数学博士后Michael Griffin对Quora的回应
Senia Scheidwasser对这个问题给出了一个
很好的简单答案 ，我建议阅读此简短版本。 但是，来自《怪异的月光》假说与Mackay方程混合在一起的还有一个更令人惊讶的故事：从杰克丹尼尔的威士忌酒到黑洞和量子引力。
在这个故事中，经常提到对称性和数学“组”，所以让我们从数学中的组开始。 可以将组表示为在保持一定结构的同时对一组对象重新排序的一种方式。 组中的操作必须遵循某些规则，例如，应该始终具有取消操作的能力，并且如果先执行一个操作，然后再执行另一个操作，则将获得组中的第三个操作。
四个旋转选项和四个对称的正方形轴。 图片来源如果您喜欢表示形状，那么一个简单的例子就是正方形的对称性。 它可以通过三种方式旋转：向右旋转90度（顺时针），向左旋转180度和90度（逆时针）； 有四个对称性：垂直，水平和两个对角线轴）； 没有任何变化的时候
，身份就有一种
对称性 。 如果将正方形向右旋转90°，然后沿垂直轴翻转，则会得到不同的对称性。 特别是，结果将与立即从左上角到右下角在对角线轴上反映的结果相同。 这是一种用于组元素的乘法表。 实际上，我们可以编写一个乘法表以更好地了解组的结构。 我是在这里做的。 表中的符号“ i”是身份不变时的身份对称性。 “ R”和“ L”-分别向右和向左旋转90°。 “ F”是180°旋转，每条线都是沿轴线在此线方向上的反射。
某些组可以分成较小的部分。 例如，如果您有两个正方形，则可能有两个相同对称操作的副本，每个副本对一个正方形的作用独立于另一个。 简单的小组不能分为较小的独立小组，因此它们在小组理论中是最主要的。 但是有限质数组比质数更难分类。 在上个世纪下半叶，在尝试对所有有限简单组进行完全分类方面取得了重大进展。 大多数简单的群体适合整齐有序的家庭。 例如，一个族包含正则N形的所有对称性（例如等边三角形，正方形，正五边形等）。 但是，并非所有的群体都适合某种正常的家庭。 有26个“零星”群体是孤儿。 通常，它们很难定义，但是许多都可以由几维的晶格对称构造而成。 最大的简单零星群体是“
怪物” 。
1973年，费舍尔和格里斯（Fisher and Griss）首次发现（独立地）证明，如果满足某些性质，则可以存在一个很大的简单组。 但是仅十年之后，就有可能证明这些特性是稳定的，并且该组确实存在。 格里斯（Griss）将这个难以捉摸的假想团体称为“友好巨人”（Friendly Giant，F.G。为Fischer-Griss的缩写）。 但是更著名的数学家康威称她为怪物-这样的名字是固定的。 顺便说一句，这个康威在我们的历史中起着重要的作用，但您很可能以前曾听说过。 这就是康威（Conway）发明的游戏“生命”并证明了自由意志定理。 如果您不记得了，那就去读吧！
1975年，两位数学家Augg和Tits在巴黎的一次会议上见面。 乳头计算得出，如果存在怪物，那么它的大小将如下所示：
2 ^ 46·3 ^ 20·5 ^ 9·7 ^ 6·11 ^ 2·13 ^ 3·17·19·23·29·31·41·47·59·71
≈8×10 ^ 53这是一个非常大的数字。 非常非常非常大。 这是土星和木星的总和。 但是Augg的注意力并没有被大小吸引，而是被简单的因式分解吸引了。
Augg当时正在研究称为模块曲线的零件。 如果N是一个正整数，则存在一个表面，我们称其为X（N），它捕获了一些有关数字N的重要算术信息（如果您还记得学校的复数，则可以通过“滚动”或“折叠”该复数来获得该表面）。平面使用一系列对称性，具体取决于数字N）。 Augg问这样的问题：如果N是素数，那么在这种情况下，该表面（或模块化曲线）会看起来像球，而不是具有一个或多个手柄的甜甜圈（即甜甜圈中的“孔”）吗？ 他发现只有N属于集合
{2，3，5，7，11，11，13，19，23，29，31，41，47，59，71}这些是用于计算怪物大小的山雀的素数！ 但是，这两个计算之间绝对没有明显的联系。 奥格对这种明显的巧合感到不知所措，以至于他向任何可以解释的人提供了杰克丹尼尔的一瓶威士忌。
出于明显的原因，编译乘法表将无助于研究Monster。 如果我们用氢原子写乘法表，它将不适合我们的银河系。 相反，数学家设法编译
了一个怪兽角色表 。 是的，听起来像是《龙与地下城》游戏指南，也许这不是摆桌子的好方法。 这是怪物的死灵书。 194×194的数字表，可让数学家深入了解天文学上巨大的Monster。 第一列列出了怪物的“不可还原表示的大小”。 这些是古怪的词，但我们故事的本质是第一栏中的前两个含义是数字
1和
196,883 。 这是Mackay方程式出现的地方。
麦凯（Mackay）向康威（Conway）指出
196884 = 1 + 196883康威发现麦凯假说是如此荒谬，以至于他称其为幻想或胡说八道。 在
此等式中，
196884是一个重要函数（称为
J函数 ）的
第一个系数，数学家对此进行了很长时间的研究。 在这里，我们再次开始回到奥格以及他对“杰克·丹尼尔斯”瓶的质疑。
J函数是一个模块化函数，也就是说，它像Ogg所研究的那样，具有一个带有模块化曲线的点-并给出一个数字（同样，如果您熟悉复数，则可以将模块化函数表示为普通复数上的函数，但是具有淫秽的对称性）。 很难更清楚地解释什么是模块化功能，但是对此不做赘述。
图片来源此外，对于最简单的模块化曲线X（1），J函数是最基本的模块化函数。 在可以将X（1）的任何其他模块化函数表示为多项式或J函数中多项式的比率的意义上，这是最“基本”的函数。 其他一些模块化曲线，例如X（2），具有不同的基本模块化函数。 我们称它为J_2。 实际上，当形式X（N）是一个球（没有“手柄”或“孔”）时，X（N）具有这种基本的模块化函数J_N，与Ogg完全相同。
另一位数学家汤普森（Thompson）意识到麦凯（Mackay）的观察结果可以发展。 他指出，原始J函数的后几个系数也可以写成Monster字符表第一列中值的总和。 此外，您可以将其他J_N函数的多个系数写为表中其他值的总和。 那时，汤普森仍在使用不完整的字符表。 直到1979年，Fisher，Livingston和Thorne才完成符号表的计算，同年晚些时候，Conway和Norton将汤普森的观测结果转换为精确的假设。 他们认为，有一种方法可以将J函数的任何系数写为不可约的Monster表示的维度之和（即Monster符号表第一栏中的记录）。 而且，这可以通过以下方式完成：如果我们将符号表的第一列中的条目与符号表中另一列中的条目交换，我们将获得其他函数J_N！的系数。 例如，这是原始J函数的前三个系数（在等式的左侧）：
196884 = 1 + 196883，
21493760 = 1 + 196883 + 21296876，以及
864299970 = 2×1 + 2×196883 + 21296876 + 842609326，其中
1，196883，21296876和
842609326是Monster字符表的第一列中的前四个值。 这是函数J_2的前三个系数（同样在等式的左侧）：
4372 = 1 + 4371
96256 = 1 + 4371 + 91884和
1240002 = 2×1 + 2×4371 + 91884 + 1139374，其中
1，4371，91884和
1139374是Monster字符表的
第二列中的前四个值。 依此类推：符号表的每一列都给出了一些模块化曲线的基本模块化函数的系数。 康威和诺顿称他们的假说是
无稽之谈 （Monstrous Moonshine）。
大约一年前，我有机会与康威（Conway）讨论了这一假设的出现方式。 他说，他查看了Monster符号表中的新值，该表花了很多精力进行计算，然后才进入数学库，并打开了一本几十年前写的书，其中包含了模块化函数系数表。 当他从一本旧书的书页上看相同的数字或它们的明显组合时，他描述了这种深深的恐惧感。
1982年，格里斯（Griss）终于展示了如何制造怪物。 数学家第一次能够摆脱“如果存在怪物”这一条款。 十年后，曾是Conway的学生的Borcherds使用“顶点算子代数”理论证明了这一假设，他是为此专门创建的。 该理论是在1960年代的旧物理理论的基础上创建的。 Borcherds以多种方式获得了1998年菲尔兹奖。 这是一种诺贝尔数学奖，除了出于某些无法解释的原因，您必须年满40岁才能获得。 正如我所听到的，Augg满意了Borcherds对他的问题的回答，但Borcherds不喝酒，因此一瓶Jack Daniels仍然无人认领。 另一方面，尽管Conway对Borcherds的工作非常满意，但他仍然只看到一张支票，而没有任何解释。 是的，现在我们知道模函数的系数是Monster字符值的总和，但是，Conway认为我们仍然没有一个清晰的画面，您如何期望这一点？
故事还没有结束。 在2007年，Witten致力于解决量子引力的冲突。 量子力学和广义相对论不是很兼容。 维滕研究了一个简化的问题，从相对论中除去了重力以外的所有东西。 他发现有理由相信，从这一假设出发的VOA是这种简化结构中引力理论的关键。 在此理论中，J函数变成了对各种能量状态进行计数的分段函数。 此处出现了与黑洞状态相对应的各种Monster符号。 维滕问这些黑洞状态中的某些是否比其他黑洞状态更普遍。 回到Monster，基本上可以归结为以下问题：当分解给定的J函数系数时，我们期望看到多少个
单位 ？ 还是196,883次？
单位稀有吗？ 还是在大多数地方散布着一些有趣的意思？ 我认为许多人在第一次遇到可怕的胡话的假设时都会遇到这个问题。 如果一切都归结为
单位 ，那么这将使理论变得不那么有趣了。 但是不用担心。 尽管事实上我们从一开始就看到了
单位 ，但是当我们转向更大的系数时，它们就变得非常稀有，并且更大的符号开始占据主导地位。 在第200个系数之后，符号主要与测量尺寸成比例出现。
1与所有其他字符的比率约为5.8×10 ^ 27中的1。 这大约是回形针的质量与地球的质量之比。 第二大符号的出现频率为
196883次，第三大符号的发生频率为
21296876次，
依此类推 。 返回到维滕结构，这意味着黑洞的较大能量状态更为常见，而琐碎的真空状态（
1 ）实际上不存在。
关于这个主题还有更多的研究。 我们（数学家）观察到（并在某些情况下证明了）怪物外其他群体的现象。 弦理论专家继续窥视我们的工作，希望将这些新变体转化为新的引力理论。
对于更多对这些细节感兴趣的精通技术的读者，我建议您使用Terry Gannon的书
“超越怪物的无意义”或
该科学文章 （公开发行）。