👩‍🌾 🔔 😗 关于Collatz假设（3n +1）中序列的形成 🏞️ ⚾️ 🤭

我被诸如Collatz问题之类的任务所吸引。它们很容易制定和完善您的头脑，尤其是算法思维，这对程序员非常有用。

该任务的制定非常简单：

取任何自然数n。如果是偶数，则将其除以2，如果是奇数，则将其乘以3并加1（我们得到3n +1）。我们对结果编号执行相同的操作，依此类推。

Collatz的假设是，无论我们采用什么初始数字n，迟早我们都会得到一个。

从算法上看，它看起来像这样：

while (number > 1) { if (number % 2 === 0) number = number / 2; else number = 3 * number +1; }

例如，取n = 5。它是奇数，这意味着我们将对奇数执行操作，即3n +1 =>16。16是偶数，即我们将对偶数执行操作，即n / 2 => 8 => 4 => 2 => 1。
在n = 5处形成的序列：16、8、4、2、1。

我请你原谅我的数学知识，如果我在某个地方犯了错误，请告诉我。

让我们挑出关于单元的信息总数和关于单元的真实信息数。表示这些步骤。

考虑n = 7的序列：

22、11、34、17、52、26、13、40、20、10、5、16、8、4、2、1。

一共有16个步骤，而实际投入另一个数字集的实际步骤是其中的5个：

7、11、17、13、5。

真正的步数Sa（n）是达到整数所需的操作数3n +1 。

表格示例清楚地说明了这个想法：

锡（0）	锡（1）	锡（2）	锡（3）	锡（4）	锡（5）	锡（6）	锡（7）	锡（8）	锡（9）	锡（10）	锡（11）	锡（12）
2	5	3	17	11	7	9	25	33	43	57	39	105
4	10	6	34	22	14	18岁	49	65岁	86	59	78	203
8	20	12	35	23	15	19	50	66	87	114	79	209
16	21	13	68	44	28	36	51	67	89	115	153	210
32	40	24	69	45	29日	37	98	130	182	118	156	211
64	42	26	70	46	30	38	99	131	173	119	157	406
128	80	48	75	88	56	72	100	132	174	228	158	407
256	84	52	136	90	58	74	101	133	177	229	305	409
512	85	53	138	92	60	77	102	134	178	230	306	418

在这样的表中，订单及其自身的模式已经可见。
如您所见，两个的幂永远不会变成奇数，因此归结为简单的除法。
Sa（0）的序列仅由1个公式形成。

P （ 0 ， k ） = 2 * 2^{k}

$P（0，k）= 2 * 2 ^ k$

无需采取真正的步骤；通过简单的划分，一切都会减少为统一。
知道这一点后，您可以从表中删除所有为2的倍数的数字。

锡（1）	锡（2）	锡（3）	锡（4）	锡（5）	锡（6）	锡（7）	锡（8）	锡（9）	锡（10）	锡（11）	锡（12）
5	3	17	11	7	9	25	33	43	57	39	105
21	13	35	23	15	19	49	65岁	87	59	79	203
85	53	69	45	29日	37	51	67	89	115	153	209
341	113	75	93	61	77	99	131	173	119	157	211
1365	213	141	181	117	81	101	133	177	229	305	407

现在，要抓住模式变得更加困难，但是只有一种。现在最有趣的是序列的形成。不仅如此，5之后的下一个数字是21，之后是85。
实际上， Sa（1）是序列A002450 （0、1、5、21、85、341、1365、5461、21845、87381 ...）。它由以下公式组成：

P （ k ） = 4^{k} - 1 o v e r 3

$P（k）= {4 ^ k- 1 \ over 3}$

可以通过递归公式描述相同的序列：

P （ k ） = 4 k_{0} + 1 ， 其 中 k_{0} =

$P（k）= 4k_0 + 1，其中\ k_0 =$

P （ 1 ） = 4 * 1 + 1 = 5;

$P（1）= 4 * 1 +1 = 5;$

P （ 5 ） = 4 * 5 + 1 = 21;

$P（5）= 4 * 5 +1 = 21;$

P （ 21 ） = 4 * 21 + 1 = 85;

$P（21）= 4 * 21 +1 = 85;$
依此类推...

尽管可以无限期地进行，但已建立了一系列第一步。让我们继续第二步。可以从奇数公式表达到步骤2的过渡公式。
知道我们将分享结果

3 n + 1

$3n + 1$ 几次，它可以写成

2^{2 a l p h a}

$2 ^ {2 \ alpha}$ 在哪里

a l p h a

$\ alpha$ -师数。

P （ k ） = 3 n + 1 o v e r 2^{2 a l p h a}; 2^{2 a l p h a} P （ k ） = 3 n + 1; 3 n = 2^{2 a l p h a} P （ k ） - 1;

$P（k）= {3n +1 \ over2 ^ {2 \ alpha}}; \\ 2 ^ {2 \ alpha} P（k）= 3n +1; \\ 3n = 2 ^ {2 \ alpha} P （k）-1;$

最终公式采用以下形式：

n （ P （ k ） ， a l p h a ） = 2^{2 a l p h a} P （ k ） - 1 o v e r 3;

$n（P（k），\ alpha）= {2 ^ {2 \ alpha} P（k）-1 \ over3};$

我们还针对

b e t a

$\ beta$ 喜欢

2^{2 a l p h a + b e t a}

$2 ^ {2 \ alpha + \ beta}$ 这样就发生了将数字不是3的倍数除以3的选择。

n （ P （ k ） ， a l p h a ， b e t a ） = 2^{2 a l p h a + b e t a} P （ k ） - 1 o v e r 3;

$n（P（k），\ alpha，\ beta）= {2 ^ {2 \ alpha + \ beta} P（k）-1 \ over3};$

让我们检查一下公式，因为alpha未知，请检查5个连续的alpha：

n （ 5 ， a l p h a ， b e t a ） = 2^{2 a l p h a + b e t a} * 5 - 1 o v e r 3;

$n（5，\ alpha，\ beta）= {2 ^ {2 \ alpha + \ beta} * 5-1 \ over3};$

n （ 5, 0, 1 ） = （ 2^{0 + 1} * 5 - 1 ） / 3 = 3.

$n（5,0,1）=（2 ^ {0 + 1} * 5-1）/3=3.$

n （ 5, 1, 1 ） = （ 2^{2 + 1} * 5 - 1 ） / 3 = 13.

$n（5,1,1）=（2 ^ {2 + 1} * 5-1）/3=13.$

n （ 5, 2, 1 ） = （ 2^{5} * 5 - 1 ） / 3 = 53.

$n（5,2,1）=（2 ^ 5 * 5-1）/3=53.$

n （ 5, 3, 1 ） = （ 2^{7} * 5 - 1 ） / 3 = 213.

$n（5,3,1）=（2 ^ 7 * 5-1）/3=213.$

n （ 5, 4, 1 ） = （ 2^{9} * 5 - 1 ） / 3 = 853.

$n（5,4,1）=（2 ^ 9 * 5-1）/3=853.$

因此，第二步的顺序开始形成。但是，应该注意的是113不是按顺序排列的，重要的是要记住该公式是从5计算得出的。

n = 113实际上：

n （ 85, 0, 2 ） = （ 2^{0 + 2} * 85 - 1 ） / 3 = 113.

$n（85,0,2）=（2 ^ {0 + 2} * 85-1）/3=113.$

总结一下：

来自很多 $Sa（n + 1）$ 由功能产生 $n（P（k），\ alpha，\ beta）$ 来自集合中的每个元素 $Sa（n）$ 。

知道这一点后，您仍然可以通过删除所有alpha倍数来缩短表格。

锡（1）	锡（2）	锡（3）	锡（4）	锡（5）	锡（6）	锡（7）...
5	3	17	11	7	9	...
	113	75	201	267	715	...
	227	151	401	1073	1425	...

为了清楚起见，下面是一个示例，说明如何从

萨 （ 2 ）

$萨（2）$ 从产生集合的元素

萨 （ 3 ）

$萨（3）$ 对于从0到4的alpha。

P（k）= 3	P（k）= 113	P（k）= 227
3从α= 0生成：没事从α= 1得到的13产生： 17 69 277 1109 4437 来自α= 2的53生成： 35 141 565 2261 9045 213从α= 3生成：没事 α= 4的853生成： 1137 4549 18197 72789 291157	从α= 0产生的113 75 301 1205 4821 19285 α= 1的453生成：没事 1813从α= 2生成： 2417 9669 38677 154709 618837 7253从α= 3生成： 4835 19341 77365 309461 1237845 来自α= 4的29013生成：没事	从α= 0产生227： 151 605 2421 9685 38741 从α= 1生成909：没事 3637从α= 2生成： 4849 19397 77589 310357 1241429 14549从α= 3生成： 9699 38797 155189 620757 2483029 来自α= 4的58197生成：没事

结合这些集合，我们从Sa（3）得到集合：

17，35，69，75，141，151，277，301，565，605，1109，1137，1205，2261，2275，2417，2421，4437，4549，4821，4835，4849，9045，9101，9669， 9685、9699、17749、18197、19285、19341、19397、19417 ...

而且，去除度

a l p h a > 0

$\ alpha> 0$ 我们得到：

17、75、151 ...

也就是说，它可以归结为：

n （ P （ k ） ， b e t a ） = 2^{} b e t a P （ k ） - 1 o v e r 3;

$n（P（k），\ beta）= {2 ^ \ beta P（k）-1 \ over3};$

为什么在某个地方

$\ beta = 2$ 在某处

$\ beta = 1$ ？

返回序列A002450。有一个有趣的依赖项：

P （ m ） = （ 4^{3} m - 1 ） / 3

$P（m）=（4 ^ 3m-1）/ 3$ -不产生子序列。

P （ m ） = （ 4^{3 m + 1} - 1 ） / 3

$P（m）=（4 ^ {3m + 1}-1）/ 3$ -产生子序列

b e t a = 2

$\ beta = 2$ 。

P （ m ） = （ 4^{3 m + 2} - 1 ） / 3

$P（m）=（4 ^ {3m + 2}-1）/ 3$ -产生子序列

b e t a = 1

$\ beta = 1$ 。

一个数字只有3个潜在的子数组。
如果应用于递归公式，则：

功能介绍 $n（\ gamma，\ alpha，\ beta）$ 在哪里 $\伽玛$ -3的任意倍数构成一个空集⨂。
$A （ n （ g a m m a ）， a l p h a ， b e t a ） =$
$A（n（\ gamma），\ alpha，\ beta）=$

功能介绍 $n（\ lambda，\ alpha，\ beta）$ 在哪里 $\ lambda$ -生成的任何数字 $\伽玛$ 在 $\ beta = 2$ 形成属于自然数N的数字K的集合。
$K （ n （ P （ g a m m a ）， a l p h a ， 2 ）） \subseteq N$
$K（n（P（\ gamma），\ alpha，2））⊆N$

功能介绍 $n（P（\ lambda），\ alpha，\ beta）$ 在 $\ beta = 1$ 形成属于自然数N的数字L的集合。
$L （ n （ P （ l a m b d a ）， a l p h a ， 1 ）） \subseteq N .$
$L（n（P（\ lambda），\ alpha，1））⊆N.$

显然，这可以某种程度上简化为更严格和基于证据的表述。

实际上，这就是在Collatz假设中形成序列的方式。
剩下一个细节。有必要从我们获得的集合中的绝对步骤中恢复完整的集合。

赔率公式：

n （ P （ k ） ， a l p h a ， b e t a ） = 2^{2 a l p h a + b e t a} P （ k ） - 1 o v e r 3;

$n（P（k），\ alpha，\ beta）= {2 ^ {2 \ alpha + \ beta} P（k）-1 \ over3};$

除了奇数以外，还需要还原很多偶数。为此，请回忆公式：

P （ 0 ， k ） = 2 * 2^{k}

$P（0，k）= 2 * 2 ^ k$

剩下的只是将所有关联在一起：

n （ P （ k ） ， a l p h a ， b e t a ， e p s i l o n ） = 2^{2 a l p h a + b e t a} P （ k ） - 1 o v e r 3 * 2^{} e p s i l o n 。

$n（P（k），\ alpha，\ beta，\ epsilon）= {2 ^ {2 \ alpha + \ beta} P（k）-1 \ over3} * 2 ^ \ epsilon。$

最终版本：

n （ k ， a l p h a ， b e t a ， e p s i l o n ） = 2^{} e p s i l o n 2^{2 a l p h a + b e t a} （ 4 k + 1 ） - 1 o v e r 3;

$n（k，\ alpha，\ beta，\ epsilon）= 2 ^ \ epsilon {2 ^ {2 \ alpha + \ beta}（4k +1）-1 \ over3};$

因此，任何k都可以生成一个序列。

反之亦然，任何自然数绝对属于 $n（k）$ ？

如果是这样，那么Collatz完全有可能是正确的。

对于javascript函数实现的最终示例：

 function collatsSequence( number, sequenceLength, alpha, epsilon ) { //     , //  number let set = []; //    while (number % 2 === 0) number /= 2; //    , //   number,  sequenceLength for (let k = 0; k < sequenceLength; k++) { //    alpha for (let a = 0; a < alpha; a++) { //  ,  if (number % 3 === 0) break; //   beta = 1 let numWithBeta = (number * 2 ** (2 * a + 1) - 1) / 3; //      3  beta === 1 //     3  beta === 2 if (Math.floor(numWithBeta) !== numWithBeta) //   beta = 2 numWithBeta = (number * 2 ** (2 * a + 2) - 1) / 3; //      epsilon for (let e = 0; e < epsilon; e++) set.push(numWithBeta * 2 ** e); } //      number = number * 4 + 1; } return set; } console.log( collatsSequence(5, 5, 2, 2) ); // [ 3, 6, 13, 26, 113, 226, 453, 906, 227, 454, 909, 1818 ]

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