数据交换和微分方程

在我从事的一个项目中，实现了系统远程组件之间的数据交换机制，该机制根据以下情形工作：源组件A在其一侧准备要传输的数据； 组件接收者B定期打开一个通信会话，并获取A在连接时累积的所有数据。 在通信会话期间已经到达的数据将延迟到下一个连接。

在某种程度上，我意识到使用普通的微分方程描述了这种方案中的数据传输。 该模型的描述以及在切割的帮助下获得的结论。

我们表示 $$$x（t）$-到该时间为止，在组件A端为交换所累积的任意单位的数据量 $$$t$。 让交流会话结束与下一个相等开始之间暂停 $$$a_0> 0$时间单位，并且传输一个数据单位需要 $$$a_1> 0$时间单位。 然后在转移 $$$x（t）$所需数据单位 $$$a_0 + a_1x（t）$时间单位。 数据速率为

$$

$$\ frac {x（t）} {a_0 + a_1x（t）}。\ quad（1）$$

如果指定了A侧的数据存储速率 $$$f（t）$然后 $$$x（t）$是微分方程的解决方案：

$$

$$\ frac {dx} {dt} =-\ frac {x} {a_0 + a_1x} + f（t）。\ quad（2）$$

由于仍未发送的数据量的无限增长是非常不希望的情况，因此获得该方程有限解的条件成为一项重要任务。

为简单起见，我们考虑该功能 $$$f（t）$连续的。 让

$$

$$f（t）= \ phi_0 + \ phi（t），$$

在哪里

$$

$$\左| \ int_0 ^ t \ phi（s）ds \右| \ leq K _ {\ phi} <+ \ infty$$

对于所有 $$$t \ geq 0$和 $$$\ phi_0> 0$-不断发挥平均值的作用。

让我们看几个例子。 让 $$$f（t）$定期的，其时间表具有以下形式：


在这种情况下 $$$\ phi_0 = 1/3$， $$$\ phi（t）= f（t）-\ phi_0$。
通过对几个参数值的方程式（1）进行数值积分 $$$a_0，a_1$和初始值 $$$x（0）$，我们获得以下解决方案图：


示例显示：何时 $$$1 / a_1> \ phi_0$，解决方案也受到各种价值的限制 $$$x（0）$系统趋于稳定状态。 会话之间的暂停时间较短 $$$a_0$，收敛速度越快。 在 $$$1 / a_1 <\ phi_0$这种收敛没有被观察到，解决方案随着时间的推移而增长。 减少停顿的持续时间会减慢增长率，但会无限增长 $$$x（t）$仍然保存。

在一般情况下，可以证明 $$$1 / a_1> \ phi_0$，则等式（1）的解有界，如果 $$$1 / a_1 <\ phi_0$-将获得无限的解决方案。 也就是说，决策的局限性仅由数据累积和提取速率的比率来确定。 交流会话之间的暂停时间 $$$a_0$，唯一可以轻松控制的参数不会从根本上影响系统的行为。 从关系式（1）和实施例可以看出，尽管汇率增加，但是汇率却下降了。

结果，对模型的分析使我们得出以下结论。 如果汇率不足，并且在源端，要发送的数据量一直在增长，那么尝试通过减少会话之间的停顿来纠正这种情况是没有意义的。 只有提高系统性能才能为您提供帮助。

另一方面，在交换服务不断将计算机加载到其他任务的情况下，正确的决定是在合理的范围内增加暂停时间：这只会影响数据的相关性，而不会有未发送的数据使源溢出的风险。

有限决定条件的详细计算以及有关所考虑模型的其他一些问题发表在以E.V.E.V.命名的学校研讨会“数学建模，数值方法和程序复合体”的材料中。 Voskresensky。 您可以在此处查看和下载文章。