魔法常数

有称为魔术的方块。 好吧，也许每个人都知道这样的正方形在水平，垂直和主要对角线上的数字之和是相同的，即等于相同的数字，这个数字之和称为魔术常数 （以下简称M _n ，其中n是正方形的大小; n> 2）。 回到学校时，我记得计算该常数的公式：M _n = n *（n ² +1）/ 2，我不清楚它的来源...我们会在这里尝试推论它，也许有人已经推论了，也许是一样的，也许以另一种方式，只是写作并不重要。

一旦我注意到这样的事情，再在正方形上输入数字。 如果在从左到右的列中输入从1到n ^2的数字，则在任何主对角线上添加数字时总会得到魔术常数，在这里您可以看到：

M ₃ ：
1 4 7
2 5 8
3 6 9

M ₄ ：
1 5 9 13
2 6 10 14
3 7 11 15
4 8 12 16

根据公式：

M ₃ = n *（n ² +1）/ 2 = 3 *（3 * 3 +1）/ 2 = 30/2 = 15
M ₄ = n *（n ² +1）/ 2 = 4 *（4 * 4 +1）/ 2 = 68/2 = 34

对角线（上面以粗体显示）：

M ₃ = 1 + 5 + 9 = 15
M ₄ = 1 + 6 + 11 + 16 = 34

与公式不同，对角线能够给出正在发生的事情的答案。 考虑对角线上的数字：

M ₃ = 1 + 5 + 9
M ₄ = 1 + 6 + 11 + 16

我们用不同的方式重写它：

M ₃ = 1 +（3 + 2）+（3 * 2 + 3）
M ₄ = 1 +（4 + 2）+（4 * 2 + 3）+（4 * 3 + 4）

你注意到了吗？ 现在以n的一般形式表示：

M _n = 1 +（n + 2）+（n * 2 + 3）+（n * 3 + 4）+（n * 4 + 5）+ ... +（n *（n-1）+ n）

重新组合（粗体）
M _n = 1 +（n + 2 ）+（n * 2 + 3 ）+（n * 3 + 4 ）+（n * 4 + 5 ）+ ... +（n *（n-1）+ n ）

这（以粗体突出显示）
M _n = 1 +（ n + 2）+（ n * 2 + 3）+（ n * 3 + 4）+（ n * 4 + 5）+ ... +（ n *（n-1） + n）

并获得：

M _n =（1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n）+（n + n * 2 + n * 3 + n * 4 + ... + n *（n-1））

将n放在括号之外：

M _n =（1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n）+ n *（1 + 2 + 3 + 4 + ... +（n-1）） [1]

现在我们引入一个新的符号

S _n = 1 + 2 + 3 + ... + n [2]
然后
S _n-1 = 1 + 2 + 3 + ... +（n-1）= S _n -n [3]

现在，我们在考虑符号[2]和[3]的情况下重写公式[1]，并获得：

M _n = S _n + n *（S _n -n） [4]

左右：

M _n = S _n *（n + 1）-n ²

[5]

考虑到这一点-



显然由公式S _n = n ^2/2 + n / 2 = n *（n + 1）/ 2计算得出
替代[5]：

M _n = S _n *（n + 1）-n ² = n *（n + 1）*（n + 1）/ 2-n ² = n *（n ² + 2 * n + 1-2 * n） / 2 = n *（n ² +1）/ 2

M _n = n *（n ² +1）/ 2

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