Boshernitsan定理

本文提供了一个简单的证明，即紧凑的度量空间到其自身的映射（而不减小距离）是等轴测图。

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展示架 $$$f：E \ rightarrow E$ 带度量的度量空间 $$$\ rho（\ cdot，\ cdot）$ 称为等距 $$$x，y \在E$ 公平平等 $$$\ rho（x，y）= \ rho（f（x），f（y））$ 。 在这里，我们证明以下陈述：

定理 如果 $$$f：E \ rightarrow E$ 紧凑度量空间到自身的映射，从而

$$$\ rho（x，y）\ leq \ rho（f（x），f（y））（1）$

对于任何 $$$x，y \在E$ 然后映射 $$$f$ -等轴测图。

回顾一些有关度量紧集的简单陈述，并介绍一些进一步说明所必需的约定和定义。

通过 $$$| A |$ 我们表示有限集的元素数 $$。

对于 $$$x \在E$ 和 $$$\ varepsilon> 0$ 许多 $$$Q_ {x，\ varepsilon} = \ {y：y \ in E，\ rho（x，y）<\ varepsilon \}$ 让我们打电话 $$$\ varepsilon$ -邻里点 $$$x$ （或以 $$$x$ 和半径 $$$\ varepsilon$ ）

有限集 $$$A \子集E$ 会打电话 $$$\ varepsilon$ 网络中 $$$E$ （或只是 $$$\ varepsilon$ -网络）（如果有） $$$x \在E$ 有一点 $$$y \在A $$ 这样 $$$\ rho（x，y）<\ varepsilon$ 。 许多 $$$B \子集E$ 会打电话 $$$\ varepsilon$ -拒绝，如果 $$$\ rho（x，y）\ geq \ varepsilon$ 对于任何 $$$x，y \在B $$ 这样 $$$x \否y$ 。

对于任何有限集 $$$A = \左\ {a_1，\ ldots，a_m \右\} \子集E$ 用...表示 $$$l（A）$ 金额 $$$\ sum _ {i \ leq j} \ rho \ left（a_i，a_j \ right）$ 。 幅度 $$$l（A）$ 叫集的长度 $$。

1.让序列 $$$\左\ {a_n \右\}$ ， $$$\左\ {b_n \右\}$ 许多要素 $$$E$ 相应地收敛
要点 $$$a，b \在E$ 。 然后 $$$\ rho \左（a_n，b_n \右）\ rightarrow \ rho（a，b）$ 在 $$$n \ rightarrow \ infty$ 。

证明 。 考虑明显的不平等

$$$\ rho \左（a_n，b_n \右）\ leq \ rho（a，b）+ \ rho \左（a_n，a \右）+ \ rho \左（b_n，b \右）（2）$

$$$\ rho \ left（a_n，b_n \ right）+ \ rho \ left（a_n，a \ right）+ \ rho \ left（b_n，b \ right）\ geq \ rho（a，b）（3）$

由于 $$$a_n \ rightarrow a$ ， $$$b_n \ rightarrow b$ 在 $$$n \ rightarrow \ infty$ 然后 $$$\ varepsilon> 0$ 有这么自然 $$$N$ 对于每个人 $$$n> N$ 将是

$$$\ rho \ left（a_n，a \ right）<\ frac {\ varepsilon} {2}，\ rho \ left（b_n，b \ right）<\ frac {\ varepsilon} {2}（4）$

来自 $$$（2），（3），（4）$ 因此 $$$\左| \ rho（a，b）-\ rho \左（a_n，b_n \右）\右| <\ varepsilon$ 对于所有 $$$n> N$ 。

2.对于每个 $$$\ varepsilon> 0$ 在 $$$E$ 有一个有限的 $$$\ varepsilon$ 网络。

证明 。 开球家族 $$$\左\ {Q_ {x，\ varepsilon} \右\}$ 在哪里 $$$x$ 贯穿 $$$E$ 是涂料 $$$E$ 。 T.到。 $$$E$ 紧凑，选择有限的球族 $$$\左\ {Q_ {x_1，\ varepsilon}，\ ldots，Q_ {x_m，\ varepsilon} \右\}$ 也涵盖 $$$E$ 。 显然，集 $$$A = \左\ {x_1，\ ldots，x_m \右\}$ -最后 $$$\ varepsilon$ 网络。

3.空间 $$$E$ 有限。 即有这么一个数字 $$$d> 0$ 那 $$$\ rho（x，y）<d$ 对于任何 $$$x，y \在E$ 。

证明立即从2得到。实际上，我们把 $$$g = \ underset {i \ neq j} {\ max} \ left（x_i，x_j \ right）$ 在哪里 $$$x_i$ ， $$$x_j$ -元素 $$$\ varepsilon$ 网路 $$。 很明显 $$$\ rho（x，y）\ leq g + 2 \ varepsilon$ 。

4.如果 $$$B = \左\ {a_1，\ ldots，a_n \右\}$ -最后 $$$\ frac {\ varepsilon} {2}$ 网络中 $$$E$ 那么对于任何 $$$\ varepsilon$ 稀疏集 $$$K$ 将是 $$$| K | \ leq | B |$ 即 $$$| K | \ leq n$ 。

证明 。 热气球$$ $ inline $ \ underset {i = 1} {\ overset {n} {\ unicode {222a}}} Q_ {a_i，\ frac {\ varepsilon} {2}} $ inline $ 封面 $$$E$ 。 如果 $$$| K |> n$ 然后来自两个不同的元素 $$$K$ 将在其中之一 $$$Q_ {a_i，\ frac {\ varepsilon} {2}}$ ，这与以下事实相反： $$$K$ -- $$$\ varepsilon$ 稀疏集。

5.给大家 $$$\ varepsilon$ 稀疏集 $$$A \子集E$ 匹配号码 $$$l（A）$ -它的长度。 我们已经证明该功能可以将任何人 $$$\ varepsilon$ 稀疏集 $$匹配号码 $$$| A |$ 有限。 注意每个功能 $$$\ varepsilon$ 稀疏集 $$$A \子集E$ 匹配长度 $$$l（A）$ 也是有限的。

6.让 $$$c = \ sup l（A）$ 在哪里 $$$\ sup$ 承担全部 $$$\ varepsilon$ 稀疏集 $$$A \子集E$ 。 然后公平

引理1。有 $$$\ varepsilon$ 稀疏集 $$$C = \左\ {a_1，\ ldots，a_k \右\}$ 这样 $$$l（C）= c$ ， $$$C$ 是 $$$\ varepsilon$ 网络中 $$$E$ ， $$$f（C）$ 也是 $$$\ varepsilon$ 网络中 $$$E$ 和任何 $$$a_i，a_j \在C$ 将是 $$$\ rho \ left（a_i，a_j \ right）= \ rho \ left（f \ left（a_i \ right），f \ left（a_j \ right）\ right）$ 。

7. 引理2.地图 $$$f$ 持续地 $$$E$ 。 更确切地说：如果 $$$\ rho（x，y）<\ varepsilon$ 对于任何 $$$x，y \在E$ 然后 $$$\ rho（f（x），f（y））<5 \ varepsilon$ 。

证明 。 考虑一下 $$$\ varepsilon$ 网路 $$$C$ 来自引理1。如果 $$$x$ 不属于球 $$$Q_ {a_i，\ varepsilon}$ 然后 $$$x$ 不属于 $$$Q_ {f \左（a_i \右），\ varepsilon}$ 。 这意味着有这样的 $$$我$ 那 $$$x \ in Q_ {a_i，\ varepsilon}$ 和 $$$f（x）\ in Q_ {f \ left（a_i \ right），\ varepsilon}$ 。 同样，有 $$$j$ 那 $$$y \ in Q_ {a_j，\ varepsilon}$ 和 $$$f（y）\ in Q_ {f \ left（a_j \ right），\ varepsilon}$ 。 率 $$$\ rho（f（x），f（y））$ 。 很明显 $$$\ rho（f（x），f（y））<\ rho \左（f \左（a_i \右），f \左（a_j \右）\右）+ \ varepsilon + \ varepsilon = \ rho \左（a_i，a_j \右）+2 \ varepsilon$ 。 由于 $$$\ rho（x，y）<\ varepsilon$ 和 $$$x \ in Q_ {a_i，\ varepsilon}$ ， $$$y \ in Q_ {a_j，\ varepsilon}$ 然后 $$$\ rho \左（a_i，a_j \右）<3 \ varepsilon$ 。 因此 $$$\ rho（f（x），f（y））<5 \ varepsilon$ 。

所以我们证明了 $$$f$ 连续显示 $$$E$ 在 $$$E$ 。 从引理1得出 $$$\ varepsilon> 0$ 存在 $$$\ varepsilon$ 网络中 $$$E$ 这样 $$$f$ 保持此网络元素之间的距离。 因此，对于任何一点 $$$x，y \在E$ 可以找到序列 $$$x_n \ rightarrow x$ ， $$$y_n \右箭头y$ 这样 $$$\ rho \左（f \左（x_n \右），f \左（y_n \右）\右）= \ rho \左（x_n，y_n \右）$ 。 但是 $$$\ rho \左（x_n，y_n \右）\ rightarrow \ rho（x，y）$ 在 $$$n \ rightarrow \ infty$ 。 从映射的连续性 $$$f$ 因此 $$$f \左（x_n \右）\右箭头f（x）$ ， $$$f \左（y_n \右）\右箭头f（y）$ 在 $$$n \ rightarrow \ infty$ 。 因此 $$$\ rho \左（f \左（x_n \右），f \左（y_n \右）\右）\ rightarrow \ rho（f（x），f（y））$ 在 $$$n \ rightarrow \ infty$ 。 而且因为任何 $$$n$ 平等持有 $$$\ rho \左（x_n，y_n \右）= \ rho \左（f \左（x_n \右），f \左（y_n \右）\右）$ 然后 $$$\ rho（x，y）= \ rho（f（x），f（y））$ 。

备注

Boshernitsan定理的这一证明是基于与我的学生朋友（现为美国数学家列昂尼德·卢森堡）在他访问莫斯科期间的对话而得出的，这是我对他提出的想法的介绍。

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Slobodnik Semyon Grigoryevich ，
应用程序“ Tutor：mathematics”的内容开发人员（请参阅有关Habré的文章 ），物理和数学科学的候选人，莫斯科179学校的数学老师