幸福理论。 斑马定律和外星人排队

我继续让哈勃（Habr）的读者熟悉他的著作《幸福理论》（Theory of Happiness）中的章节，并附带“中庸之道的数学基础”。 这本尚未出版的流行科学书，非常非正式地讲述了数学如何使您以新的认识水平看待世界和人们的生活。 它适用于对科学感兴趣的人和对生活感兴趣的人。 而且由于我们的生活是复杂的，而且总体上是不可预测的，因此本书的重点主要放在概率论和数理统计上。 这里没有证明定理，也没有给出科学的基础知识，这绝不是教科书，而是所谓的娱乐科学。 但是，正是这种几乎好玩的方法，使我们能够发展直觉，为学生提供生动的例子来丰富讲座，最后向非数学家和我们的孩子解释我们在干科学中发现的如此有趣。





我们将讨论Fatum，地震，队列和奇妙的过程：泊松流，随机游走以及有关马尔可夫链的一些知识。

斑马定律

他们说生活就像斑马：白色或黑色的斑马……而且碰巧又遇到了另一种麻烦，生活如此艰难，猫才开始生！ 它很厚，是空的！ 一对一！ 但是最可悲的是，当生活中出现了明亮的连胜时，坏念头渐渐蔓延：哦，我不会纠结，哦，是否有必要为幸福付出代价……一种熟悉的感觉？ 在这种情况下，制定了一种言法定律-奇斯霍尔姆的第二定律：“ 如果进展顺利，不久就应该发生一些事情 。” 但是，由于弗朗西斯·奇斯霍尔姆（Francis Chisholm）在其原始著作中没有提供对该法的详细分析或证据，因此我们将尝试自己找出是否存在任何规律性，或者只是在我们看来。 并且如果这是数学上的怪癖，是否有可能确定斑马身上条纹的特征性持续时间或频率，它取决于什么？

在生活中，事件无时无刻不在发生。 有时它们根本不相互联系，有时它们形成因果关系链。 关于这些联系，链条和预定的生活方式的讨论可能会使我们走得很远，我们将在后面讨论。 同时，让我们一如既往地尝试使用最少的输入数据来分析我们的法律。 考虑一系列彼此不相关的事件，并查看从中可以得到什么。

使用众所周知的Poisson流随机地描述与时间无关的事件。 它对应于从地震到商店出现的许多随机现象。 泊松事件流的特征在于流的强度或密度 -一个确定每单位时间预期事件数的参数。 例如，以天为单位测量时间时，参数的值 $$$\ lambda = 1/7$ 平均而言，每周会有一次随机事件链发生。 这并不意味着事件会每周发生一次。 事件序列可能根本没有任何分配的频率。 最好想象一下这样的每周一次强度的泊松流：一年52周，这意味着每年应该发生约52个事件（平均而言，多年）。 如果我们选择一年中的52个随机均匀分布的日期，则可以将它们视为完全独立的Poisson事件出现的时刻。


构造强度为1/7的泊松流的示例（时间以天为单位）。 在365天的时间间隔内，随机散布了52个彼此不相关的事件。

此外，毫无疑问，这些事件有任何周期性，只要它们愿意，它就会发生。 但是即使在这种混乱中，统计数据仍可以向我们显示某些模式。 例如，上图中所示事件之间的时间段持续时间的分布将完全不一致。


在365天的时间间隔内随机散布的52个事件之间的间隔持续时间的分布密度。

间隙的持续时间的分布趋向于指数式 ，用实线表示。 对于此分布，最大值（众数）为零，平均值恰好为7天。 此外，标准偏差也将等于7天。 标准差和平均值相等是指数分布的特征。 如您所见，这些特征完全不能保证每个事件之间平均会经过一个星期-是的，但是更频繁-更少，此外，可以观察到很长的间隔。 最后，中位数显示所有间隔的一半将持续不超过5天。 强度和频率根本不是一回事，这是非常重要的一点！

公平地说，假设好事和坏事发生的可能性均等，但明亮而重要的事件发生的频率要比小事和无关紧要的事件少。 让它成为一种正常的生活，其中事件的情感色彩服从正态（高斯）分布。 一系列随机的，绝对独立的生活变迁，可能是合成命运一年的样子：

一系列具有各种情感色彩的事件，形成强度为2/7的泊松流（在7天内发生2个事件）。

虽然未观察到任何频带，但存在一些噪音。 每个事件都无影无踪地过去，没有任何记忆或情绪。 不会发生，让我们为模型英雄们留下美好的回忆，对于初学者来说，是理想的。 每个事件可能分别永远埋葬在他的记忆和情绪中，无论是改善还是恶化。 这是我们观察英雄十年的命运可以得到的一张照片。

整合在记忆中的事件构成了“合成生活”的情感色彩。

好吧，好吧，我们已经看到了某种情绪上的交替，但是这张照片并不是很令人愉快。 经过一系列的情绪波动，我们的英雄陷入了深深的沮丧。 太可惜了 让我们再尝试一些命运。 他们所有人都经历了一系列的明暗条纹，但是很长一段时间以来，他们要么陷入绝望的渴望，要么陷入超然的幸福。 当然会发生这种情况，但这显然是异常的。

具有完美记忆的人的“综合命运”的一些例子。

放松，伙计！

我们将模型的命运描述为一个非常显着的过程，称为一维随机游走，并且具有许多不寻常的属性，其中存在自相似性 ，即没有任何特征性的时标。 此外，随意走动可以无限地带您走远，而且，它一定会带您到初始值附近的任何预定距离！ 因此，无论您的事务有多好，如果它们随机游荡，它们肯定会滑落到零并跌至零下，这只是时间问题！ 这种著名的，具有启发性的生活规律，受到玩家的诅咒之称 ，其本质可以用一个简单的格言来表达：

赌博的最佳策略是拥有赌场，否则您将输掉。

我们不会过多关注这个已经众所周知的结果，但是我们仍然会遇到一维随机游走的特性。

完美的情感记忆似乎不是很好。 我们的英雄们不会忘记任何事情，并且会认真记住所有事情，即使是最古老的事件！ 他们幼年时的心情会受到童年玩具破损或年轻人亲吻之乐的悲伤之苦。 而且，所有随后的亲吻和玩具对他们都同样重要。 有必要拯救这些可怜的家伙。 随着时间的流逝，情绪消退，悲伤也变得沉闷，喜悦，可惜。 在许多方面，忘记就像冷却，扩散或减慢粘性流体的运动一样，因此以这种方式进行模拟是明智的。 列出的过程称为松弛过程 。 让我们让可怜的家伙有放松的能力！

松弛系统返回到平衡状态，并且速度越快，与平衡之间的偏差就越大。 此属性可以通过几何级数或指数定律建模。 我们在模型中引入了一个新参数-遗忘率 $$$\亩$ 。 它可以及时表达（在我们模型的读数中），在此期间，情绪水平将大大降低。 例如，对于 $$$\亩= 1/60$ 事件产生的情感痕迹将在两个月内减少一个数量级。 现在，生活已经变得很好了。

记忆的局限性导致以下事实：一系列事件及其在记忆中的痕迹合并在一起，形成了一系列带有情感色彩的条纹。

改变“健忘度”，我们可以或多或少地获得情绪平衡的实验对象。 看来我们找到了斑马纹的来源！ 首先，这是随机行走，容易在所有方向扩散；其次，它可以治愈健忘症，使情绪恢复正常。 结果是波浪状蜿蜒的情绪。

让我们研究已获得的“合成”世界条纹的特性。 我们构建一个直方图，显示带有参数的长寿命（或许多普通寿命）的持续时间分布 $$$\ lambda = 1/7，\ quad \ mu = 1/60$ 。

大量合成命运的幸福和悲伤时期的长度分布。 垂直线标记平均值为33。

引起您注意的第一件事-最大分布（时尚）接近零，这意味着大多数情况下幸福和不幸福的时期都非常短，但是，有些时期也持续超过一年。 平均而言，这些期间的持续时间为33天，标准差为36天。 这种分布接近指数（实际上，更一般的伽玛分布很好地描述了它，并带有使它更接近指数的参数）。 反过来，生活中各个波段的长度的指数分布意味着，情绪波动可以被视为泊松流，也就是说，是一连串独立的随机事件，它们没有明显的频率，但以某种已知的强度发生。 例如，在我们研究的示例中，深色条纹和浅色条纹的强度每33天变化一次，但同时，生命中观察到的周期最短：其中一半不超过10天。

在没有“记忆”的情况下（对于 $$$\亩= 0$ ），则分布不再以指数形式减小，而是呈指数形式。

随机游走的曲折持续时间的分布具有功率分布的性质。

统计学家说，这样的分布有一个沉重的尾巴 ，这很可能使平均值有很大的偏差，我们以在其他情绪中长时间“沉浸”的形式观察到它们。 我们获得的分布具有一个不寻常且奇怪的属性-均未为其定义平均值（均值），标准差或中值。 事实是，所有这些特性都是基于分布密度曲线下的面积计算的，并且是无限的。 在这方面，可以听到这种情况下的平均值是无限的，但事实并非如此。 查看当您尝试计算随机游走的蛇行持续时间的平均值时会发生什么：

在没有记忆的情况下，尝试计算情绪波动之间的一系列时间长度的平均值。 分布繁重的尾部出现了极端值，导致平均值的值不会收敛到任何值。

源于粗尾的巨大跳跃不断击中平均值，平均序列不收敛到任何极限。 平均值根本不是无限的，只是积分不收敛到任何数，并且不可能谈论任何特定的值。 计算蛇行持续时间的平均值的可能性反映了随机游走的自相似特性，即缺少任何适当的时间标度。

我们借助放松或情绪爆发的减弱来模拟对日常动荡的适应性。 这个过程可以用另一种方式来解释，即一个人对生活环境的适应性。 在处理有噪声的信号或序列时，通常使用移动平均法来平滑并选择有用的信号，而不是在每个时刻都考虑信号本身，而是考虑一定时间段内信号的平均值。 因此，可以消除噪声并了解信号的长期趋势。 将这种平均应用于日常动荡，我们可以模拟人类的适应性。 在战争中，人们坠入爱河并找到快乐的理由，就像富裕的闲人的生活并非万无一失。 规范正在发生变化，情绪从一个方向或另一个方向偏离。 考虑到一系列情感和一条平滑的背景线之间的差异，我们得到的图像，条纹是以前模型给我们的，具有相同的统计特征。 这并不奇怪，因为从概念上讲它们实际上没有区别，描述了具有松弛的系统。

通过模拟一个人对环境适应能力的移动平均值，可以获得曲折和变化的心情。

一链相连

在考虑的模型中，我们收到了情绪波动的泊松流，并通过泊松流生成了事件。 可以看到其中的一些操纵-泊松随机过程被证明是“缝制”到模型中的。 我们的结果有多普遍？ 是否有可能以其他方式获得它？

世俗的经验是形式化程度不高的事情，可以适应各种数学工具，不仅可以简化假设，而且可以进行推测。 在科学中，这种方法是不可接受的，但是在我们通过随机过程理论方法进行的探索中，我们可以与他们一起玩以更好地了解。

观察情绪的变化和对世界的感知，您会发现“坚持”某种情绪是人类的天性。 如果总体上进展顺利，那么坏消息可能会令人乐观。 相反，一旦被人吞下，忧郁的情绪甚至会破坏喜讯。 从数学角度来看，这意味着停留在当前情绪中的可能性大于改变它的可能性。 可以使用称为Markov链的随机过程来描述此行为。 在一般情况下，马尔可夫链可以表示为状态之间的转换的固定状态集合，并且从状态到状态的转换具有不同但已知的概率。 以加权图的形式表示这样的链很方便，例如，可以用这种方式表示描述情绪动态的基本对称马尔可夫链：


具有两个状态（“快乐”和“悲伤”）的马尔可夫链。 箭头指示过渡和这些过渡的概率。 在我们的对称情况下，停留在现有情绪中的可能性超过其变化的可能性，但并不取决于情绪本身。

我们的链条能够产生状态序列，当然，世间斑马带也会出现在其中。



最有趣的是找出哪种分布受这些频段的持续时间影响。 对于我们不仅仅是简单的模型，答案可能是准确的-这是一种几何分布 ，描述了在观察到第一个“成功”之前观察到给定数量的随机实验的概率。

对称马尔可夫链生成的序列中相同情绪周期的持续时间的直方图，以及参数等于状态之间转换概率的几何分布的概率函数。 该序列为十年。

几何分布是指数分布的离散模拟，在某种意义上，指数分布的随机变量的取整值服从它。 几何分布参数与相应指数分布的强度之间存在关系。 因此，我们再次获得了情绪波动的泊松流，对于我们描述的马尔可夫链，其强度为 $$$\lambda = -ln(0.75) \approx 2/7$ 。

如果我们打破了链条的对称性，那么我们可以描述一个“乐观主义者”或“悲观主义者”，他们更愿意“坚持”一种或另一种心情。条带持续时间的分布将偏离几何形状，但是同时，尽管如此，大多数条带还是很短的。并且不会观察到任何突出显示的周期性。


由不对称马尔可夫链生成的序列中恒定情绪持续时间的直方图。该序列为十年。

马尔可夫链是分析特定算法或场景所处的随机过程的强大工具。它们使我们对被认为是周期性的过程有一个特殊的了解。例如，著名的格言：“人类的历史走了一圈”通常被解释为一个事实，即历史中存在某些周期甚至周期性。例如，人们必须听到，本世纪初将带来动荡和战争。冒着进入我自己的主题的风险，我敢于假设，实际上有意义的不是讨论文字周期，而是谈论或多或少的稳定场景-可以用马尔可夫链描述的规则链。在马尔可夫链中，有一类循环链，实际上能够创建重复序列。但是，它们的行为没有真正的确定性周期性。在不同的历史时期和不同的背景下随机发生的这种循环彼此相似，并且可以产生一种历史上的“似曾相识”感。研究和描述它们很有用，但也许您不应该期望制定严格的日历计划。

在此，我们结束了斑马的话题。从我们轻描淡写的研究中可以得出什么结论？生活中的一系列明暗条纹不是幻觉，而是真实的。但是其中没有特定的模式。大多数情况下，它们很矮，但它们也很持久。这一切都取决于性格的难易程度和摆脱过去的能力。而且，如果生活中的事件很少发生，那么生活将成为过去消失的灰色记忆系列。因此，记住经历过的事情符合我们的利益，确保生活不会成为随意的走动也符合我们的能力。即使微不足道的事情发生，我们也可以使大事变大并频繁发生。滑雪旅行，对路人的真诚微笑，音乐会门票，在寒冷的天气里喝杯热巧克力，所有这些都将有助于创造积极的趋势，并延长生活中的辉煌。的确，平均值将遵循趋势，因此不可避免的悲伤事件必定会改变情绪。但是，不要将幸福归咎于此。这不是对他的报应，不是邪恶的眼睛。松弛系统的这种特性是在随机外部作用过程中产生振荡的趋势。

关于等待公共汽车或地震

事件发生的频率（周期）和强度之间的差异非常重要，足以使您在收听新闻或阅读科学研究结果时能够理解。例如，今天，地震学家们，a，无法预测特定的地震：其时间，地点和强度。但是，已经开发出了对某些区域进行长期地震预报的方法，但是其结果是用概率论的语言表述的，处理这些方法并不总是很明显。

例如，对于2018年彼得罗巴甫洛夫斯克-堪察加半岛所在的阿瓦查湾，给出了以下预测：“未来五年，在彼得罗巴甫洛夫斯克-堪察加市发生的强于7.7级的地震的总概率可能达到7-9点，在接下来的五年期间将达到52.3。 ％。”这是什么意思？明天动摇吗？什么时候在哪las，我们尚无法回答此类直接问题。此消息的确切解释是：地震流的强度现在使得在接下来的500年中，将发生大约52次地震（假定流量保持不变）。此外，在一个月内，预测可能会更改。从某种意义上讲，该强度类似于瞬时移动速度：为了测量您以60 km / h的速度运动，没有必要将整个60 km行驶一整小时。而且，最重要的是，科学家所做的预测并不意味着两次地震之间会间隔10年，而是将500年划分为52个事件。因此，如果十年来没有强烈的地震，这并不意味着今天或明天都不会发生。当然会发生，但是要等待多少时间，未知。

看看堪察加半岛地区地震活动的水平在不同的时间尺度上如何变化（图片取自俄罗斯科学院统一地球物理勘测中心堪察加半岛地震活动监视器的位置）


较低水平的活动被增加的活动“呼吸”所代替，但不是周期性的，而是像在放松时一样随机游荡。

但是，地震却是令人不快的现象，因此不会再发生。您会急切地期望某些事情，例如公共汽车。当然，到达公交车站时，我们希望立即乘坐所需的公交车或电车路线，但最有可能失败。然后，如果在这个地方有明确的时间表，我们先看一下，然后看时钟，然后跳入一本书或一部电话。但是通常在路线的中间而不是在时间表中显示交通间隔，例如15分钟。这意味着我们已经远离巴士站，巴士恰好在该车站准时出发，并且积累了一些错误，使公交车的到来变得随机。好吧，十五岁，所以十五岁，让我们等待。在这里，您需要记住，无论您何时来到，平均而言，您必须等待15分钟。现在，如果公共汽车来自频率为 15分钟，平均等待时间将是周期的一半-7.5分钟，但强度很大，将无法正常工作！在没有其他条件的情况下，运输的运动是通过泊松流来模拟的，这意味着公交车的等待时间将以相同的强度服从指数定律。对强度指数分布量的数学期望$$λ等于$\lambda$$$1 / λ，从而得出我们的结论。而且，这完全令人讨厌-您已经在巴士站停留了多少时间，不会影响巴士即将驶入的可能性。这种工作具有指数分布的特性，因为缺乏与泊松事件独立性相关的记忆。$1/\lambda$

总结一下。到达公交车站前，您需要做出一个明确的决定：等待或步行，然后再思考一个话题：等待还是步行-只有注定要自己遵守卑鄙的规律。当您已经等了17分钟，吐口水并步行时，您很可能会被期待已久的公交车赶上，甚至两辆。好吧，这样一来，等待公共汽车变成一场充满命运的乏味和无望的比赛，让我们回想起前一章骑自行车的人的诅咒，它有效地延长了观察到的等待时间。


有趣的是，任何强度的指数分布的洛伦兹曲线都是相同的。因此，该陈述适用于所有Poisson过程：在下一个事件被延迟的情况下，总观察时间的一半发生在20％的情况下。指数分布的基尼系数恰好是1/2。

外星人转

我考虑卑鄙的定律，在机场排队等候旅客和行李的登机。排队很长，人们与众不同，他们的所有包，小孩或笼子都很引人注目。我从背后听到咕gr声：“像往常一样，我们的转弯很慢。瞧，瞧，那顶帽子必须与我们齐头并进，然后在那边……那是卑鄙的定律！我的转弯总是很慢！” 该定律称为埃托尔观测：

“下一行总是走得更快。”

控制理论和随机过程理论涉及整个领域，涉及队列的动力学问题。这对于商店和候车室的设计，银行手术室的最佳管理，收费高速公路的大门和文件管理非常重要。队列建模的起点是相同的泊松流，因为它需要最少的附加假设。因此，站在队列中的人的运动将采取单调增长的阶梯线的形式，其中相同的阶梯以随机间隔发生。以这种方式积累的数据称为泊松过程。

这是两条长线可以移动的方式：

泊松过程以相等的强度移动两个相邻的队列。

反过来，两个相同的泊松过程之间的差异（即由无聊的人观察到的差异）是一种随机行走。 如果是这样，那么我们准备得出一些结论。 第一：同时站在同一队列中的人之间的距离会增加或减少，并且会形成持续变化的特征曲折。 第二个结论：由于短脉冲和长脉冲的随机游走具有相似性，因此，蜿蜒的持续时间与排队的时间相当，这意味着它们会引起人们的注意，并且蜿蜒会引起不满。 第三个结论：事先不知道哪个队列会更快，因为随机游走同样有可能上下。 最后，第四个结论：队列独立地移动，不时地向前移动并相互追赶，平均而言，它们以相同的方式移动，并且它们之间的预期差异趋于零，但是平均时间周围的分布随时间增加（在我们描述的情况下，值一个队列与另一个队列的滞后性取决于Skellam的分布 ）。 事实证明，或者是用快速路线猜测的还是没有-命运的反派都没有卑鄙的东西！

但是，如果卑鄙的定律不主张普遍性，就不会被称为定律。 如果我们不幸运地处于落后状态，那么我们将在其中花费更多的时间，并且我们将有更多机会抱怨命运！ 现在，注意，一个好消息：在任何选定的时间间隔内，幸运的人比不幸的人更多地进入快速排队，因为快速排队会错过更多的人！ 但是，a，这不会安慰任何陷入困境的人。

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提交的文本尚未发布，这意味着可以更改。 我希望哈勃（Habr）读者的评论和言论将帮助他变得更好。