亚历山大·沃尔希诺夫（Alexander Voloshinov）的书“数学和艺术”中的一章（莫斯科：启蒙运动，1992年）
毕达哥拉斯（Pythagoras）拒绝根据情感证据对音乐进行评估。 他认为，她的美德应该被思想所感知，因此不是根据耳朵而是根据数学上的和谐来判断音乐，并发现将音乐的研究范围限制在一个八度即可。普鲁塔克严格来说，我们在谈论勾股系统。 音乐中的伽玛和标度是什么？
伽玛 （ scale ）是某些音乐系统（fret）的声音（阶跃）序列，从主声音（主音）开始按升序或降序定位。 名称“ gamma”来自希腊字母Gγ（gamma），该字母在中世纪表示音阶的极低调，然后是整个音阶。
音乐声的最重要特征是音调 ，它是对诸如弦之类的发声体的振动频率的意识的反映。 琴弦的振荡频率越高，我们听到的声音就越高。
每个单独的声音都不会构成音乐系统，并且如果声音不太大，也不会引起我们太多的反应。 但是，在其他情况下，两种声音的组合已经证明是令人愉悦且和谐的，而在其他情况下，则“割伤”了耳朵。 两种声音的一致组合称为谐音 ，不一致的组合称为不谐音 。 显然，两个音调的谐音或非谐音由这些音调之间的高度距离或间隔确定。
在此音阶中，两个音调之间的间隔是较高音调相对于较低音调的序列号，两个音调的间隔系数 I 21是较高音调的频率与较低音调的频率之比* ：
（6.1）
* （ 在音乐理论中，间隔和间隔系数的概念没有严格区分。按照传统，为了简洁起见，我们经常将间隔系数称为间隔。 ）
现在让我们通过按下例如钢琴上的几个键来考虑一组特定的声音。 正如他们所说，最有可能的是，我们将得到一套不连贯的声音，无论是仓库还是品格。 在其他情况下，声音似乎很合适，彼此融洽相处，但是它们的组合似乎参差不齐，未完成。 我想将这个序列继续到一定的音符，在这个声音系统中，这似乎是最稳定，最基本的和称为补品 。 因此，音乐系统中的声音是通过某些依赖关系相互关联的，其中一些是不稳定的，而会吸引到另一些- 稳定的 。
但是，不仅补品以及稳定声音和不稳定声音的组合都决定了音乐系统的性质。 通过连续按八个白色键（从音符到（音阶到大自然 ）和从音符a（ 自然小调 ））很容易确定，这些音阶听起来有所不同：第一个-大号-听起来开朗轻快，第二个-小号-悲伤然后阴* 。 因此，声音系统还有另一个特征-情绪：大或小。 因此，我们来到了音乐理论中最复杂的概念之一-品格概念。
* （ 当然，对于品格的声音的性质并没有如此粗略和明确的定义。这个问题非常微妙，我们将在本章的最后进行讨论。 ）
品格是一种听觉上令人愉悦的音乐声音的相互作用，它由不稳定声音对稳定声音的依赖性，首先取决于主要的稳定声音（补品，并具有一定的发声特性）的倾斜度来确定。 音乐文化的历史知道不同民族和不同时代的许多模式。 古希腊人知道大约十二种品格，而一些东方国家和印度的品格对于欧洲人的听觉来说是极其复杂，奇特和不寻常的。 最常见的现代模式由七个主要步骤组成，每个步骤均可增加或减少，从而提供五种其他声音。 因此， 全音阶 （7步）伽玛品格变成半音阶 （12音）。 品格的第一步是补品。 品格结构的定律是一门完整的科学，是音乐学的基石，许多科学家和作曲家毕生致力于这些定律的研究。
我们将首先对描述品格结构（即音乐系统）的数学定律感兴趣。 音乐系统是特定音高关系系统的数学表达。 除了纯粹的理论兴趣外，该系统还可以用于调整具有固定音高的乐器，例如钢琴或风琴。
总之，我们注意到，在钢琴上按下琴键的实验可能会以最稀有和最令人愉快的现象结束，此时所采取的声音系统不仅属于品格，而且也很有意义。 这样具有不同高度的具有艺术意义的顺序声音序列称为旋律 。 这就是我们喜欢根据自己的心情哼哼的声音-激动，悲伤，开朗...
在短暂的理论音乐学游览之后，我们可以回到明智的毕达哥拉斯时代的阳光明媚的海拉海岸。 在构建勾股系统时，我们将尝试恢复毕达哥拉斯和他的学生们的推理，因为正是这种系统决定了数千年（甚至不是永远）音乐文化的整体发展，不仅是欧洲的，而且是东方的。 毕达哥拉斯本人并没有留下任何书面作品，毕达哥拉斯人的遗产似乎是一堆没有希望的废墟，即收集了一些意外幸存的碎片和后来的引文。 毫无疑问，这些废墟是美丽的，并且仍然令人赞叹不已，就像著名的帕台农神庙（Parthenon）的废墟一样，但是这些碎片中的大部分已经完全丢失了，您通常只能猜测整体。 但是...
单弦单弦乐器是古希腊人最早的乐器之一。 这是一个长长的盒子，需要放大拉弦的声音。 从下方，用移动支架拉动琴弦，将琴弦分成两个独立的发声部分。 在弦下的一个木盒子上有一个刻度，可以精确地确定弦的哪一部分。 当然，单弦和弦作为一种乐器在我们看来似乎太原始了，但是它是一种出色的物理乐器和一种教学工具，古代的沉思者可以从中领会音乐素养的智慧。
古人断言毕达哥拉斯已经知道单弦弦的振动定律和音乐和音（和音）的构造，但是，我们从塔伦图斯的毕达哥拉斯大主教（公元前428-365年）那里找到了这些定律的记录，他的生活比毕达哥拉斯晚了一个半世纪。 。 当然，建筑师是毕达哥拉斯学派最杰出的代表，哲学家柏拉图的朋友，数学家尤道克斯（Eudoxus，约公元408年至前355年）的老师，政治家和指挥官。 Architus的多功能性非常惊人：他解决了著名的de los加倍立方体的问题，当之无愧地被认为是最大的毕达哥拉斯音乐理论家，他是第一个精简基于数学的力学并将机械运动简化为几何图形的人，研究了一只飞鸽的木制模型。 根据范德瓦尔登（Van der Waerden）的说法，阿克（Arch）是欧几里得（Euclid）第八本书“起点”的作者，该书阐述了比例的算术理论。 作为政治家，阿奇特非常受人尊敬：他连续七年当选为战略家* ，尽管根据法律，战略家只被选为一年。 通过熟练的外交演习，阿奇特将柏拉图从囚禁中解救出来，从而挽救了这位伟大哲学家的生命。 “光荣的建筑师，陆地，海洋和沙子计算器……”-贺拉斯写道。
*（ 战略家-在古希腊城邦中，一位拥有什基军事和政治权力的军事领导人。 ）
整个毕达哥拉斯音乐理论所基于的“毕达哥拉斯-建筑大师法则”可以表述为：
1-音弦的音高（振荡频率f）与长度l成反比：
（6.2）
这里的a是比例系数，取决于琴弦的物理特性（厚度，材料等）。
2.两个发声的字符串只有在其长度被称为组成三角形的整数时才具有谐音，该三角形的数字为10 = 1 + 2 + 3 + 4，即1：2：2：3，3：4。
这些间隔是“完美的谐音”，其间隔系数后来被赋予拉丁文名称* ：
* （ 音乐中音程的名称是拉丁数字，表示组成音程的音阶的音序号，以初始阶段为单位：八度-第八，第五-第五，第五-第四等 ）
八度
五重奏
夸脱
三角数10
还应注意，音调的最完全融合是八度（2/1），然后是五重奏（3/2）和四重奏（4/3），即，相对于形式，数字n越小 
间隔越辅音。
“毕达哥拉斯的第二定律-Archite”，现在看来令人惊讶。 我们能说说他迷恋的毕达哥拉斯人！ 在这里，他们发现了他们整个哲学的证实：整数，四元数决定了一切，甚至是音乐！ 毕达哥拉斯人并没有长时间等待，并在可能的范围内扩大了音乐关系的定律，包括宇宙的结构。
因此，如果我们将等于单弦弦长度l 1的 1/12的线段l作为分割单弦音阶的价格，则与长度为1 1 = 12l的整个单弦弦一起，其长度l 2 = 6l的部分将是辅音-声音高八度（l 2 / l 1 = l / 2），l 3 = 9l-听起来高五倍（l 3 / l 1 = 2/3）和l 4 = 8l-听起来高一夸脱（l 4 / l 1 = 3/4 ） 此辅音及其定义数字6、8、9、12被称为四重音（四个）。 毕达哥拉斯人相信四分体是“警报器唱歌的那个规模”。 调节古老的里拉琴（成为音乐的象征）时，必须按照四重奏的规则来调节它的四根琴弦，而其余弦的调节取决于弹奏它的品格。
但是对于古代思想家来说，仅仅建立所研究数量的数值是不够的。 毕达哥拉斯人的眼睛和心灵不仅习惯于测量，而且习惯于测量，即揭示被研究对象之间的内部联系，换言之，建立比例关系。 建筑师是一位真正的毕达哥拉斯人，他在主要的完美辅音（八度，五分之一和四分之一）之间建立了比例关系。 建筑师是根据将八度音阶划分为和谐区间的愿望而获得此决定的。 Architus可能从直观上显而易见的假设出发，即与音调f 1和f 2 = 2f 1一起给出主要的辅音-八度音阶，辅音及其算术平均值f 3 =（f 1 + f 2 ）/ 2。 但是，然后根据（6.2），用字符串长度l 1和l 2来表示字符串长度l 3 ：
即l 3是谐波均值l 1和l 2 （请参阅5.1）。 相反也很容易检测到：频率f 1和f 2的谐波平均值进入长度l 1和l 2的算术平均值：
记住 
与建筑师一起，我们得出一个重要的结论：
（6.3）
（6.4）
即， 第五个是基音l 1和八度音l 2的弦的长度的谐波均值，而夸脱是l 1和l 2的算术平均值。
但是算术平均值和谐波平均值的乘积等于原始数的乘积：
（6.5）
将两部分除以l 1 2 ，得出第二个重要结论：
（6.6）
或
也就是说， 八度是五分之一夸脱的乘积。
将（6.5）除以l 1 l 3 ，Archite获得主要比例的三分之一-几何：
（6.7）
被称为“音乐”： 八度音与五重音有关，而夸脱与基调有关 。
将单弦弦（l 1 ）分成与之形成完美谐音的部分：八度（l 2 ），五分音（l 3 ）和四重奏（l 4 ）以及它们之间的关系。 一串完整的单弦和其部分形成的间隔用红色箭头表示
很容易获得另外两个关系：
（6.8）
即八度音阶被分为两个不相等的辅音间隔-第五和第四 。 将这个间隔扩展到一个八度的间隔称为其反转 。 因此，五重奏是夸脱的倒数，反之亦然。
最后，我们找到了五线组l 3和四分位数l 4的琴弦之间的间隔系数，并将其间隔称为音调 （不要混淆给定高度的音调间隔和音调声音）：
（6.9）
即， 音调间隔等于第五与第四的比率 。
注意，与通常的直线距离r 21 = x 2 -x 1定义为终点和起点的坐标之差相反，间隔系数-海拔距离-定义为其组成色调的比率 
然后，三个音调f 1 <f 2 <f 3位于相等的距离r并形成算术级数x 1 ，x 2 = x 1 + r，x 3 = x 1 + 2r。 因此，间隔系数是“几何地”相加或相减的，间隔本身是“算术上的”，与通常的距离相同，即：
两个间隔的总和等于它们的间隔系数的乘积：
（6.10）
两个间隔的差等于它们的间隔系数的商：
（6.11）
将区间分为n个相等部分意味着从区间系数中提取度n的根：
（6.12）
等
要从间隔系数到距离间隔，只需引入对数间隔L = log a I和对数频率F = log a f。 然后，定义（6.1）和等式（6.10）-（6.12）的对数，我们将获得通常的定义和带距离的作用规则：
（6.13）
八度音阶除法问题的解决立即促使Archit获得了两个非理性的证据 
。 实际上，如果我们尝试将八度音阶划分为两个相等的间隔I，则将（6.8）I 23 = I 31 = I，我们得到
但是通过这种字符串长度比例，可以听到明显的不和谐。 由于辅音由形式为（n + 1）：2的整数之比确定，所以这个想法表明 不能用两个整数之比表示，即不合理。
非理性的第二个证明 音乐性较小，但数学性更高。 为了找到不是全平方的数字的平方根，Archit将其分解为两个不等因子（2 = 1 * 2），然后根据这些因子形成算术平均值3/2和和声平均值4/3，并根据这些数字合成音符（ 6.7）：
该比例的中间项的乘积等于给定数2，它们的差 
小于零近似值2-1 = 1的差。因此， 
可以认为是近似值 。
（3/2过多，4/3缺乏）。
在对第一个近似值执行相同的过程之后，我们获得了第二个近似值：
而且
然后是第三个近似值：
而且
1.414216-1.414211 = 0.000005。
由于此过程可以无限期重复，因此很明显 非理性的。 一路走来，我们相信毕达哥拉斯的思想是正确的，即关系中的整数越大，它们表示无理数的精度就越高（请参见第96页）。 最后，记住那个意思 等于1.414213 ...，我们看到Archit的“音乐”方法可以非常迅速地收敛到精确值 并且第三近似值已经给出了五个正确的小数位！
但是回到我们的间隔。 因此，八度音阶被分为第五和第四两个不相等的谐音，第五个则由第四和不谐和。 在构造勾股音阶时，将音调间隔作为相邻声音之间的间隔（步长）。 这是建立品格的关键。 根据苏联音乐学家L. A. Mazel的说法，五分音的间隔分为夸脱和音调，是主要的音乐元素。 通过选择音调作为主要的形成方式，古代理论家只需要撇开主要的声音 
然后另一种语气 
第二声调和四分音调之间的剩余间隔 
呼叫半音 
这个名称是合理的，因为根据公式（6.12）将音调间隔分为两半 
即半音几乎等于半音* 。 这样就获得了所有古希腊音乐的基础-四弦-一夸脱中的四弦音阶。
* （ 音乐理论中的音调间隔（半音）被接受为间隔的算术测量单位，与音调和半音的间隔系数相比，音调和半音的间隔分别称为大秒和小秒）。
很明显，在四弦中半音的位置只有三种可能性，这决定了四弦的性质和名称：
Dorian： 半色调 -色调-色调；
Phrygian：音调- 半音 -音调；
Lydian：音调- 半音 。
四和弦的名称表示希腊和小亚细亚的各个地区，它们各自以自己的和谐歌唱。
当然，夸脱中的四个弦不足以引导旋律，因此四和弦相连。 我们已经发现一个八度音阶由两个夸脱和一个音调组成。 , , . , , «». «» — . :
1 , 1/2 — , . . , , , (2 — , 3 — , - - - - - - c - o ), — * .
* ( «» , (1 — 1/2 — 1 — 1 — 1/2 — 1 — 1) , — . )
, , , , , . . . f 1 = 1, o : f 1 = 1, f 2 = 9 / 8 , f 3 = 9 / 8 * 9 / 8 = 81 / 64 , f 4 = 4 / 3 . : f 5 = 3 / 2 f l = 3 / 2 , f 6 = 3 / 2 f 2 = 27 / 16 , f 7 = 3 / 2 f 3 = 243 / 128 , f 8 = 3 / 2 f 4 = 2.
(6.14)
. , .
. «» , . . , -(-), — - (-). 6 , (- — — ) . , . , , . , , . 1 , , , , — , . .
1. (1) (1/2) ( ),
, — , , . - , «», . , .
., «» , . , , ,- (. 551-479 . . .), : « , — ». , , , . , , , , . , , , . , . , , . , , «» , , , , .
亚里士多德的《政治论断》也许比柏拉图还要严格，他们认为多里安模式是一种能够训练心理的模式。 尽管如此，亚里斯多德还是对模式进行了详细的“道德”分类，区分了导致心理平衡的模式（多利安），相反，破坏了心理平衡（hypofrigian-“餐桌”模式），激发了意志和行动欲望（hypodorian-希腊悲剧模式），引起狂喜和狂喜状态（Phrygian，hypolidian）。
我们在古罗马作家阿普列乌斯（Apuleius，约124-？）的《弗洛里德》一书中找到了对希腊品格“精神”的美丽描述： 这位音乐家演奏中的每种声音都很甜美，他熟悉的所有品格，并且他可以根据您的选择为您重现风神品格的简单，爱奥尼亚人的财富，利迪安人的悲伤，弗里吉安人的兴高采烈和多利亚的好战。”
但是，停下来！ 这里有矛盾吗？ 多利安人的心情被称为好战分子，但实际上，这是我们的未成年人！ 由于多里安式的情绪被认为是真正的希腊语，因此事实证明，希腊音乐的主要特征是悲伤，轻微。 对于希腊人来说，多里安式的情绪是活泼，开朗甚至好战的表现。 这就是当代杰出的古代学者，俄国“银时代”的最后一位哲学家A.F.Losev教授（1893-1988） *的解释：“希腊艺术是不变的生活肯定。” 高贵的克制甚至悲伤也不会离开希腊人，即使他玩得开心，他开朗地建立自己的生活，在战争中和垂死时也是如此。 “快乐”的烦恼以一种或另一种方式吸引到了这种美丽，高贵，充满活力，重要且同时又庄严悲伤的哀悼中-多利安。 多里安式的情绪是希腊音乐的雕塑风格。因此整个希腊雕塑是如此体贴，悲伤和高贵。”
* （ Aleksei Fedorovich Losev的命运既幸福又悲惨。他之所以高兴，是因为直到95岁生命的最后一天，Losev都保持着惊人的工作能力，并设法完成了主要著作-八卷本的《古代美学史》。半个世纪以前（1927年-1930年），他们被麻醉了，作者本人遭到非法镇压，继续进行了关于白海波罗的海运河建设的哲学研究，他写道：“当我的灵魂沸腾时，我就被束缚了 永恒而又取之不尽的力量。“洛舍夫的其中一部著作“音乐是逻辑的主题”可以作为本书的指南。尽管如此，洛舍夫的命运还是很幸福的，因为手稿不会燃烧。今天，阿舍夫的伟大哲学遗产F.洛舍夫重获新生。 ）
但是Lydian方式呢？ 毕竟，这恰恰是我们的专业，而Apuleius对此感到悲伤，而柏拉图则是葬礼！ 好吧，在评估Lydian品格时，亚里士多德不同意柏拉图，在Lydian品格中发现了幼稚的幼稚和魅力，并将其归因于导致心理平衡的品格。 随着时间的流逝，Lydian模式已失去其可悲的特性，古代理论家开始更多地谈论“甜美的Lydian旋律”或“多样化Lydian旋律”。
因此，我们看到品格“精神”的问题并未得到明确解决，而很大程度上取决于采用该品格的传统 。 在我们这个时代，例如，听众在微妙而奇特的印度音乐中成长起来，就没有区分大声和小声，更不用说他们的“精神”了。 当然，主要的情绪以较轻和更愉悦的音色为特征，对此有客观原因，我们将在第10章中进行讨论。但是，这些可能性的实现取决于许多其他因素（节奏，节奏，旋律模式等），因此有在次要和悲伤中，许多欢乐而充满活力的作品，在主要作品中沉思。 让我们至少回顾一下小贝多芬的《悲痛奏鸣曲》，这是英雄的烈性热情的独白，呼吁进行激烈的战斗，甚至死亡。 许多艺术家为这首奏鸣曲拾起了许多歌名（尽管也许其中最好的-可悲的-属于贝多芬本人），但它不能仅被称为悲伤-小调。 相反，夜曲2号作品。 肖邦的第9 大调专业充满了温柔遐想的气氛。 这些是作者朦胧的悲伤回忆，但绝不是愉快的专业演奏。 总而言之，让我们尝试对“间隔音符”说几句话，因为本章专门分析音乐间隔。 我们将尝试，因为这个问题比“苦恼的精神”更具争议性和发展性。 但是...
到目前为止，关于“最完美的和声” -prima（unison） （l 2 / l 1 = 1，即两个弦产生相同高度的声音） ，我们还没有说什么，因为从数学的角度来看，这个间隔是不重要的。 但是，在管弦乐队中，最简单的音程起着很大的作用，使音量和亮度都达到了最高。
下一个完美的辅音是八度。 同时，该八度音阶还给人以三维声音的感觉，并带有顺序声音，给人以宽敞和宽广的感觉。 作曲家I. O. Dunaevsky（1900-1955）的《祖国之歌》就是一个很好的例证。 在她的合唱中（“从莫斯科到郊区...”），一个上升的八度音（l 1 / l 2 = 2）听起来两次，描绘了我们祖国的广阔土地。 在此，在两个八度之后，有一个上升的第五个。 五重奏组（l 1 / l 2 = 3/2）听起来也很宽，但是比八度音阶更具质感和动感。
许多革命性歌曲和赞美诗的旋律以升夸脱间隔（l 1 / l 2 = 4/3）开始，例如，International，苏联国歌，马赛曲。 在这里，夸脱的间隔听起来像是号召性用语那样坚决而积极。
在一秒钟的间隔中有一个特殊的“精神”：同时发声时，会产生不和谐和不愉快的感觉，但是随着连续的声音，前一个会溢出到下一个，从而形成旋律从一种声音到另一种声音的自然流动。 在旋律中，两个参考声音之间的间隔通常以连续的第二间隔填充。 例如，歌曲“田野里的白桦树站立”以连续的几秒钟的第五个间隔开始，给人一种平静而庄重的旋律感，就像俄罗斯性质的庄重而沉稳的画面一样。
最不愉快和不和谐的是间隔Triton或半八度（l 1 / l 2 = ） 由于时间间隔的不一致，此间隔“促使” Archit提供“非理性的音乐证明” 。
感谢数学图书馆对本书进行数字化处理。