手指上的振幅调制

在最近的一篇文章“ 任意信号的幅度调制 ”中，其作者相当困惑地试图提出他对幅度调制频谱形成的理解。 但是，由于缺少插图和过多的涉及整数转换的数学，使社区无法理解作者的思想并欣赏本文； 虽然主题很简单-我们将尝试通过图片和Wolfram Mathematica再次考虑。

因此，调幅的思想是传输低频信号-语音或音乐-调制高频（载波）信号，该信号多次超出可听范围并在空中占据狭窄的频带。 调制本身是通过简单地将信号乘以载波来实现的：





这里我们有一个频率为5的正弦波：





信号本身-频率为1：





您可能会注意到信号被上移并且只有正值。 这不是偶然的，并且是其后续正确恢复的可能性的前提。 如何还原？ 很简单！ 有必要将已调制信号的相位偏移90度（此操作称为Hilbert变换 ），并计算已调制信号和已转换信号的平方和的根：





在更简单（但粗略）的版本中，希尔伯特变换可以由信号延迟的载波频率周期的四分之一来代替，并且最终信号可以通过低通滤波器进行额外滤波。 在一个甚至更简单的版本中，您根本无法计算平方根和平方根，而是通过绝对值（通常在无线电接收机中使用）对信号进行滤波。

现在，让我们看看光谱发生了什么。 我们计算载波的傅立叶变换：





由于Dirac delta函数不是经典意义上的函数，因此无法以标准方式构建其图； 因此，我们将使用公认的样式手动进行操作：





预期获得与初始公式相同的频率。 存在另一个相同频率但带有负号的信号并非偶然-这种现象称为埃尔米特对称性，并且是由于所讨论的函数是纯实数并且在复数表示中具有零虚部组成的事实而导致的。 变换后频谱中没有虚部，这是由于以下事实：我们的函数最初是偶数（相对于零对称）。

现在，我们对信号本身进行傅立叶变换：









在这里，我们另外在坐标中心获得了狄拉克德尔塔函数-由于信号中存在恒定分量，根据定义它没有振荡-这使我们可以将其视为零频率。

如果将它们相乘，频谱将会发生什么？ 让我们看看：









从理论上讲，我们知道时域中的乘法等于频域中的卷积（反之亦然，在FIR滤波中广泛使用）。 而且由于卷积的信号之一仅包含一个（正和负）频率，因此作为卷积的结果，我们仅获得了信号在频率上（在两个方向上）的线性传递。 并且由于保持了对称性，信号仍然没有虚部。

现在，我们将其变为复杂的（ 解析的 ）形式，将负频率范围归零：





并进行傅立叶逆变换：





由于函数现在很复杂，因此要构建其图，有必要分别提取实部和虚部：





现在，我们的信号具有虚部，即原始信号偏移了90度。 如果我们用三角形式表示结果函数，这将更加明显：





还不是很明显。 让我们尝试简化：





现在看起来更像是事实-如您所见，原始信号的功能也得到了简化。 让我们尝试将其恢复为原始形式：





1/2因子不是偶然出现的-将频谱的一半归零后，我们相应地降低了信号功率。 好了，现在，有了调制的复信号，我们可以使用此模块来计算：





复数的模数是通过虚部和实部的平方和的根来精确计算的。 从这很清楚，为什么编码信号应该只包含正值-如果它包含负值，则在恢复后它们也将变为正值，这称为过调制：





在正交本地振荡器的帮助下，信号恢复也是可能的-当调制信号再次乘以载波频率时，但是这很复杂：













由于频域中的复数频率只有一个脉冲而没有在负频率范围内将其复制，因此通过卷积我们得到了线性频谱转移，其中频谱的负数部分回到中心，而正数则进一步移动，并且它只会被低通滤波器过滤。

结论

如您所见，考虑通过傅立叶变换进行幅度调制并不复杂； 如果我们仅在学校一级考虑它，那么就足以回忆起（载波）和的乘积（以三角序列的形式表示信号）等于乘积的总和（该序列的每个成员在载波频率处单独）-因此，每个这样的乘积都分解为根据原始文章作者已经讲过的公式得出两个正弦波的总和。

细心的读者还可能会注意到，由于调制导致频谱相对于载波频率对称，这意味着存在数据冗余，您只能留下一个边带，从而减少了空中占用的频带。 确实存在这样的技术，但这是一个完全不同的故事。