幸福理论。 导演的诅咒和被诅咒的打印机

我继续让哈勃（Habr）的读者熟悉他的著作《幸福理论》（Theory of Happiness）中的章节，并附带“中庸之道的数学基础”。 这本尚未出版的流行科学书，非常非正式地讲述了数学如何使您以新的认识水平看待世界和人们的生活。 它适用于对科学感兴趣的人和对生活感兴趣的人。 而且由于我们的生活是复杂的，而且总体上是不可预测的，因此本书的重点主要放在概率论和数理统计上。 这里没有证明定理，也没有给出科学的基础知识，这绝不是教科书，而是所谓的娱乐科学。 但是，正是这种几乎好玩的方法，使我们能够发展直觉，为学生提供生动的例子来丰富讲座，最后向非数学家和我们的孩子解释我们在干科学中发现了什么如此有趣。





我们将讨论时间压力，截止日期和不合时宜的打印机。

高飞策略

在上一章中，我们讨论了随机过程。 泊松流是需要最少其他假设的最简单的过程之一。 让我提醒您，可以通过在一定时间间隔内随机分布已知数量的独立事件来实现此目标。 屋顶上的雨滴，道路上私家车的流动，强烈的地震等都是很好的例子。

但是，如果事件不再是独立的并形成有序链，我们将得到什么呢？ 串连说 $$$\ {A，B，C \}$ 大事记 $$$B$ 只能在事件发生后发生 $$在活动之前 $$$C$ 尽管这些事件发生的时刻将保持随机。 让我们看看这样的有序链如何在有限的时间间隔内适应。 我们将第一个事件安排在任意点，第二个事件也是随机的，但总是晚于第一个，第二个之后第二个，依此类推。 每个下一阶段将花费越来越少的时间，因此应在间隔的右侧（截止日期之前）观察到过程强度的显着增加。 迟早，完成任务的时间将结束并且链条将结束。 我们把建立有期限的随机链的过程称为“ 随机链” ，将选定的无序工作策略称为愚蠢的策略 。 该图显示了以这种方式从 $$$5$ 已发布的工作阶段 $$$10$ 天。


具有期限的随机链的示例。 在这种情况下，可以做五件事，您仍然有时间做第六件事，但是七次还不够。

我们以剧院导演为测试对象，提出了这个问题。 让导演和剧团支配 $$$n$ 天采取一些行动。 准备工作分为 $$$k$ 连续的排练阶段，每个阶段都需要一天才能完成。 通过实施我们描述的工作流程未达到最后期限的可能性是多少？ 如果活动的准备工作需要不同的人员和各种生产过程的参与，那么叠加，生病或仅仅是忧郁症就有可能发生-这是实施我们随机截止期限链的所有先决条件。

首先，我转向模仿模型，以找出链条的长度是如何分配的，这可以使用哑策略在给定长度的有限时间内执行。 这是你得到的 $$$n = 10$ ：


可以在分配的时间内完成的链长的概率函数。

在有关概率论和数理统计的任何参考书中都找不到这种分布。 我设法以最终形式获得了概率函数的解析解：

$$

$$P_n（k）= \ genfrac {[} {]} {0pt} {} {n} {k} \ frac {1} {n！}，$$

在这里 $$$P_n（k）$ -链长的概率 $$$k$ 在 $$$n$ 时间段和设计 $$$\ genfrac {[} {]} {0pt} {} {n} {k}$ 表示所谓的第一类斯特林数 ，它们在计算循环排列时以组合形式出现。 凭发现者的权利，我将这种分布称为斯特灵。 甚至有可能获得对链长及其分散度的数学期望的精确表达式：

$$

$$M [k] = H_ {n}，\ quad D [k] = H_ {n} -H_n ^ {（2）}$$

在这里 $$$H_ {n}$ 是谐波数：发散谐波序列的部分和 $$$\ {1，\ frac12，\ frac13，...，\ frac1n \}$ 和 $$$H_ {n} ^ {（2）}$ -系列的部分金额 $$$\ {1，\ frac14，\ frac19，...，\ frac1 {n ^ 2} \}$ 。 实际上，为了计算这些值，我研究了结果分布。 平均链条长度随增长 $$$n$ 增长非常缓慢，尽管无限。 没有太多错误，我们可以说它以对数增长。 反过来，方差与平均值相差不大，附加系数 $$$H_ {n} ^ {（2）}$ 趋于恒定 $$$\ pi ^ 2/6$ 。 稍后，此观察将派上用场。

让我们再看一下链长的分布。 显然，绝对没有机会完全没有时间做一件事情-他会有时间。 两个案例中的短链占总数的十分之一-如此失败的链始于最后一天（十个中的十分之一），并且没有留下继续的时间。 预计非常长的链条的份额很小，并且随着长度的增加而减少，几乎消失。 好吧，几乎不可能偶然完成一连串的十个案例-这样结果的可能性是 $$$\ frac {1} {10！}$ 。

我们的问题是：不满足 $$$n$ 在你面前的日子 $$$k$ 在任务的连续阶段，分布函数将有助于回答-斯特林分布的累积曲线。 我们为 $$$n = 7，\ 30，\ 365$ 和 $$$25,000$ 对应于周，月，年和（当然，有条件地）所有生命。


没有时间一次或一次完成各种长度的链的概率。

这些图表明，不满足一个月任务的可能性 $$$5$ 步数超出 $$$80 \％$ 。 而且最好不要为一个无组织的胸部计划不超过三个案例，并且他不会做十二个案例，概率超过 $$$50 \％$ 一生！ 我们坚信，随着截止日期增加了几个数量级，可解决的未命中案件的数量微不足道。 生命是如此短暂！

更快，更快！

现在让我们检查一下时间压力这一现象，即它的耗尽特性。 为此，我们将建立数千个随机链并将其平均化，以达到预期的工作速度 。


很多随机的截止日期链和预期的工作进度。

请注意以下事实：图表的轴减少到案件总数和所有时间。 一方面，这使我们可以比较不同的术语和不同的长度链，另一方面，我们又得到了类似于洛伦兹曲线的东西：一种形式化的不公正现象。

pace，观察到的步调非常不平衡：在学期的前半年，几乎没有 $$$10 \％$ 工作，所有事情的一半都必须完成，由我自己决定 $$$10 \％$ 时间，但主要特征是：在接近截止日期时，速度或坡度正在迅速增加！ 在年度报告的前夕，我们得到了新年的愤怒或恐慌的模型，并且发现了卑鄙的规律，这对于任何组织音乐会，盛装晚会或其他活动的人来说都是熟悉的：

无论为准备活动分配了多少时间，大部分事务都将保留在昨晚！

例如，在卡雷尔·阿佩佩克（Karelapek）的故事“如何制作报纸”和“戏剧如何上演”中描述了此类过程的出色实例。 造成这种诅咒的原因仅在于我们的混乱和粗心吗？ 这些当然是主要原因，但我们对此并不内so，以至于不可能通过任何数学定律为自己辩护。 笨拙的策略固然看起来很愚蠢，但步伐呈指数级增长并不是开玩笑！ 有什么办法可以解决吗？

可以准确地计算预期的工作进度。 该公式不太好用，但是值得注意的是它包含了天数 $$$n$ 并且不包括计划中的病例数：

$$

$$T_n（x）=-\ frac {\ log_2 \左[1-x \左（1-2 ^ {-H_n-1} \右）\右]} {H_n + 1}$$

对数是一个缓慢的函数，除非将其压在墙上。 在截止日期之前的最后几天，速度以惊人的速度增长，与对数接近零时跌入深渊的速度相同。 但是，它仍然取决于分配的天数。 您可以查看周，月和年的预期进度：


在限定时间内最有可能完成的速度。 有趣的是，严格的时间限制具有有益的作用。 这个名字只有一个星期的储备，我们很可能会开始更均匀地完成工作（在截止日期的一半之前，工作准备就绪的三分之一），如果整年都提前了，我们可以放松一下，然后感到遗憾。

对于理想地完美完成工作的完美主义者，执行速度应趋向于对角线（图中的蓝色虚线）。 这类似于洛伦兹图中的平等曲线，表示正义。 正如我们为洛伦兹图计算基尼系数一样，我们可以基于工作步伐曲线与理想曲线之间的面积，计算出一定的均值系数，这将表明我们离理想有多远。 它取决于分配期限的长度，并随着增长而逐渐增加 $$$n$ 。 在我们给出的每周，每月和每年的示例中，均值系数分别为 $$$0.25$ ， $$$0.44$ 和 $$$0.65$ 。

如何应对日益增加的担忧和时间压力浪潮？ 例如，您可以团结起来。 当然，患有优秀学生综合症的人可能会寻求尽早做下一件事。 一个合理的模型将是下一个任务的时刻的选择，遵循指数分布，密度与剩余时间成反比。 这不会排除我们生活中固有的不确定性，但会表达出尽快做所有事情的良好意愿。 我们将此策略称为好心策略 。 这是该策略实施者按时完成任务的概率分布，其中一半情况下，他们将在剩余时间的第一季度执行下一件事情：


对于精心设计的策略，概率分布不及时。

好多了！ 在一周之内，您很有可能有时间去做五件事，让自己休息两天。 但是，尽管如此，在很大程度上，机会的增加并不是革命性的。 问题在于，成功完成案件的预期数量仍然与分配时间的对数成正比，并且对数增长极慢！ 因此，在进行大量计划时，您需要记住，流程的强度将不可避免地增加，并且很可能没有足够的时间来预期截止日期。 无论如何，有必要记住生命短暂，为了有时间实现计划，您需要立即采取行动！

让我们欣赏一个好心的优秀学生的步伐。


有条理的人试图尽快进入下一阶段工作的预期工作速度。 这些图显示了对具有固定阶段数的任务进行建模的数万个数值实验的平均结果。 红线表示大量任务的速度限制。

我们整洁的专家设法使工作分配得更均匀，并完成了更多的工作，但他仍在等待时间压力。 这样的人将执行短链，严重超额完成该计划，而七个案例的链将几乎是完美的。 但是，随着病例数的增加，预期的速度很快就会趋于使用布布策略获得的理论速度！ 总体性能有所提高，但截止日期之前的停车位并未消失。 因此，加载是可能的，并且可以完成真正的钻孔！

但是，还有另一种广为人知的方法来对工作的执行进行严格约束：除了一个截止日期，您还需要执行很多工作。 让我们将截止日期分为两个相等的部分，并坚持使用这个新的截止日期，考虑它是一份临时报告。 对于每个部分，我们都可以绘制出预期工作进度的曲线，如图所示。

将完成工作所需的时间分成几个临时报告期，可以使您更均匀地完成工作，但是随着每个新报告的临近，压力也会增加。

尽管有一份临时报告的麻烦，我们还是实现了我们的目标：总体执行率曲线下的面积减少了，均值比从 $$$0.65$ 之前 $$$0.3$ 。 另外，术语的减少（当然，案件数量也减少了）使预期的工作步伐更加接近理想状态，因此平均比率降低了一半以上。 再增加两个，例如季度报告，将其减少到 $$$0.13$ 但是通过这样做，我们将使表演者立刻进入四个压力期，他们仍然会开始大声受苦，抱怨命运和老板！ 好吧，我们可以向我们的员工展示我们的计算结果，并证明通过引入季度报告，他们可以将自己的平均寿命降低五倍，如果这对他们来说当然是一种安慰。

而且，由于中间截止日期的数量趋向于允许的工作天数，因此工作进度将接近理想但非常无聊的进度。

好吧！ 另外，打印机坏了！

添加有关虚拟策略和斯特林分布的几句话。 我们获得的分布显示了在特定时间间隔内获得给定数量的事件的概率。 用强度对真实泊松流中的事件进行计数 $$$\ lambda$ 我们来看看著名的泊松分布：

$$

$$P（k）= e ^ {-\ lambda} \ frac {\ lambda ^ k} {k！}，$$

描述信心以获得准确 $$$k$ 在单个时间间隔内发生事件。 斯特林数的表达式具有渐近展开，对于较大的 $$$n$ 在期限内将链条的长度分布减少为强度变化的泊松分布 $$$\ lambda = H_n-1$ 。 因此，从统计的角度来看，具有截止时间的随机过程可以被视为凝聚时间网格上的泊松过程，或者被视为强度不一而足地快速增长的非均匀泊松过程。 而且，尽管严格地说，我们的过程不是泊松，因为其中的事件不是独立的，但是，我们需要的统计属性是相似的。 它们的相似性还通过斯特林分布的平均值和方差的接近来表明，这是泊松分布的特征。

这个结论使我们可以提出一个问题：如果我们在事务链的处理过程中增加了已经建立的与我们无关的任何罕见麻烦：暴风雪，可怕的交通堵塞，流鼻涕，打印机故障或国定假日，该怎么办？

对于泊松过程，定义了随机抽取过程，该过程包括以下事实：我们很有可能开始从流中删除事件。 概率变稀 $$$（1-p）$ 离开泊松过程，但其强度降低，乘以 $$$p$ 。 与麻烦的巧合和工作的任何阶段相对应的事件本身形成的泊松过程的强度大大降低，但在我们的情况下，也单调且迅速地增长。 如此之快，以至于发生故障的可能性多么小，对于足够多的案例（或分配给工作的时间），在接近最后期限的情况下，它将增加到完全可以观察到的程度。 打印机将在课程开始前夕正确处理！

如果公交车刚在您已经迟到时就中断了，不要感到惊讶。 公共汽车不希望您受到伤害。 简而言之，如果您是女孩，那么事情的顺序是：选择一条裙子，吃糖果，洗衣服，穿上所选的衣服，穿上化妆品，穿上链子，将东西从钱包转移到手拿包，穿上鞋子和东西，其他所有事情都将成为最重要和令人兴奋的最后期限–日期！ 而且，您走向命运的步伐已经如此疯狂，以至于最不可能的奇迹开始发生。

最后，如果没有实现，那是什么奇迹！