ 趋于无穷大：

$$

$$I_1 = \ lim_ {L \到\ infty} \ int \极限_ {-L} ^ Lf（x）dx$$

我们需要计算的积分 $$$-L$ 之前 $$$L$ 。 如果我们假设 $$$f（x）$ 是有限的，积分也总是有限的。 我将假设函数本身 $$$f（x）$ 是有限的，我们只会担心积分的收敛性 $$$L$ 趋于无穷大。 所以对于任何给定 $$$L$ 整数是某种数字。 然后，您可能会怀疑，这个数字是否趋于极限？ $$$L$ 趋于无穷大？ 如果是这样，那么我们将其称为值 $$$I_1$ 。 这只是对从负无穷大到无穷大的积分的定义。

现在考虑当该值存在时 $$$I_1$ 较小的无穷大，即它具有一定的有限值。 但我也要考虑积分，我将其称为 $$$I_2$ ，也定义为从负无穷大到无穷大但从绝对值开始的积分 $$$f（x）$ ：

$$

$$I_2 = \ int \极限_ {-\ infty} ^ \ infty | f（x）| dx$$

现在一点术语。 如果 $$$I_2$ 无限小，如果收敛，那么 $$$I_1$ 称为绝对收敛 。 绝对收敛表示即使使用函数的绝对值，积分也收敛。 相反，如果 $$$I_2$ 分歧，但同时 $$$I_1$ 然后收敛 $$$I_1$ 称为有条件收敛 。 因此，如果一个函数的积分收敛，但是同一函数的绝对值的积分不收敛，则这种情况称为条件收敛。

这种分离的原因是条件收敛积分非常危险。 它们很危险，因为它们的定义不明确。 您可以通过以不同顺序添加被积数来获得我们想要的任何值。 只要我们遵守积分符号所隐含的特定顺序，我们就会得到一个唯一的答案。 但是，例如，如果我们只是简单地开始整合，那么我们将获得不同的答案。 通常我们不期望这样。 通常，无论我们从哪里开始计算积分，我们都只是沿数字线进行积分。 因此，当我们使用条件收敛积分时，结果变得不那么明确。

在继续介绍我们感兴趣的特定积分之前，我们将尝试借助该积分来增加物质的无限分布的引力，在此之前，我将举一个非常简单的函数示例来说明积分收敛但并不绝对收敛时的歧义。 您可以通过以不同顺序添加积分的各个部分来获得我们想要的任何答案。 我将考虑的一个示例是函数f（x），如果x> 0则为+1，如果x <0则为-1。 我没有指出x = 0等于什么，这在积分期间并不重要。 单点无关紧要。 您可以为x = 0的函数取任何值，这不会改变任何东西。

如果我们对称地对其进行积分，按照从负无穷大到无穷大积分的定义，我们将得到完全归约。

当我们从 $$$-L$ 之前 $$$L$ ，我们得到零，因为在积分的负部分和正部分之间有完全的减少。 然后，如果您达到极限，那么 $$$L$ 趋于无穷大，零极限将为零。 这句话没有歧义。

因此，按指示的顺序将积分的各个部分相加，便得到积分，该积分等于零。 但是结果取决于我们放置这些零件的顺序。 特别是，如果我们简单地更改集成的开始，开始远离新的起点，我们将得到不同的答案。 让我们再看一下极限 $$$L$ 趋于无穷大，但不是从 $$$-L$ 之前 $$$L$ 我们将整合 $$$a-l$ 之前 $$$a + L$ 。

这实际上是相同的积分，我们只是在开始集成时向右移。 在特定情况下 $$$一$ 等于零，我们和以前一样，但是如果 $$$一$ 不等于零，这意味着我们的积分是从 $$$x =$ 不是来自 $$$x = 0$ 。

首先，我们必须计算 $$$a-l$ 之前 $$$a + L$ 然后在什么时候采取极限 $$$L$ 争取无限，看看我们得到什么。

很容易理解我们所得到的。 尽快 $$$L$ 越来越大 $$$一$ ，答案不再随增加而改变 $$$L$ 。 当我们增加 $$$L$ ，我们在左侧添加一些负数，在右侧添加相同的正数，它们彼此抵消。 什么时候 $$$L =$ ，积分将是0到2 $$$一$ 。 在积分中，该函数只有正值，积分间隔为2 $$$一$ ，这意味着积分将为2 $$$一$ 。 对于任何大值 $$$L$ 积分将是相同的，因为 $$$L$ 正如我所说，我们只是减少了在右侧添加正值，在左侧添加负值。 因此，此积分的极限具有一个确定的值，该值等于2 $$$一$ 。

$$$一$ -这是我们开始集成的编号，因此可以是任何数字。 我们可以选择 $$$一$ 如我们所愿。 因此，如果我们可以按任意顺序添加积分的各个部分，则可以获得所需的任何答案。 这是条件收敛积分的基本不确定性。 我们将看到试图将作用在无限质量分布中的粒子上的力加起来就是这种条件收敛的积分。 因此，我们可以获得所需的任何答案，除非您非常小心地做，否则它没有任何意义。

重力增加的问题

现在，我要计算作用于物质无限分布中的粒子上的力，并证明根据加重力的顺序，我可以获得不同的答案。 在每个示例中，我将按一定顺序添加强度，并且将获得特定答案，但是根据选择的添加顺序，我将获得不同的答案。

让我们尝试计算某点的重力 $$$P$ 在物质的无限分布中。 物质将幻灯片以及整个空间填充到无穷大。 我们将按一定顺序添加所有这些物质的重力贡献。

在我们的第一个计算中，我们将位于同心壳中的物质的重力加到一个点上 $$$P$ 。 首先，我们使用最里面的外壳，然后是第二个外壳，第三个外壳，依此类推。 离中心越来越远。 在这种情况下，很容易理解作用在点上的力 $$$P$ 按此顺序计算为0，因为对于每个壳 $$$P$ 位于中心，并且出于对称考虑，必须补偿力。 实际上，这是众所周知的，我们将很快利用这一事实，即壳内部的壳的重力场为零。 牛顿证明了这一点。 在壳的外部，引力场看起来就像所有壳材料都集中在其中心一样。 很明显，在这种情况下，该点的重力 $$$P$ 等于0。

现在，我们将考虑一个更复杂的情况，在该情况下，我们还计算一个点处的重力 $$$P$ 。 但是我们将使用以另一点为中心的球形壳， $$$Q$ 。 现在 $$$Q$ 定义我们将用来增加强度的壳。 我们还将添加从零到无穷大的所有壳的力，即 集中所有力量 $$$P$ 来自所有物质的无限分布。 但是我们将以不同的顺序添加这些力，因为我们将按顺序将壳定在 $$$Q$ 。 首先，我们看一下阴影区域的贡献，即所有周围的贝壳 $$$Q$ 半径小于 $$$Q$ 之前 $$$P$ 。 对于所有这些壳，关键是 $$$P$ 位于外壳之外。 因此，每个壳的作用方式与点质量等于在点处集中的壳的总质量完全相同 $$$Q$ ，所有壳的中心。 因此，阴影区域中的物质会增加该点处的力 $$$P$ 等于阴影的质量如果全部集中在一个点上将产生的力 $$$Q$ 。

另一方面，所有其他外壳将是其外壳 $$$P$ 位于里面。 $$$P$ 不再位于这些壳的中心，但是牛顿发现这无关紧要。 在球形壳体内部，无论距边界有多近，重力在任何地方都为零。 精确地补偿了来自壳体不同部分的所有力。 如果我们接近边界，则可以假设在该边界的方向上会产生吸引力。 实际上，在这种情况下，在此边界处对特定粒子的吸引力变强了，因为它是成比例的 $$$1 / r ^ 2$ 。 但是，随着我们接近边界，越来越多的实质出现在对面。 并且这两种效果完全相互抵消。 顺便说一下，使用重力的高斯定律可以很容易地证明作用在壳内部粒子上的力为零的事实。

因此，外壳没有任何作用。 我们发现在这一点上的力量 $$$P$ 等于阴影质量产生的力。 某点的重力加速度 $$$P$ 由一个简单的公式确定：等于G乘以阴影区域的总质量除以 $$$b ^ 2$ 在哪里 $$$b$ 等于之间的距离 $$$Q$ 和 $$$P$ ，然后乘以从 $$$Q$ 放在一边 $$$P$ ：

$$

$$\ vec g = \ frac {GM} {b ^ 2} \ hat e_ {QP}$$

这是一个非零值。 因此，根据物质无限分布的力求和的顺序，我们得到零或非零的结果。 此外，我们可以获得任何答案，因为我们可以选择 $$$b$ 随便 答案取决于 $$$b$ 并且随着它的增长而变得任意大 $$$b$ 。 响应似乎随着增加而降低 $$$b$ 但实际上它随着质量的增长而增长 $$$M$ 像 $$$b ^ 3$ 。 通过选择我们可以在任何方向上获得力量 $$$Q$ 从正确的方向 $$$P$ 。 确实，使用这种求和方法可以得到任何答案。

问题是这些外壳实际上不存在。 我们只是在精神上使用这些外壳。 该物质分布均匀，没有壳。 壳是纯粹的心理对象，不应影响响应。 它们仅确定我们总结引力的顺序。