最少动作的原则。 第一部分

当我第一次了解这个原理时，我有种神秘感。 似乎自然界神秘地遍历了系统的所有可能路径，并从中选择了最佳路径。

今天，我想谈一谈最杰出的物理原理之一-最少动作的原理。

背景知识

自伽利略时代以来，众所周知，不受任何力影响的物体沿直线移动，即沿最短路径移动。 光线沿直线传播。

当反射时，光也以最短的方式从一个点到达另一点的方式移动。 在图片中，最短路径是入射角等于反射角的绿色路径。 其他任何路径（例如红色）将更长。


通过简单地将光线的路径反射到反光镜的另一侧即可轻松证明这一点。 在图片中，它们以虚线显示。


可以看出，ACB的绿色路径变成了直接ACB'。 红色路径变成了虚线ADB'，当然比绿色长。

皮埃尔·费马（Pierre Fermat）在1662年提出，在稠密物质（例如在玻璃中）中的光速小于在空气中的速度。 在此之前，有一个公认的笛卡尔版本，根据该版本，物质中的光速应大于空气中的光速，以获得正确的折射定律。 对于费马来说，光在较稠密的介质中移动的速度比稀疏介质中的移动速度快的假设似乎是不自然的。 因此，他建议一切都恰好相反，并证明了这是一件了不起的事情-在这种假设下，光线经过折射后才能在最短的时间内到达目的地。


再次在图中，绿色表示光束实际移动的路径。 用红色标记的路径是最短的，但不是最快的，因为光线穿过玻璃的路径较大，并且速度较慢。 最快的是光束的真实路径。

所有这些事实表明，自然界以理性的方式行事，光线和身体以最佳方式运动，花费了尽可能少的精力。 但是，这是一种怎样的努力以及如何计算，仍然是一个谜。

1744年，毛珀图伊斯（Maupertuis）引入了“作用”的概念，并制定了原理，根据该原理，粒子的真实轨迹与其他粒子的不同之处在于，它的作用极小。 但是，毛珀图伊斯本人无法明确定义此行动的含义。 最小作用原理的严格数学公式已经由其他数学家-欧拉（Euler），拉格朗日（Lagrange）开发，并最终由威廉·汉密尔顿（William Hamilton）给出：


在数学语言中，最少动作的原则很简短，但是并非所有读者都能理解所用符号的含义。 我想尝试用简单的话更清楚地解释这一原则。

自由的身体

想象一下您正坐在车里 $$ 并在时间 $$ 您已经完成了一项简单的任务：到那时 $$ 您需要开车直达目的地 $$ 。


用于汽车的燃料很昂贵，当然，您要尽可能少地消耗燃料。 您的汽车采用最新的超级技术制成，可以根据需要快速加速或制动。 但是，其设计目的是使其运行得越快，消耗的燃料就越多。 而且，油耗与速度的平方成正比。 如果您以两倍的速度行驶，那么在相同的时间段内您将消耗四倍的燃油。 除速度外，汽车的质量也会影响燃油消耗。 我们的汽车越重，消耗的燃料越多。 在任何给定时间，我们汽车的油耗为 $$ ，即 恰好是汽车的动能。

那么，您需要如何直达重点 $$ 到指定的确切时间并尽可能少地消耗燃料？ 显然，您需要走直线。 随着行驶距离的增加，燃油消耗量将越来越少。 然后您可以选择不同的策略。 例如，您可以快速找到要点 $$ 提前坐下来，等到时候 $$ 。 事实证明，行驶速度以及因此在任何给定时间的燃料消耗都很大，但是行驶时间也将减少。 在这种情况下，总燃料消耗可能不会很大。 或者，您可以以相同的速度均匀地骑行，这样就不会急着赶到 $$ 。 或部分地以快速行驶，部分地以慢速行驶。 还有什么更好的方法？

事实证明，最佳，最经济的驾驶方式是以恒定速度行驶，例如 $$ 在确切的指定时间 $$ 。 如果采用其他任何选择，燃料将消耗更多。 您可以通过一些示例自行检查。 原因是油耗与速度的平方成正比。 因此，随着速度的增加，油耗的增加快于行驶时间的减少，并且总油耗也增加。

因此，我们发现，如果汽车在任何给定时间消耗的燃料与其动能成正比，那么从某一角度出发的最经济方法 $$ 到这一点 $$ 到精确指定的时间就是均匀且直线地骑行，就像身体在没有作用力的情况下运动一样。 任何其他驾驶方式都将导致更大的整体燃油消耗。

在重力

现在让我们改进一下汽车。 让我们将喷气发动机连接到它，以便它可以在任何方向上自由飞行。 总的来说，设计保持不变，因此燃油消耗仍然严格地与汽车的动能成比例。 如果现在的任务是飞出终点 $$ 在时间 $$ 飞到那一点 $$ 按时间 $$ ，那么最经济的方式当然就是像以前一样均匀直线地飞行 $$ 在确切的指定时间 $$ 。 这再次对应于身体在三维空间中的自由运动。


但是，最新的汽车模型中安装了一个不寻常的设备。 该装置几乎可以从零产生燃料。 但是这种设计使得汽车越高，设备在每个时刻产生的燃料就越多。 燃料产量与高度成正比 $$ 汽车当前所在的位置。 同样，汽车越重，设备安装的功率就越大，产生的燃料就越多，并且输出与汽车的质量成正比。 $$ 。 事实证明该设备可以使燃料产量完全相等 $$ （其中 $$ -重力加速度），即 汽车的势能。

每个时刻的油耗等于动能减去汽车的势能（减去势能，因为已安装的设备会产生燃料并且不会消耗）。 现在我们的任务是两点之间最经济的汽车行驶 $$ 和 $$ 越来越难。 在这种情况下，直线匀速运动不是最有效的。 事实证明，稍微升高一点是更好的选择，在那里停留一会儿，增加了燃料，然后下降到最低点 $$ 。 在正确的飞行路径下，由于爬升而产生的总燃料产量将通过增加路径长度和速度来阻止额外的燃料消耗。 如果仔细计算，那么汽车将以最经济的方式沿着抛物线飞行，沿着这样的轨迹飞行，并且速度与石头在地球重力场中飞行的速度完全相同。


这里有一个值得解释的地方。 当然可以 $$ 用许多不同的方式扔石头，使之达到目标 $$ 。 但是您需要将其扔出以便飞出目标 $$ 在时间 $$ 达到重点 $$ 恰好在某个时间 $$ 。 这项运动对于我们的汽车而言将是最经济的。

拉格朗日函数和最小作用原理

现在，我们可以将这种类比转换为真实的身体。 人体燃料消耗强度的类似物称为拉格朗日函数或拉格朗日函数（以拉格朗日为名），用字母表示 $$ 。 拉格朗日显示了在给定的时刻人体消耗了多少“燃料”。 对于在势场中运动的物体，拉格朗日等于其动能减去势能。

整个运动时间内消耗的燃料总量的类似物，即 拉格朗日在整个运动时间内累积的值称为“动作”。

最少动作的原理是，人体以最小的动作（取决于动作的轨迹）运动。 同时，不应忘记指定了初始条件和最终条件，即 身体在某个时间点 $$ 并在时间 $$ 。

而且，车身不必在统一的重力场中移动，这是我们为汽车考虑的。 您可以考虑完全不同的情况。 车身可以在松紧带上振动，摆动或在太阳周围飞行，在所有这些情况下，车身的移动都应使“总燃料消耗”最小化，即 行动。

如果系统由多个物体组成，则该系统的拉格朗日等于所有物体的总动能减去所有物体的总势能。 同样，所有物体将以协调的方式运动，从而使整个系统在这种运动下的作用最小。

没那么简单

实际上，我通过说身体总是以最小化动作的方式来作弊。 尽管在很多情况下都是如此，但您可以提出行动显然并非微不足道的情况。

例如，拿一个球并将其放在空白处。 在距它一定距离处，我们放置了一个弹性壁。 假设我们希望球在一段时间后位于同一位置。 在这样的给定条件下，球可以两种不同的方式运动。 首先，它可以留在原地。 其次，它可以推向墙壁。 球会飞到墙壁上，从墙壁上反弹然后回来。 显然，您可以将他推得如此之快，以至于他在正确的时间返回。


球运动的两种变体都是可能的，但在第二种情况下的作用会更大，因为在所有这种情况下，球将以非零动能运动。

在这种情况下，如何保存最少行动原则，以使其公平？ 我们下次再谈。