早期宇宙6.均匀膨胀宇宙的动力学，第2部分

在免费讲座的网站上，麻省理工学院开放式课件（OpenCourseWare）发布了关于艾伦·古斯（ Alan Gus） 宇宙学的一门课程，艾伦·古斯是宇宙膨胀模型的创造者之一。

邀请您关注第六讲的翻译：“均匀膨胀的宇宙的动力学，第二部分”。

静态宇宙的不可能

让我们简单地重复一下上次停止的操作，因为我们没有完成上一个主题。

我们考虑了一个完全均匀的宇宙，其中物质充满了所有空间。 回想一下牛顿得出的结论，即这样的系统将是静态的。 但是，我认为即使按照牛顿力学定律，这样的系统也不是静态的。


我提供了一些证据。 例如，我们检查了牛顿引力定律的高斯定理。 使用相当简单的推理，我们从牛顿的重力定律转变为高斯定律，牛顿的重力定律被描述为远距离作用的力。 如果用牛顿定律描述了引力，那么对于任何产生引力场的粒子，高斯定律都将得到满足。

重力加速度矢量流 $$$\ vec g$ 通过任何闭合表面是相等的 $$$-4πGM$ 在哪里 $$$M$ -表面内部的质量。 如果我们将高斯定律应用于物质的无限分布，并假设牛顿是正确的，并且没有引力，那么这将意味着引力加速度 $$$\ vec g$ 到处都是零。 然后流 $$$\ vec g$ 通过任何表面也将为零。 可是 $$$-4πGM$ 对于任何包含非零质量的非零大小的体积，显然不等于零。 因此，牛顿万有引力定律的这种表述清楚地表明物质的无限分布不可能是静态的。

另外，我展示了牛顿引力定律的另一种更现代的表述，即所谓的泊松方程。 她是为认识她的人奉献的。 如果您不熟悉她，那也不错。 这不是必需的。


对于这种引力定律的公式，我们引入了重力势φ，并记下了重力加速度减去梯度φ的值。 然后可以证明φ服从泊松方程，

$$$$显示$$∇^2φ=4πGρ$$显示$$

其中ρ是质量密度。

再一次，很明显，物质的静态分布是不可能的。 如果物质的分布是静态的，那么向量 $$$\ vec g$ 等于0。这意味着φ的梯度等于0。这将意味着φ为常数。 如果φ为常数， $$$∇^2φ$ 等于0，这与泊松方程不相容。

我还想补充一点，从现代的角度来看，泊松方程等方程被认为比原始的牛顿方程更基础，后者将重力视为远处的作用。 特别是，当将牛顿定律推广到广义相对论时，爱因斯坦从泊松方程开始，而不是从远处描述力的定律开始。

在相对论的一般理论中，没有描述远距离力作用的定律。 相对论的一般理论以与泊松方程非常相似的方式表达。 该方法的主要思想是可以将我们所知的所有物理定律表达为局部形式。

泊松方程是局部方程。 这是一个在空间的每个点上运行的微分方程，它并没有说明空间中某一点的物质如何影响另一点的物质。 这种影响是方程式的结果，一开始并没有内置在方程式中。

重力加速度计算的歧义

然后我们讨论了如果远距离使用牛顿定律和行动加总我们的力量会发生什么。 我证明了我们得到了一个条件收敛积分。 这样的积分会收敛，但是根据积分的不同部分的放置顺序，它可以收敛到不同的值。


我们研究了加力的两个可能顺序。 我们计算了一个点的力 $$$P$ 位于物质的无限分布内。 我们可以假设整个画面充满了实质。 在我们的任务中，物质均匀地填充了整个画面和整个宇宙。 我们在两种计算中将做的唯一不同的事情是总结物质以不同顺序产生的力。

如果您采用一种由同心壳排序的物质 $$$P$ ，则每个壳在该点不会产生任何力 $$$P$ 。 因此，在极限中，当我们添加无数个壳时，总和仍为0。因此，对于这种情况，我们得到 $$$\ vec g$ 等于0。

但是牛顿定律没有告诉我们以什么顺序集结力量。 牛顿定律简单地指出，每个质量产生的力与 $$$1 / r ^ 2$ ，什么是向量。 根据牛顿，有必要添加每个质量产生的力矢量。 通常，向量的加法是可交换的。 堆叠顺序并不重要。 但是对于我们来说，加法顺序很重要。 因此，答案是混杂的。

看到这一点，我们将考虑不同的添加顺序。 我们将继续使用球形壳，因为它们更易于使用。 它可以用另一种方式折叠，但是任何其他形式都很难使用。

这次我们将考虑以另一点为中心的球形壳。 我们称这一点 $$$Q$ 。 我们将再次计算该点的力 $$$P$ 由填充空间的物质的无限分布产生的，也就是说，我们将解决与以前相同的问题，但是我们将以不同的顺序添加力。

上次我们证明球体内的所有物质都集中在 $$$Q$ 半径小于 $$$Q$ 之前 $$$P$ ，有助于点上的力量 $$$P$ 。 所有其余的物质都可以分为球形壳，为此 $$$P$ 位于里面。 在球壳内部，力为零。 因此，所有其他实质性内容均无贡献。

在这种情况下， $$$P$ 等于由位于 $$$Q$ ，并且质量等于阴影区域的总质量。 显然，该力不等于零。 另外，很明显，我们可以通过选择不同的点来获得想要的任何力量 $$$Q$ 。 我们可以通过选择更远的点来增加强度。 因为力将始终指向指向点的方向 $$$Q$ ，我们可以通过选择一个点来获得任何方向的动力 $$$Q$ 在适当的地方。

因此，根据我们如何总结力量，我们可以得到任何答案。 因此，将重力描述为远距离作用会导致模棱两可。 以高斯定律或泊松定律的形式描述重力表明该系统不能是静态的。 很快，我们将尝试找出她的表现。

对称性问题

现在，我想回到使牛顿相信宇宙的静态本质的论点。 牛顿认为，当计算物质无限分布中某个点的重力加速度时，会出现对称性问题。 从这一点来看，所有方向都相同。 如果在给定点存在重力加速度，那么应该将其指向何处？ 这种对称性的论点非常合逻辑，听起来很有说服力。 根本不可能有加速度，仅仅是因为他没有首选的方向。

要说服牛顿这种说法的谬误可能很困难。 我不知道我们能否说服他。 我们没有机会尝试这样做。
但是如果有这样的机会，我们将尝试向他解释，加速度通常是在惯性参考系中测量的。 牛顿本人总是这样形容他。 对他来说，有一个独特的惯性参考系统，它相对于固定恒星精确地以恒定速度精确地确定。 这是牛顿的术语。 因此，他确定了惯性参考系。 他所有的物理定律在这个惯性系统中都是有效的。

另一方面，如果所有空间都充满了物质（正如我们所声称的那样会收缩），那么就不存在固定恒星。 惯性参考系统的想法已经消失了。 相对于任何潜在的惯性参考系，没有静止或均匀移动的物体。

在没有惯性参考系的情况下，必须认识到所有加速度，例如速度都是相对的。 我们可以谈论一个粒子相对于另一个粒子的加速度。 但是不能说粒子的绝对加速度，因为没有可以测量加速度的惯性参考系。

当所有加速度都是相对的时，我们最终得出的正确描述就是类似于哈勃定律的描述。 哈勃定律是速度定律。 它指出，从任何观察者的角度来看，所有其他对象都将从该观察者中删除。 尽管观察者似乎处于特殊的位置，但是您可以转到任何其他观察者的参照系，并看到完全相同的图片。 因此，从观察者中移走所有物体的事实并不违反均匀性。 这不会破坏我们试图纳入系统的对称性。 加速也是如此。 我现在不会证明。 我们将在以后的计算过程中展示这一点。

在我们崩溃的宇宙中，任何观察者都可以认为自己处于静止状态。 然后，观察者将看到所有其他粒子都向他加速。 尽管听起来好像观察者在一个特殊的地方，但事实并非如此。 您可以转到其他任何观察者的参照系，查看他现在处于静止状态，并且所有其他对象都朝着他加速。

宇宙的数学模型

现在，我们准备进一步构建数学模型，该模型将向我们展示物质的均匀分布将如何表现。 首先，我们消除无穷大问题。 为此，我们从一个有限的球开始。 然后，最后，我们将把球的大小增加到无穷大。

我们的目标是建立宇宙的数学模型。 我们想在其中包括我们先前讨论的三个特征-各向同性，同质性和哈勃定律。 我们将使用我们已知的力学定律将其构建为一个机械系统。 我们将使用牛顿定律。 但我向您保证，尽管我们将使用牛顿定律，但我们得到的答案将与广义相对论给出的答案完全一致。 稍后我们将讨论为什么会这样。 我们不会在近似计算上浪费时间。 我们将得到一个绝对正确的计算，这将给我们一个绝对正确的答案。


为了建立宇宙模型，我们假设我们的宇宙是一个有限大小的球，充满了物质。 让 $$$t_i$ -这是我们图片中的初始时间点。 从宇宙演化的角度来看，这个时间点不必是什么特别的。 建立模型时，我们可以计算出宇宙在晚于 $$$t_i$ 并早于 $$$t_i$ 。 $$$t_i$ -这只是当前时间。

为了时间 $$$t_i$ 我们将给我们的球最大的尺寸 $$$R_ {max，i}$ 。 我称它为最大值，因为球充满了颗粒。 因此，这是从球的中心到任何粒子的初始最大距离。 最初的含义 $$$t_i$ 。 我们认为填充球的物质是非常小的颗粒产生的灰尘。 物质具有密度 $$$ρ_i$ 。 该物质是均质且各向同性的，至少与中心各向同性。

现在我们要添加哈勃定律。 让我们拥有所有问题，在我们的模型宇宙中，完全按照哈勃定律进行扩展。 即，所有速度将以与距离成比例的值从中心指向。 我将表示粒子速度 $$$v_i$ ， $$$我$ 平均初始速度。 对于任何粒子，在初始时刻，速度将服从哈勃定律。 它将等于我要命名的某个常数 $$$H_i$ 哈勃常数的初始值乘以向量吗 $$$\ vec r$ 它等于从球的中心到粒子的向量。 它显示了相关粒子的位置。

$$

$$\ vec v_i = H_i \ cdot \ vec r$$

这样 $$$\ vec v_i$ -任何粒子的初始速度。 $$$H_i$ -哈勃的初始常数。 一 $$$\ vec r$ -粒子的位置。

正如我所说，我们将从一个可以使用的有限大小的系统开始。 我们至少在原理上知道如何唯一地计算这样的系统在给定的初始条件下将如何发展。 在计算结束时，当 $$$R_ {max，i}$ 趋于无穷大。 因此，我们将模型扩展到无限空间。

关于无限性的一点题外话

我也想谈谈无限，因为我最近遇到了一件有趣的事情。 这是一个小题外话，您可以忽略它。 但是对于那些感兴趣的人来说，无穷大的概念在考虑多重宇宙时给我们带来了意想不到的惊喜，我在评论讲座中谈到了这一点，我们将在本课程结束时返回。

多元宇宙使得处理无限性的工作比以前更加谨慎。 在这个过程中，我学到了一些关于无限的东西，这让我感到惊讶。 基本上，在物理学中，就像我们在模型中所做的那样，我们将无穷大视为有限系统的极限。 如果我们想了解无限系统的行为，那么在物理学中，我们通常会着眼于有限系统，这在数学上更容易实现。 然后我们限制系统变得越来越多的极限。

在物理学中，这几乎适用于所有情况。 我相信这是可行的，因为我们假设物理交互是局部的。 到目前为止发生的事情不会影响此处发生的事情。

随着我们使球体越来越多，我们在越来越远的距离内增加了物质。 我们添加的新物质不会极大地影响内部发生的事情。 实际上，在我们的任务中，由于球形壳内部的重力场为0，所以从外部添加的其他物质不会对内部发生任何影响。

这是一种典型的情况，因此，物理学家倾向于总是将无穷大视为有限系统的极限。 但是，我要指出，这并不总是正确的。 有时候这是绝对错误的。 数学家知道这一点，但物理学家通常不知道。

因此，我想指出的是，并非所有的无穷都被描述为有限系统的极限。 这不适用于对模型宇宙的描述。 这里一切都很好。 在完成简短的题外讨论后，我们将继续对模型进行讨论。

作为一个无限系统的例子，它没有很好地描述为有限系统的极限，我们可以采用许多自然数 $$$\ mathbb N$ 。

假设我们想将自然数集描述为有限集的极限。 您可以尝试将所有自然数的集合视为小于N且N趋于无穷大的自然数的集合。 如果我们接受越来越多的数字集并达到极限，我们是否会获得所有自然数的集合？

您可能会认为答案是肯定的。 我认为结果集不等于整数集。 实际上，我认为该限制根本不存在，因此它不能等于整数集。

为了澄清这一点，我会提醒您限制是多少。 由于我们没有数学课程，因此我不会给出严格的定义。 我只给你一个例子，它将刷新您在数学课程中学到的事实。

假设我们考虑极限 $$$罪（x）/ x$ 在 $$$x$ 趋于0。它等于什么。 通常使用法治法则。 但是您可以直接使用极限定义。 极限值为1。

对于任何 $$$x$ 不等于0，我们可以计算该表达式。 在 $$$x = 0$ 这种表达是模棱两可的。 作为 $$$x$ 越来越接近0，结果数也越来越接近1。我们可以通过选择任意使数字接近1 $$$x$ 足够接近0。

如果我们将相同的概念应用于从1到N的整数集合，它会更接近于随着N的增加而增加的所有自然数的集合吗？ 1到10的数字是否接近所有自然数的集合？ 不行 从1到一百万？ 仍然无限远。 1到十亿？ 从1到10到百分之一？

无论我们选择哪个数字作为上限，我们仍然与许多自然数保持无限距离。 我们离我们越来越近了。 我们的集合不收敛于自然数的集合。 这是一个不同的概念。

有什么关系 在重要的地方是否有任何疑问，您是否考虑以其他方式或通过此限制确定的自然数？首先让我说说它们的定义。

如果您问数学家他们如何确定自然数集，我想他们都会说他们使用了Peano公理。Peano公理确定继承无数自然数的关键是继承公理。

Peano用数学方法描述自然数的公理之一是每个自然数后面都有一个数字的陈述。此外，还有其他声明可以保证下一个数字不是先前的数字之一。因此，对于任何数量，存在更大的数量。这套公理最初保证了自然数集的无穷大。它不被视为有限集的极限，也不能被视为有限集的极限。因为没有一个有限集就像一个无限集。

有关系吗是否存在重要的问题，我们可以用这种方式描述整数吗？我承认，我所知道的任务听起来牵强。但我想说的是，在数学中“人为”一词并不重要。如果您在某处发现矛盾，那么没人会告诉您应该忽略这一矛盾，因为它牵强。如果这确实是一个矛盾，那就很重要。

真正重要的问题是我们是将自然数视为初始无限，还是将其视为极限，例如，问题是-自然数的哪一部分太大，以至于当倍数变为自然数时就不再是自然数？

如果我们考虑一个有限集，那么对于任何N，无论N有多大，该集合中一半的整数都太大，以至于无法将它们加倍，从而保留在该集合中。无论选择N的多大，该比率都是正确的。

另一方面，如果我们查看无限数量的自然数列，我们知道任何自然数都可以加倍，我们只会得到另一个自然数。这是自然数属性的示例，如果我们将自然数集作为限制，则这是不正确的。你做不到

这是一个小隐修会。这只是警告，您需要注意无穷大作为有限集的限制。但是，它与我们的主题没有直接关系。

关于所用表格的说明
让我们回到我们的模型。我还想对模型中使用的表单发表一些评论。我们使用球体。您可能会问，为什么是球体？

球体是迄今为止我们可以使用的最简单的形式。球体还保证了各向同性，至少与中心的同向性。完成更多工作后，我们可以使用例如多维数据集，并越来越多地增加多维数据集。随着立方体越来越大，它也将填满整个空间。可以假定该其他方法将给出相同的答案。确实是。

如果使用多维数据集，则将有更多的计算量。但是我们会得到相同的答案。立方体非常对称。在这种情况下，它将产生与球体相同的结果。我不会告诉您如何计算任意形状的结果。但我保证多维数据集将给出相同的答案。

另一方面，如果我们使用具有三个或至少两个不同边的平行六面体，那么我们将从一个最初不对称的图形开始。方向之一将突出显示。然后，如果我们使用这种平行六面体，就像使用球体一样，首先将产生各向异性。我们将获得宇宙的各向异性模型。

由于我们正在尝试模拟高度各向同性的真实宇宙，因此我们使用保证各向同性的形式。球体是可以使用的最简单形式。

物质在宇宙演化中的作用

现在，让我们为模型添加动力。我们添加的动力学将纯粹是牛顿动力学。我们将考虑填充球体的物质，牛顿粒子的尘埃或牛顿粒子的气体（如果需要）。

这些粒子将是非相对论的，牛顿这个词可以理解。该模型描述了我们真实的宇宙，涉及其演化的重要部分，而不是整个演化时期。在继续之前，我想谈一谈真正的宇宙，以及在进化的不同时期主导宇宙的是什么。

在一开始，我们认为，在宇宙中，辐射占主导地位。这意味着，如果我们回溯宇宙的演化并观察所有早期发生的事情，宇宙背景辐射的光子将经历蓝移。

我们发现随着宇宙的扩展，他们经历了一次红移。这意味着，如果我们在相反的方向上推断，他们将经历一次蓝移。每个光子变得越来越有活力。光子数保持不变。由于体积减小，它们的浓度增加。而且他们正变得更有活力。

同时，随着时间的推移，普通物质和暗物质（无论来自何处）的浓度也会增加。但是它们并没有变得更有活力。质子仍然是粒子，其能量等于质子倍数$$$c^2$ 。

因此，随着时间的倒退，宇宙微波背景辐射的能量密度与物质的能量密度相比变得越来越大。稍后，我们将学习如何精确计算它。在大约50,000年的宇宙年龄中对它们进行了比较。

学生：如果粒子是波浪，那么为什么不改变呢？

老师：实际上，他们正在改变。但是我们假设这些粒子的速度可以忽略不计。他们的势头经历了蓝色的转变。但是蓝色偏移量与初始值成正比。如果初始值很小，即使向上移动，脉冲仍然可以忽略不计。

因此，在大约50,000年的真实宇宙中，辐射占主导地位。我们将在一些讲座中对此进行讨论。但是今天我们没有考虑到这一点。然后，从大约50,000年到90亿年（宇宙历史上相当长的一段时期）开始，物质主导了宇宙。物质是指非相对论性物质。这是宇宙学中的标准术语。当我们说宇宙由物质支配时，尽管我们不使用非相对论这个词，但这都是隐含的。今天，我们将考虑这种情况，它是填充空间的通常非相对论性物质。

然后，我们的真实宇宙发生了另一种变化-从大约90亿年到现在，并且大概在将来也会如此，暗能量开始在宇宙中占主导地位。暗能量使宇宙迅速膨胀。从大爆炸发生大约90亿年后，宇宙开始迅速扩张。

普通物质不会转变为暗能量，这可能是由于主导地位的变化所预期的。它们在扩展宇宙时的行为有所不同。普通物质的密度与比例因子的立方成比例地降低。固定数量的粒子分布在不断增加的体积中。暗能量，由于我们在课程结束时会更深入地学习，因此不会随着宇宙的扩展而改变其能量密度。 90亿年前，普通物质的密度低于暗能量的密度。然后，黑暗能量开始占主导地位，宇宙开始迅速膨胀。今天，暗能量约占总能量的60％或70％。这不是绝对的统治。但这是最大的部分。

在今天的计算中，我们将重点放在中期，并假装这是整个故事。我们将回来讨论其他时代。我们不会忽略它们。但是今天我们将不讨论它们。

闯入炮弹

因此，我们将考虑物质占主导的宇宙。 我们将使用牛顿力学。 尽管我们将使用牛顿力学，但我向您保证，稍后我将尝试提出一些论据，但其给出的答案与广义相对论完全相同。

为了写下描述球膨胀的方程式，我们将使用球壳。 我们将以球壳的形式展示我们的球。 换句话说，最初，我们将物质分为壳。 我们为每个壳引入一个符号，并跟踪它们的演变。

我们可以用壳描述所有物质的原因是因为所有粒子的初始速度都沿着半径方向。 根据哈勃定律，速度与从球中心放下的半径矢量成比例。 因此，我们所有的初始速度都沿半径方向。

另外，粒子的牛顿重力也将沿着半径方向。 因此，任何粒子的运动都将沿着半径方向。 切向永远不会有任何力作用在粒子上，其中切向是指除径向以外的任何方向。 更改每个粒子的半径时，其角度变量ϑ和in在时间上将保持恒定。 因此，我将不再谈论它们。

每个外壳都有一个名称 $$$r_i$ 等于初始时的半径 $$$t_i$ 。 将来，将保留该外壳名称。

为了描述运动，我们介绍功能 $$$r（r_i，t）$ 。 函数等于壳的半径 $$$r_i$ 在时间 $$$t$ 。 功能介绍 $$$r（r_i，t）$ 向我们显示外壳在以后的任何或更早的时间。

我必须说，在教科书中，您会得出比我将向您展示的结论更简单的结论。 我为什么要使其复杂化？ 事实是，我的计算结果将显示出超出教科书中给出的结果。 大多数教科书都假定，炮弹的运动将继续遵守哈勃定律，并保持完全均匀的密度。 我们不会假设该物质保持均质。 我们证明它仍然是同质的。 在我看来，证明某事比简单地假设而不证明它要好得多。

还有另一个更复杂的问题。 同样，这是一个细微之处，很可能在教科书中没有提到。 我们有各种可扩展的外壳。 如果我们知道壳内有什么物质，就可以计算作用在任何壳上的力。 外部的贝壳不会产生力量。 因此，了解壳位于哪个顺序非常重要。 最初，我们当然知道这一点。 他们根据 $$$r_i$ 。 但是，原则上，一旦它们开始移动，它们之间就有可能开始相互交叉。

如果壳相交，则运动方程将发生变化，因为作用在壳上的物质量将发生变化。 我们将不得不考虑这一点。 幸运的是，不会发生此问题。 我们将显示如下。 最初，所有的壳都根据哈勃定律相互移除。 哈勃定律指出，任何两个粒子相互之间的移动速度都与它们的距离成正比。 对于任何两个shell都是如此。 如果壳开始相交，则它们肯定不会马上做。 最初没有相互接近的两个外壳。 最初，所有壳都彼此分开。

这种情况可能会因现有部队而改变。 但是，我们可以写下至少在壳的交点出现之前可以满足的方程。 如果壳相交，则这些方程在壳相交之前必须有效。 因此，这些方程式应表明壳将相交。 壳不能开始与运动方程相反地相交。 我们将看到，根据我们的方程，将没有壳的相交。

因此，我们写下有效的等式，直到没有壳的相交为止。 只要没有壳的相交，任何壳内的总质量就与时间无关。 这些只是里面的其他壳。 因此，在具有初始半径的壳体上 $$$r_i$ ，由壳内部质量产生的力起作用。 我们可以写出壳内质量的公式。 外壳内部的质量具有初始半径 $$$r_i$ 等于壳体的初始体积乘以初始质量密度， $$$ρ_i$

$$

$$M（r_i）= \ frac {4π} 3 {r_i} ^3ρ_i$$

我们组成一个微分方程
牛顿定律决定了我们系统中任意粒子的加速度。 牛顿定律指出，加速度是从单位半径向量到粒子的相反方向，等于牛顿的常数乘以球体内的质量除以壳体到原点的距离的平方。 这个距离等于函数 $$$r（r_i，t）$ 。 这是壳在特定时间点的半径。

$$

$$\ vec g =-\ frac {GM（r_i）} {r ^ 2（r_i，t）} \ hat r$$

对于任何用变量表示的外壳来说都是如此。 $$$r_i$ 。

这是一个非常重要的方程式。 其他一切都随之而来。 它反映了牛顿定理，即如果质量呈球形对称分布，那么半径比到粒子距离的半径大的任何壳的质量都不会促进粒子的加速。 加速度仅由较小半径的壳体的质量确定。

我们知道所有运动都沿半径发生。 我们需要做的就是弄清楚如何 $$随着时间的变化。 我们可以写成一个常微分方程 $$，没有任何向量。

$$

$$\ ddot r =-\ frac {4π} 3 \ frac {Gr ^3_iρ_i} {r ^ 2}$$

$$$\ ddot r$ 是加速度。 我们陷害了 $$$M（r_i）$ 根据以前的公式。 $$是功能 $$$r_i$ 和 $$$t$ 。 我将不再指出这一点。

扩展系统时 $$$r_i$ 只是一个常数，每个壳都不同，但是时间是恒定的。 想象一下，我们正在解决特定外壳的问题。 $$$ρ_i$ -这也是一个常数。 它等于初始时间的密度并保留其值。

我们得到了一个微分方程，其中只有时间会改变 $$，仅此而已。 这是一个二阶微分方程 $$。

初始条件

使用二阶微分方程时，您必须记住一件事。 为了有一个单一的解决方案，我们需要初始条件。 如果这是一个二阶方程，并且通常得到牛顿方程，则我们必须指出初始位置和初始速度，以便该二阶方程给出唯一的答案。

我们将设置头寸的初始值 $$和速度的初始值 $$$\点r$ 颗粒。 我们将获得一个可以提供数学的系统。 如果数学家足够聪明，他就可以解决。

因此，我们要设置初始值 $$，最初是指时间 $$$t_i$ 。 显然，这是平等的 $$$r_i$ 。

$$

$$r（r_i，t_i）= r_i$$

如果我们想对该方程有一个唯一的解，那么我们还需要设置速度的初始值 $$$\点r$ 。 最初的意思是在 $$$t_i$ 。 它由哈勃常数确定。 每个初始粒子速度等于哈勃常数的初始值乘以半径。

$$

$$\点r = H_ir_i$$

这是我们最初引入系统的Hubble扩展。 我们有一个纯粹的数学系统。 我们有一个二阶微分方程和初始条件 $$和 $$$\点r$ 。 它提供了独特的解决方案。 这是纯数学。 至少在此阶段，不再需要物理学。

均匀度

可以注意到这一方程组有趣的数学特征。 我们将看到这些方程式奇迹般地保留了我们系统的同质性。 它内置在方程式中。 这些方程式的主要特点是您可以摆脱 $$$r_i$ 通过更改变量。

让我们定义一个新函数 $$$u$ 。 我任意选择一个字母来指定，您可以接受任何字母。

$$

$$u（r_i，t）= \ frac {r（r_i，t）} {r_i}$$

对于任何功能， $$$r（r_i，t）$ 您始终可以定义一个等于原始函数除以的新函数 $$$r_i$ 。

现在，让我们看看方程式发生了什么。 我确认 $$$r_i$ 将消失。 让我们看看这是怎么发生的：

$$$$ display $$ \ ddot u = \ frac {\ ddot r} {r_i} =-\ frac {4π} 3 \ frac {Gr ^3_iρ_i} {r_ir ^ 2} =-\ frac {4π} 3 \ frac { Gr ^3_iρ_i} {u ^ 2r ^ 3_i} =-\ frac {4π} 3 \ frac {Gρ_i} {u ^ 2} $$显示$$

等式显示了收缩如何发生 $$$r_i$ 。 $$$r_i$ 分子中的立方与球体的体积成正比。 分母 $$$r_i$ 也站在一个立方体。 一个 $$$r_i$ 由于替换变量而出现，但是 $$$r ^ 2_i$ 由于平方反比定律而出现。

从而减少 $$$r_i$ 如果功率降低，则出现 $$$1 / r ^ 2$ 。 如果力根据另一条法则减小，则与 $$$1 / r ^ 2$ 然后 $$$r_i$ 不会在公式中缩写。 减少 $$$r_i$ 对于确保系统演进的一致性至关重要。 根据牛顿，如果力减小，则 $$$1 / r ^ 2$ 平方，系统保持均匀。 否则，不会。 这是一个非常有趣的事实。

所以 $$$r_i$ 我们拒绝了。 现在我们得到一个简单的方程 $$$\ ddot u$ 没有更多 $$$r_i$ 在等式中。 这意味着 $$$u$ 提供任何解决方案 $$$r_i$ 。 我们不再有针对不同价值的不同解决方案 $$$r_i$ 。 $$$r_i$ 从任务中消失。 我们拥有独立于 $$$r_i$ 。 这对所有人都公平。 $$$r_i$ 。

我忘了提什么？ 初始条件。 为了获得一个单一的解决方案，我们不仅必须有一个与 $$$r_i$ 。 如果不检查初始条件，我们将不会有一个单一的解决方案，这也不应该取决于 $$$r_i$ 。 他们并不依赖。

初始值 $$$u（r_i，t_i）$ 等于初始值 $$除以 $$$r_i$ 。 但是最初的含义 $$等于 $$$r_i$ 。 对于任何 $$$r_i$ 我们得到：

$$

$$u（r_i，t_i）= \ frac {r_i} {r_i} = 1$$

现在考虑初始值 $$$\点u$ 。 相等

$$

$$\ dot u（r_i，t_i）= \ frac {\ dot r} {r_i} = \ frac {H_ir_i} {r_i} = H_i$$

变量解释

如果仔细观察，您可以理解数量的物理解释 $$$u$ 。 $$$u$ 只是我们前面提到的大规模因素而已。

我们证明了我们拥有一个统一扩展的系统。 最初，我们有一个均匀的膨胀，但是直到我们考虑运动方程后，我们才知道宇宙是否会继续均匀地膨胀。 但是，是这样。 这意味着可以使用比例因子来描述扩展。

我们发现 $$$u$ 完全由方程式决定，其中没有 $$$r_i$ 。 这样 $$$u$ 独立于 $$$r_i$ 可以认为只是时间的函数 $$$t$ 。 我们也可以将其名称更改为 $$$a（吨）$ 用比例因子建立身份：

$$

$$u（r_i，t）= u（t）\等于a（t）$$

还可以看到

$$

$$r（r_i，t）= u（t）r_i = a（t）r_i$$

这是什么意思？ $$$r_i$ 是同伴坐标。 我们根据每个外壳的起始位置对其进行了标记， $$$r_i$ 。 展开时，对于每个外壳标签 $$$r_i$ 保存。 无论粒子在何处移动，都可以标记。 一 $$在这种情况下，距原点的物理距离等于比例因子乘以相关距离。

用不同的形式写这些方程是有用的。 以前使用的微分方程 $$$ρ_i$ 。 这很方便，因为 $$$ρ_i$ 是一个常数。 它不会随时间变化。 但是，使用该值写一个微分方程也是有用的。 $$$ρ$ ，该值随时间变化，以查看给定时间点的物理量之间的关系。 这并不难做到，因为我们知道任何给定时间的密度。

对于任何壳，我们都可以将密度计算为壳内的总质量除以体积。 我们知道密度保持均匀，因为在我们的情况下，所有距离都与一般比例因子成正比。 因此，密度将是均匀的。

我们可以通过计算 $$$M（r_i）$ ，我们已经有了一个公式，并且该公式不依赖于时间，然后将其除以壳内的体积。

$$$$ display $$ρ（t）= \ frac {M（r_I）} {\ frac {4π} 3r ^ 3} = \ frac {\ frac {4π} 3r ^3_iρ_i} {\ frac {4π} 3a ^ 3r ^ 3_i} = \ frac {ρ_i} {a ^ 3} $$显示$$

这是预期的结果。 密度等于初始密度除以比例因子的立方。 根据我们的定义，比例因子在初始时间为1。 因此，该方程式给出了立方体中比例因子的比率。 随着宇宙的扩展，密度与立方体中的比例因子成反比地下降。

现在我们可以重写方程式 $$$\ ddot a$ 使用当前的质量密度。

$$$$ display $$ \ ddot a = \ frac {4π} 3 \ frac {Gρ_i} {a ^ 2} = \ frac {4π} 3 \ frac {Gρ_i} {a ^ 2} \ frac aa = \ frac {4π }3Gρ（t）$$显示$$

根据当前的质量密度，该方程式会降低模型宇宙的速度。 注意，它实际上仅取决于质量密度。 它决定了关系 $$$\ ddot a / a$ 。 应该是这样，因为我们记得 $$$一$ 以米为单位测量。 同时减少了划分。 我们得到物理单位的答案。

我在一开始说过，当我们完成时，我们将以初始最大半径为准 $$$R_ {max，i}$ 趋于无穷大。 $$$R_ {max，i}$ 在这些方程式中均不出现。 因此，在努力的时候 $$$R_ {max，i}$ 到无穷远，什么都没有发生。 这意味着如果我们考虑的一切都在球内，我们收到的答案并不取决于球的大小。 从外部添加其他材料不会改变任何内容。 因此，在极限范围内，我们在外部添加了无限量的物质。 达到极限 $$$R_ {max，i}$ 趋于无穷大，不需要做任何事情。

最终，我们希望获得该方程式的不同解决方案，并了解它们的外观。 今天，我想朝这个方向迈出新的一步，以稍有不同的方式重写方程式，这将帮助我们确定解决方案的面貌。 我想找到这个方程式的第一个积分。

第一积分与能量守恒定律

为了找到第一个积分，我想回到方程式中 $$$ρ_i$ 但不是 $$$ρ（t）$ 。 它的优点是 $$$ρ_i$ 不依赖时间。 在 $$$ρ$ 我现在不想考虑时间依赖性。 因此，如果我使用的公式 $$$ρ_i$ ，只有比例因子才有时间依赖性。

我正在使用前面的公式，但是我将替换 $$$u$ 在 $$$一$ 因为我们改名了 $$$u$ 在 $$$一$ 。 我还将向一个方向转移所有成员。 原来

$$

$$\ ddot a + \ frac {4π} 3 \ frac {Gρ_i} {a ^ 2} = 0$$

这是牛顿力学中非常常见的二阶微分方程，该方程定义 $$$\ ddot a$ 加速 $$$一$ 通过价值 $$$一$ 。

在牛顿力学中，人们经常可以利用能量守恒定律。 在这种情况下，我不知道它是否应该称为节能。 稍后我们将讨论结果所具有的物理意义。 但是，当然，作为一种数学技术，我们可以使用牛顿力学中使用的相同方法来获得能量守恒定律。

为了获得与该方程相对应的能量守恒定律，我们将该方程乘以一个积分因子， $$$\点一个$ 。 之后，整个表达式将成为全导数。 这个等式是等价的

$$

$$\ frac {dE} {dt} = 0，\：\：\：其中\; E = \ frac 12 \点a ^ 2-\ frac {4π} 3 \ frac {Gρ_i} a$$

这很容易验证。 如果我区分 $$$E$ ，我得到的正是这个方程。 因此它们是等效的。 这样 $$$E$ 是一个保守的数量。

现在，如果我们想打领带 $$$E$ 利用任何能量，都有多种方法可以做到这一点。 一种方法是相乘 $$$E$ 在 $$$先生^ 2_i$ 并将其视为球体表面上测试粒子的能量。 $$$m$ 是测试粒子的质量。 $$$r_i$ -测试粒子的初始半径。

这样 $$$E_ {phis}$ ，或者假设测试粒子的物理能等于

$$

$$E_ {phys} = mr ^ 2_iE = \ frac 12 m（\ dot a r_i）^ 2- \ frac {GmM（r_i）} {ar_i} = \ frac 12 mv ^ 2- \ frac {GmM（r_i）} r$$

如果我们考虑将其用于测试粒子 $$$r_i$ 那是吗 $$$R_ {max，i}$ ，也就是说，我们谈论的是球体的边界，那么很显然这里保存了什么。 得出球体边界处的点粒子的动能加势能（势能为负）。

如果我们想将此方程应用于球体内的粒子，则找到正确的解释会有些困难。 如果粒子在球体内，则 $$$r_i$ 不等于球体的最大半径，则 $$$E_ {phis}$ 实际上不是粒子的势能。

要计算粒子的势能，有必要计算将粒子带到无穷远并将其放置在位置时必须做的工作。 在这种情况下，要考虑位于粒子所在球体内部的质量的贡献，这决定了此时的力。 但是，我们也可以从球体外部的物质中获得帮助。

在计算势能时，我不仅得到 $$$Gm$ 乘以球体内的质量除以到中心的距离。 我将得到一个更加复杂的表达。 实际上，我得到的能量并不守恒。 为什么不保存？

它不被保存，因此，在有运动的群众的情况下，没有理由对其进行保存。保留了在静质量场中移动的点粒子的能量。这是您从相关课程中学到的。如果其他粒子移动，则整个系统的总能量将得以保存。但是特定粒子在其他粒子的引力场中移动的势能可能不会守恒。

除粒子能量外，系统的总能量也存储在边界处。她将与$$$E$比例常数的另一个常量，并且由于明显的原因而得以保留。在这里，您需要小心了解保存的内容，原因以及使用方法。