我继续让哈勃（Habr）的读者熟悉他的著作《幸福理论》（Theory of Happiness）中的章节，并附带“中庸之道的数学基础”。 这本尚未出版的流行科学书，非常非正式地讲述了数学如何使您以新的认识水平看待世界和人们的生活。 它适用于对科学感兴趣的人和对生活感兴趣的人。 而且由于我们的生活是复杂的，而且总体上是不可预测的，因此本书的重点主要放在概率论和数理统计上。 这里没有证明定理，也没有给出科学的基础知识，这绝不是教科书，而是所谓的娱乐科学。 但是，正是这种几乎好玩的方法，使我们能够发展直觉，为学生提供生动的例子来丰富讲座，最后向非数学家和我们的孩子解释我们在干科学中发现了什么如此有趣。这是第一章中的第一章，其中以骑车人为例，我们考虑了衡量不公正现象所需的工具：洛伦兹曲线和基尼系数，以及臭名昭著的帕累托和强大的检查员。
法律就是法律
在本书中，我们将讨论各种麻烦。 熟悉，期望且可预测，以至于他们获得了法律地位。 他们中的很多已经被制定出来了：这是下降三明治的定律，也是墨菲的定律：“
如果可能发生任何麻烦，它就会发生。 ”而奇索姆定律的主题是：“
如果进展顺利，不久的将来应该会发生。 “和埃托尔的观察：”
下一轮总是移动得更快。 “它们中的大多数都是微不足道的，但是根据缪尔定律，”
当我们尝试拉出一件事时，事实证明它与其他所有事物都息息相关。但不是 与他们战斗，但只是为了娱乐。 而且由于在这种情况下我们将使用数学，因此与结果本身相反，乐趣将是独特而有用的。 好吧，如果我们的推理使我们走得太远，我们可以采用Persigue的假设：“
解释任何给定现象的合理假设的数量是无限的。 ”最后，格罗斯曼引述Kh。L. Menkin正确地指出：“
复杂问题总是有简单，易于理解，错误的解决方案。 ”
我们遇到的一些麻烦是自然而确定的，而某些则是随机的，概率性的。
例如，如果您将工资降低了10％，然后道歉并增加了10％，那么最终您会因为
x（1−0.1）（1+0.1）=x（1−0.01）<x。
此外，如果先增加工资，然后再不道歉就将工资降低相同的10％，结果将是相同的，因为乘以系数的顺序无关紧要。 这很简单，令人反感，但与运气无关。
确定性问题的另一个例子是戴着耳机在口袋里发生的魔力：我们将折叠好的耳机放在口袋里，半小时后奇迹就发生了，我们从口袋里掏出一捆电线。 2007年，两位来自阳光普照而宁静的圣地亚哥的科学家发表了一篇严肃的科学文章，
“兴奋的线程上节点的自发形成” ，其中对口袋中的耳机混淆进行了详细分析和建模。 作者基于打结理论，概率论和物理实验，令人信服地表明，使用标准的缠绕方法，耳机确实需要纠结，而且仅需晃动几秒钟即可。 但是，我们已经在观察这一点，在这里只有推断的纠缠速度是意外的。 很有可能以数学方式处理这种麻烦：您需要更改耳机的折叠方式-不是用倾向于形成节点的环，而是用相反方向的一系列环，如图所示。 使用这种折叠方法，环之间会相互破坏，并且不会形成节点。 多年以来，我一直以这种方式折叠耳机，感觉自己像是一个凉爽的拓扑专家，每当我因不小心晃动而放松自己时，我都会像把戏一样欢欣鼓舞。
折叠导线的一种方法，不导致导线缠结。 他也擅长在您将手指放在爱的手印中的事实。但是，即使在本质上是随机的法律中，也并非每个人都同样有趣。 例如，布克（Buk）的定律：
“您总是在最后一个口袋里找到钥匙。” 没有任何合理的依据。 一个简单的计算表明，以相同的概率找到所有口袋的钥匙，后者与其他口袋没有什么不同。 是您会随机检查所有的口袋，无论如何都要几次调查它们。 在这种情况下，出现钥匙的口袋数量的概率函数为
N 口袋由
几何分布描述：
P（n）= frac1N\左（1− frac1N right）n−1，
预期的口袋数将相等
N 。 也就是说，从某种意义上说，正在实施比奇法律。 但是，以这种方式，我们正在寻找钥匙，除非我们真的迫切需要进入洗手间，否则这已经是成熟的卑鄙定律。
我们将对那些自相矛盾和具有启发性的法律感兴趣，这些法律看起来像邪恶的石头，从众多选择中选择最烦人和不愉快的选择，这与直觉相反，表明这种选择不应该是最可能的。
如果沿着这条路很长，很长，很长...
我是业余自行车的忠实粉丝。 这比在清晨在寒冷中沿着铁轨奔跑，在平坦的斜坡上滚下要好。。。这种感觉值得克服无尽的爬升或抵抗逆风的感觉！ 没错，有时候上升似乎比下降还要多，无论您走到哪里，风都在努力迎面而来。 在有关这方面的语言学书籍中，给出
了骑车人的法律 ：
无论您走到哪里，都很难上风。
我住在堪察加半岛，在彼得罗巴甫洛夫斯克有很多滑梯，在城市周围骑行，这是无法避免的。 但是，我应该从这样的想法中得到保证，即我从家中出发，然后又回到家中，这意味着下降的总次数应等于上升的总次数。 radial回路线会特别诚实。 想象一下，一条2公里长的轨道由一个对称的山丘组成：向上一公里，向下一公里。 我可以以10 km / h的速度上坡足够长的时间，在下坡时，我尝试保持40 km / h的速度（是的，我很小心并且戴上头盔）。 这意味着我在攀登上花费的时间比在下降上花费的时间多四倍，大致情况如下：4/5的旅行时间将花在温和的上升上，而只有1/5的时间花在令人愉快的下降上。 事实证明真可惜-步行时间的80％由道路上的困难部分组成！ 如果我从丘陵城市抽水，向海洋或进入Avachi河谷，几乎不会有滑坡，但是我仍然会遇到逆风和顺风，或者路段不畅。
让我们从概率理论来看骑单车的规律。 如果我在骑车过程中拍了很多自拍照，然后又开始不带杂物包去看它们，那么其中很大一部分照片将显示我身穿橙色头盔的身材弯曲，谦卑地爬上山或逆风而行。 遗憾的是，从广告图片中看到在图片中飞舞的自行车手的可能性仅为20％。 统计数字会怎么说？ 如果我们在丘陵地带上放开一大群骑自行车的人，稍等片刻，观察他们的密度，我们将看到大多数运动员如何在困难的地区拥挤，而在大众中找到宁静的笑脸的可能性不会那么大！
对山地自行车道上的自行车运动的仿真建模结果。 对于运动中的每个参与者，都设置了其动力，并确定了其上升和下降的最大速度（考虑了空气阻力）。 可以看出，在乐章开始后多长时间，大多数乐团都集中在起伏上。让我们就像在学校一样，在图表上显示当沿着对称的三角形山丘移动时骑车者的运动对时间的依赖性。 我们只是按照自己的任务规模，以成人的方式完成所有工作：我们不会以公里为单位来测量距离，而是以总路径的几分之一来进行测量，并且在旅行时间上也一样。 方式的前半段（段
AB ）骑自行车的人缓慢地移动了很长时间-
4/5 一直以来，第二个（段
BC ）快速克服-
1/5 时间。
骑自行车者的日程安排，以总路径和时间的比例表示。计量经济学家，人口统计学家，生态学家或市场营销人员采用一种完全通用的判断世界不公正的方式-
洛伦兹曲线和相关的
基尼系数 。 对于已知的有价值的东西（例如货币）在特定人群中的分配，可以通过增加财富水平对集合的成员进行排序后，首先建立一条累积曲线，将X轴归一化为人口规模，将Y轴归一化为其总体福祉。 结果是一条曲线以美国经济学家马克斯·奥托·洛伦兹（Max Otto Lorenz）的名字命名。 当我们绘制骑车人的运动图时，我们实际上绘制了洛伦兹曲线以沿着仅由两列组成的路径的延伸方向分布速度。
沿着行进路线骑单车的速度分布。当然，并不是每个运动计划都可以看作是洛伦兹曲线。 在构建之前，您需要通过提高速度对行驶时间进行排序，然后继续进行构建。 换句话说，首先需要构建速度的直方图，然后依次添加直方图所有列的贡献，从小值的贡献开始，到最大的贡献。 结果应该是一条在对角线以下的凹曲线（
AC ） 该对角线称为
等距曲线 ，在我们的情况下，它对应于沿整个路径的恒定（平均）速度，或者与一个单列的直方图相对应（δ形概率密度函数）。 从经济意义上讲，就是普遍的福利平等。 洛伦兹曲线偏离均等曲线的次数越多，则认为“公平”分布越少。 一旦我们研究了世界的卑鄙和不公正定律，明智的做法是同时使用用于研究正义的术语和工具。
除了类三角分布外，任何分布的Lorentz曲线下的面积都小于均等曲线下的面积。 它们的差异可以作为分配不平等或“不公正”的形式特征。
基尼系数反映了这一特征。 它是由等值曲线和洛伦兹曲线形成的图形面积的两倍。 对于理想世界，基尼系数为0，在最噩梦的版本中，基尼系数趋于1。 在我们检查的示例中，该值为0.35。 这是一个很好的指标。 例如，俄罗斯人口中的财富分配现在的基尼系数为0.39，在美国为0.49，在奥地利和瑞典不超过0.3，而在2017年全世界的基尼系数为0.66。 因此，骑自行车的人的情况当然是侮辱性的，不公平的，但却是宽容的。
我们考虑了距离的速度分布，如果给定了时间的速度分布，将会发生什么（我们将行驶时间划分为间隔，并用一种或另一种速度计算间隔的数量）。 由于洛伦兹图的无量纲性，我们可以再次绘制相应的曲线，甚至可以与先前的结果进行比较。 例如，让一半的旅行时间为一个小时，一个骑自行车的人以10 km / h的速度骑行，一个小时以40 km / h的速度骑行（以什么顺序无关紧要）。 然后，整个路径的1/5将下降到低速，而4/5将下降到高速。 在速度随时间分布的情况下，洛伦兹曲线将是洛伦兹曲线的反映，用于相对于对角线，垂直于等距线的某个距离上的速度分布。 在这种情况下，基尼系数将保持不变，因为当曲线被反射时，其下方的面积将保持不变。 因此，根据不公正程度，这两个不同的条件被证明是相同的，尽管第二种情况似乎更加令人愉快！
在两个不同速度的相同行驶时间下，骑车人的运动时间表（洛伦兹曲线）。请注意，借助一些正式索引，我们开始比较完全不同且无与伦比的事物，这既诱人又危险。 您需要意识到，正式索引和标准始终等于某物，而不管它是否有意义。 我们比较了各国人口之间的财富分配以及克服与某些被认为是公平的选择的差异所花费的时间。 只要我们就卑鄙定律进行琐碎的，有时是流氓的谈话，也许这是一个合理的比较，但是在数学上，当然不能做到这一点。 洛伦兹曲线以及基尼系数可以通过它正式计算出图像中像素亮度的直方图或实时语音中单词的出现频率，这与正义没有任何关系，而且意义不大。 因此，考虑到任何可怕的基尼指数，我们将其
称为平均值指数，以免因术语的含糊误导读者。
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骑自行车的人得出的结论是：“世界是不公平的，大部分精力是工作中最愚蠢的部分”，通常被称为
帕累托 原理或
“ 80/20”原理 。 这是绝对的经验主义，没有人证明帕累托原理，但是人们经常引用它，以至于已经给人以真理的印象。 它被用作借口和指示，可在各种表现形式中找到，有时它也可以起作用，例如，“ 80/20”原理对应于0.6左右的均值指数-就世界范围内的财富分配而言。 理解这不是命运的情节，而是最简单的数学，没有道理可言，因此，人们可以学会享受旷日持久的工作和繁琐但不可避免的工作阶段，至少可以解决思想上的问题或进行冥想。 道教们竭力永远活着，并正确地推断出，为了实现自己的目标，与身体共同努力需要思想的准备。 确实，对于永生，您不仅需要放宽依恋的能力，还需要耐心，以及长时间伸展的能力。
帕累托原理具有更严格的概括，对理解很有用。 以无名骑自行车者的名字命名的卑鄙定律具有正式的科学名称：
检查的
悖论 。 在许多与社会学调查有关的研究中都发现了这一众所周知的现象，并在故障理论上进行了测试（应用数学的一个部分，内容涉及复杂系统的可靠性），从而将观察到的结果隐式但系统地转移到了更频繁观察到的现象上。
让我们举一个经典的例子，对公共交通乘客进行一次调查。 每天都有很多公交车在线路上运行，在相对短的高峰时间，公交车就会溢出，而其余时间则几乎是空的。 如果我们询问乘客，那么他们中的很大一部分将是在拥挤的公共汽车上（那里的人数更多），我们将表现出普遍的不满。 如果我们采访司机，他们会抱怨大部分路线的不完整性以及徒劳的驾驶当局的不合理。 灵活的时间表可以使情况变得平稳，但是无论如何，洛伦兹曲线将偏离均等曲线，这对应于所有公交车中总是有相同数量乘客的令人难以置信的情况。
在概率论的介绍中，经常会发现一个特殊的不透明袋，数学家在其中放入各种物体，然后随机将其取出，有时得出非常周到的结论。 解决这一矛盾的方法是，我们对乘客流量系统进行了整体分析，然后将公交车放在袋子中，然后进行调查，我们从乘客中随机抽出（检查）乘客，并尝试根据这些结论得出结论。 图为区别是什么：
公交车的统计数据表明，其中75％的公交车是免费且无用的。 同时，一项乘客调查将发现当天旅行的64％的乘客是拥挤的车辆。让我们通过绘制洛伦兹曲线（这次是真实的曲线）来了解这种情况，该曲线是上图中的公共汽车上的乘客人数。为此，您需要按乘客数量对公交车进行排序，并顺序总结每辆公交车对总客流的贡献：洛伦兹曲线很好地说明了所观察到的公交车不公平状况：一半的公交车仅载有五分之一的客流。在这种情况下，洛伦兹曲线显示了当根据组成员资格（垂直轴）分析元素分布时，某些组中元素数量分布的分位数（水平轴）如何移位。实际上，这是检查的悖论：检查员观察到的图像被扭曲了，因为他没有分析组，而是分析了组的元素，而观察到的平均值和中位数却朝着分布的“更重的尾巴”移动。就其本身而言，我们的自行车定律很简单，但是它会不时地加剧其他卑鄙的定律，给他们增加沉闷的情绪基调。考虑均值定律，我想考虑检查员对世界的感知在改变图像颜色曲线方面的扭曲。在光栅图形编辑器中，我们使用“曲线”工具来修改图像，从而改变亮度中像素数量的分布。例如，在这里，我们为公交车获得的洛伦兹曲线如何改变对现实的感知。正如我们所期望的那样，世界的景象越来越暗。该示例中的洛伦兹曲线在栅格图形编辑器中用作“曲线”过滤器，使堪察加公交车的可见图片更暗。抱怨公交车“总是迟到”并且“总是挤满了人”，请放心，这只是与检查悖论有关的幻想！检查悖论可以表现为极端：如果在我们理论袋中放置的元素组中有一些元素不仅罕见但根本无法观察到，那么我们就会遇到幸存者的系统错误。对于刚起步的商人和程序员，经常在各种令人沮丧的文章中讲述这种现象，以确保他们书中描述的成功之路对他们而言极有可能是失败的，因为他们说，未写成功的书。但是，这与卑鄙定律无关，因此让我们保留这些论点。总的来说，所描述的悖论是在接收和处理数据时所犯的方法学错误，了解它们是有用的，但是，不幸的是，它们引起了人们对统计学的广泛看法，因为人们对这些数据的不公平操纵远远超出了这些方法。我们将不止一次地遵守骑自行车者的法律及其影响：在排队或在公共汽车站站着，观察财富分配的不公。洛伦兹曲线和小人指数将使我们能够大胆地比较彼此不同的事物。数学是一门精确的科学，但没有人禁止数学家行为不端。当然，在他的圈子里，没有打架。
事实证明，出版有关Habré的章节的经验非常有用：读者的评论使我可以更正措词，扩大示例范围和自己的视野。我很高兴在书中谈到我们的社区如何帮助其进行编辑，并感谢Habr的创建者和居民参与其中。