幸福理论。 类不等式的热力学

我继续让哈勃（Habr）的读者熟悉他的著作《幸福理论》（Theory of Happiness）中的章节，并以“中庸之道的数学基础”为副标题。 这本尚未出版的流行科学书，非常非正式地讲述了数学如何使您以新的认识水平看待世界和人们的生活。 它适用于对科学感兴趣的人和对生活感兴趣的人。 而且由于我们的生活是复杂的，而且总体上是不可预测的，因此本书的重点主要放在概率论和数理统计上。 这里没有证明定理，也没有给出科学的基础知识，这绝不是教科书，而是所谓的娱乐科学。 但是，正是这种几乎好玩的方法，使我们能够发展直觉，为学生提供生动的例子来丰富讲座，最后向非数学家和我们的孩子解释我们在干科学中发现的如此有趣。



在本章中，我们将讨论货币，市场和熵，以及动画gif，这些动画gif不能打印在书中。

宏仁观察：
在经济学家中，现实世界通常被认为是特例。

经济学是一门重要的，严肃的但独特的科学。 毫无疑问，作为一门研究世界现实和重要现象：经济现实的学科至关重要。 经济科学致力于可证明性和形式化，它具有很多数学，有时是复杂而有趣的。 但是，打开一本严肃的经济教科书，您很可能会发现一些相对简单的计算，现成的食谱以及一堆本着这种精神的非正式推理：主要参与者或政府的意愿。” 最后，您可能会觉得直觉，心理学知识和感知一般背景的能力在该学科中比精确计算和细致考虑细节（这是关于经济学，而不是会计）更为重要。 最后，几乎一半的伪造论文是专门针对经济学撰写的；因此，就经济学主题进行合理论辩并不那么困难。 我们还将努力在这一领域中发挥自己的力量，好，这个世界的不公正现象在解决财富分配问题上比任何时候都更加严重。 此外，无论一个人从事什么，无论他拥有什么职业，他都参与经济及其博弈，从经济定律和物理定律开始，不要掩饰。

在数学经济学解决的全部问题中，我们将只考虑一个问题-事实证明，即使在所有市场参与者平等的条件下以及公平的资金交换，穷人比富人更富裕，为什么连理想的数学社会也容易出现金融不平等。 好吧，在此过程中，我们学到了一些有趣的数学统计和随机变量分布的知识。

我是受过教育和专业的物理学家，我的专业变形是在世界的独特视角下表达的，就像在各种不同的物理系统和过程中一样。 从物理学家的角度来看，实际市场是一个具有许多自由度的基本上非固定的开放系统，其中随机（随机）过程起着重要的作用。 从这个意义上讲，市场类似于研究诸如热力学和统计物理学之类的物理学的主题，在该领域中，由于无法考虑系统的所有无数部分和所有组件的行为，因此它们转向一般性和可测量的属性，例如能量，温度或压力。 进行热力学描述经济系统并创建经济物理学的尝试已经进行了一百多年，这并不奇怪。 但是问题在于：尽管科学家们在考虑细节，总结所获得的知识并讨论基本定律，但研究的主要对象是经济现实，并且有时间进行改变以至于无法被认识。 她的举止似乎试图保留甚至增加其不确定性和不可预测性。

一个很好的例子是两个世纪以来在证券交易所进行技术分析的历史。 当出现一个新的强大工具，使您可以摸索隐藏的图案并预测证券或股票的价格时，它便开始为使用它的人带来利润。 但是很快市场开始“感觉”新的参与者并适应他们的策略，对这种奇妙方法的预测准确性开始下降，一段时间后，它落入了一大堆过时且不太可靠的工具中。 在过去的二十年中，现代灵活的自学习神经网络算法或每分钟执行数百万次操作的超快速机器人交易者都没有改变证券交易所游戏的主要特性-它的不可预测性。 直到现在，该行业专业人士的主要优势是意志，性格耐力，对激情的厌恶……以及交换的所有权。 一切都像在赌场中，游戏是基于纯粹的机会！ 一方面，这当然是侮辱性的，另一方面，这为不断改进方法和方法提供了机会。 曾几何时，概率论和数理统计都源于对赌博和经济游戏进行分析的尝试，直到那时，它们才在几乎所有自然科学中得到应用。

在进一步的讨论中，我们将讨论金钱，但是这个熟悉的日常使用类别令人惊讶地复杂且含糊。 货币的含义和价值取决于许多因素，在上下文中，所谓的一定数量的货币，我们对货币的实际价值一无所知。 这将货币价值与描述我们世界的大多数实物价值区分开来，从而使在经济中进行严格的讨论变得困难。 但是我们谈话的目的是：日常，可理解和简单的均值定律的数学基础。 因此，在将来，我们将谈论一些“卢布”，指的是正式机票或硬币，这意味着这些人越有“卢布”，他们就越富有。 关于购买力，无形或非流动性价值以及“幸福不在于金钱”的其他讨论，最后，我们将不再讨论。

来吧，停下来！

我们首先分析一些简单策略的正义性，这些策略将一定数量的钱分配给有限的人群。

第一个最明显的策略是：“拿走所有东西，然后将其分割”，即给组中的每个成员均等的份额。 这样的分布称为简并分布，它的基尼系数等于零，并与洛伦兹图中的相等曲线相对应。


绝对公平的退化货币分配：每个人均分。

不错的选择！ 为了纪念米哈伊尔·布尔加科夫（Mikhail Bulgakov）的小说主人公“狗心”（Dog Heart）小说的主人公，我们将其称为“ Sharikov的策略” ，该小说以这种方式提出，旨在解决所有经济问题。

第二种更现实的策略是向每个人随机分配一卢布。 谁是幸运的。 我们可以将此策略称为“泊松” ，因为这是泊松过程中独立的随机事件如何在时间尺度上分布的方式。 对于一组 $$$n$ 每位参与者收到卢布的概率为 $$$1 / n$ 。 这样分配后 $$$M$ 卢布，每个人都应获得与这种“积极”成果数量相等的数量。 这种总和的概率函数是众所周知的-它是类似于钟形的二项式分布 ，围绕平均值对称散射 $$$M / n$ 。 通常，他们通过计算掷骰子获得指示数量的可能性来将他介绍给他。 对于大价值 $$$M$ 二项式分布与正态几乎变得难以区分。 让我们看看随着货币的分配，货币在集团中的分配及其公平性将如何变化。


按照“上帝会派谁去”的原则分配货币的结果就是二项式分配。 我们付出的钱越多，平均值和点差的价值就越大，但是什么也没得到的可能性几乎消失了。


从正义的角度来看，这种分配看起来非常好，而且，我们向公众提供的资金越多，分配就越公平！ 太好了！ 遗憾的是，社会不是以同样的方式组织起来的，雨水并没有将金钱平等地倾倒在我们所有人身上。

为了使图片更完整，让我们看一下另一种简单的货币统一的人工分配。 通过这种分配，穷人将与富人一样多。


均匀分配并不意味着金钱在所有人之间平均分配。 在这种分布情况下，富人，穷人和中农的数量是相同的，但是钱主要属于富人。


对于均匀分布，洛伦兹曲线是二次抛物线，并且如果分布的左边界为零，则该抛物线与右边界的位置无关，并且所有此类分布的基尼系数都正好 $$$1/3$ 。 这样的指数值（而不是这样的分布！）例如在2000年代的澳大利亚经济中-这是一个很好的指标。

但是，市场就是市场！ 上面考虑的分布是好的，但是需要特殊的条件才能出现。 如果您赋予人们自由兑换货币，为服务兑换货币，节省并在一夜之间花费的自由，那么理想的分配将失去稳定性并变成其他货币。

新的经济政策！

考虑一组 $$$n$ 这个人。 革命的结果是，我们将向实验的所有参与者分配等值的钱- $$$m$ 卢布向所有人收取了卢布在社会上最公平的资金分配。 现在，我们将给予他们自由，使他们能够根据自己的命运而变得富有和贫穷，并建立原始的市场模型。 我们要求随机选择的某人给小组中也随机选择的任何人一卢布。 假设这是以固定价格购买某种服务。 财富分配有望发生变化：某人的钱会减少，某人的钱会更多。 让我们一遍又一遍地重复交换程序，看看该群体中财富的分配将如何变化。

在进行实验之前，请仔细考虑一下我们希望看到的内容。 参与者之间的货币交换与Poisson货币分配策略的情况一样，发生的可能性也相同，但同时，参与者也要根据相同的Poisson原理和强度来赔钱。 因此，可以假设正增量和负增量都将是正态分布的并且相对于零对称放置。 每个玩家最终将获得这些增量的差，对于两个正态分布的随机变量，由于损失和获胜是对称的，因此对于两个正态分布的随机变量也将呈正态分布，在这种情况下，约为零。


经过多次交换后，每个玩家都会收到并损失符合正常分布的金额。 总收入也将在零附近正常分布。

因此，我们得到了一个具有正态分布增量的经典随机游动，并且可以期望资金在均值附近扩散 $$$m$ 。 概率函数应该模糊，以恒定的平均值增加方差。 一切似乎都很简单。

但是有细微差别。 如果出于某种原因，该组中的某人没有剩余资金，他将无法通过捐钱来购买服务，但与此同时，他可以领取款项。 财富的可能值在左侧限制为零，这意味着财富的扩散不能无限扩展，而且观察到的概率函数迟早将不再对称。

还有一点细微差别。 我们封闭系统中的资金数量有限且不变，这意味着随机游走不是独立的。 只有总质量变差时，一些幸运的玩家才能获得很大的数量，并且离合奏很远。 根据系统中的省钱法则，通过不可见的网络将实验的参与者聚集在一起。 在这种情况下，货币分配将争取什么？ 答案似乎并不像乍看起来那样明显，让我们转向仿真，看看会发生什么。


共享等量资金的模拟结果 $$$n = 1000$ 和 $$$m = 100$ 。 最初，确实确实观察到了类似于扩散的现象，但是当概率函数到达左边界时，分布趋于具有特征性的不对称且不很公平的形式，基尼系数接近 $$$0.5$ 。


如果物理学家读了这本书，那么他将能够自信地认为这可能是一个分布；他将其称为吉布斯分布。 细心的读者可能会想起，当我们在等公共汽车的时候检查挫败感时，我们已经遇到了类似的情况和基尼指数。 然后，我们检查了Poisson事件之间的时间间隔分布，该分布由指数分布描述。 这两个精明的先生们都是对的，称不同的名字为同一奇妙的分布。

人是分子

吉布斯分布来自统计物理学领域。 它描述了被称为美丽词“合奏”的系统的属性，该词由许多相互作用的元素组成，最常见的是粒子。 在整体中，您可以选择任意子系统（例如，单个粒子或它们的组），并为它们分配某些状态函数（可以是广义坐标，速度，浓度，化学势等）。 使用统计物理学方法，可以解释和计算各种现象的参数：化学和催化过程，湍流，铁磁性，液晶的行为，超流动性和超导电性，以及许多其他现象。

吉布斯分布回答了以下问题：如果a）给出了状态能量，b）系统的宏观（相对而言，全局）性质（例如温度），以及c）已知系统处于热力学平衡状态，那么满足子系统某个状态的概率是多少？ 可以将其示意性表示如下：

$$

$$p _ {\ mathrm {Gibbs}（T）}（x）= C e ^ {-\ frac {E（x）} {kT}}，$$

在哪里 $$$x$ -子系统的特定状态， $$$E（x）$ 是这种状态的能量， $$$T$ 是系统（或其类似物）的绝对温度，并且 $$$C$ 和 $$$k$ -尺寸规格化和一致性所必需的值。 平衡条件非常重要，这意味着时间从考虑中消失了，对于给定条件，整个系统将处于最可能的状态。

在这里，我们不需要对Gibbs分布的表达式进行严格的推导；相反，我想展示一种美丽的纯数学推理，从而得出其指数形式。 由于我们考虑了组成整个系统的系统部分，因此有必要选择一个加法数量作为其特征，也就是说，其合计值是其部分值的算术和。 能量可以在机械中用作这种量。 另一方面，我们计算观察某个系统状态的概率，并且该概率是可乘的 ，也就是说，如果可以将系统划分为多个部分，则同时观察所有这些部分的概率将等于每个部分状态的概率乘积。 因此，我们需要一个将加法数量转换为可乘数量的函数。 只有指数函数具有此属性。 $$$a ^ x$ ，则参数的总和变成值的乘积： $$$a ^ {x + y} = a ^ x a ^ y$ 好吧，在所有指数函数中，最方便的是指数，因为它在集成和区分时表现良好。

在我们的市场模型中，我们有一个附加数量-每个参与者拥有的金钱数量，这是能量的类似物。 在我们描述的交换中，这个量像物理系统中的能量一样被守恒。 什么是温度点？ 通过查看指数分布的概率密度的表达式很容易找出：

$$

$$p _ {\ mathrm {Exp}（\ lambda）}（x）= \ lambda e ^ {-\ lambda x}，$$

并记住他的平均值是 $$$1 / \ lambda$ 。 由于投标过程中的玩家数量保持不变，因此玩家的算术平均金额等于最初分配的金额 $$$m$ 。 自然而然地 $$$\ lambda = 1 / m$ ，那么来自玩家的平均金额便成为我们经济模型中的温度。 在流动性高的“热身”市场中，与指数“冷”市场相比，我们将能够观察到幸福感的更大差异，因为指数分布的分散性是 $$$1 / \ lambda ^ 2$ 。 正如奥斯塔普·本德尔（Ostap Bender）在I. Ilf和E. Petrov在“金牛犊”中所说的那样：“一旦一些钞票在该国漫游，那么肯定会有很多人在里面。”

绝对准确地说，回想一下我们实验中的货币是离散量，然后我们观察到几何分布-指数的离散模拟。 发生这种情况的问题是，在掷出不同诚实程度的硬币时，在计算第一个获胜之前的失败次数。 这两个分布是相似的，并且随着获胜概率的降低而变得无法区分。 在我们的实验中，获得卢布的机会相等 $$$1/1000$ ，它足够小，可以称为分布指数。

它仍然需要处理市场最终状态的均衡。 热力学平衡可用各种方式描述。 首先， 静止状态应该处于平衡状态 ，在该状态下系统可以无限期保持，而无需更改其宏观参数，也不会在其内部形成有序的物质和能量流。 其次，它必须是稳定的 ，也就是说，如果系统不平衡，它将趋于恢复原状。 第三，这是系统中最可能出现的状态，最经常观察到，随着时间的流逝，系统将趋于从任何其他非平衡状态中获取。 我们的实验证明了达到平衡的这些标准：达到指数分布后，系统仍保留在其中，此外，很容易确保实验中的任意分布在一段时间后再次达到指数分布。 但这不是证明，而只是暗示我们最有可能处理平衡问题。 我们需要某种形式上可测量的标准，该标准可以明确地向我们表明系统是平衡的，而无需无限期地等待或对所有可能的初始分布进行分类。 这将是适用于实际市场的有用标准，而无需对在世人员进行危险的实验。

道用言语表达-不是真的道

关于平衡的思考使物理学家想到了熵的概念，该概念逐渐超越了热力学，并受到各个方向的科学家，哲学家和公众的喜爱，以至于现在熵已经获得了神秘，不可理解的光环，而神知道了其他东西。 从本质上讲，一个简单而特殊的概念作为世界上一个莫名其妙的统治概念而在群众心目中享有盛誉。 这是由于以下事实，即热力学是一门普世科学，它以很高的抽象水平描述了性质非常多样化的系统：从物理，化学和生物到社会，经济，甚至纯粹是人道主义。 然而，在学校课程结束后，仍然有一种感觉，热力学是关于一种无聊的理想气体，一些活塞和一个不可能的卡诺循环。 这种非常单方面的观点与一个显着的事实有关，即热力学是自然科学中最抽象和最普遍的分支之一，它优雅地解决了学童可以理解并在工业上有用的应用问题。 例如，关于类别理论或拓扑，这还不能说，它们也是非常抽象，通用且无疑有用的学科，但在日常任务中几乎从未遇到过。

如此熵。 热力学的创造者克劳修斯（Clausius）以及后来的吉布斯（Gibbs）和玻尔兹曼（Boltzmann）需要平衡的定量特征，这表明观察系统或系统各部分所指示状态的可能性。 而且，该值反映了本质上是可乘的概率，它必须是加性状态函数，以便可以通过累加为其部分计算的值来为系统计算该值。 当我们寻找适合Gibbs分布的函数时，我们从这样一个事实出发：它应该将一个加法参数转换为一个乘法值。 当搜索熵的表达式时，我们需要一个在参数上可乘而在值上可加的函数-这是一个对数函数，即指数的倒数。 复杂系统状态的熵可以表示为观察其所有部分状态的概率的对数的期望值，或者根据Boltzmann表示为可以实现该系统状态的方法数量的对数。 在这种情况下，更可能的状态对应于较大的熵值，而与平衡状态对应，则为最大可能值。

实现该状态的方式的数量取决于可以实现该状态的限制或条件的数量。 这种限制越少，状态就越可能，其熵值也就越大。 这些限制和条件使状态信息有意义。 因此，熵的概念反映了我们对系统的无知程度：我们对状态的了解越少，其熵就越大。 香农后来将这个概念推广到任何包含信息的系统，包括随机变量的分布。 这是他的工作：随机变量 $$$X$ 由概率函数定义 $$$p（x）$ 熵定义如下：

$$

$$H（X）\ equiv-\ mathrm {M}（\ ln（p（x）））=-\ sum {p（x）\ ln（p（x））}，$$

对所有值进行求和 $$$x$ 在其中 $$$p（x）> 0$ 。 因此，我们能够通过统计描述来计算任何复杂系统状态的熵。

随着市场模型趋于平衡，这就是熵如何变化。


随着市场趋于平衡状态，熵的增长。 右图的水平线显示了指数分布的熵的理论值，等于 $$$1- \ ln（\ lambda）$ 。 中间的“货架”对应于分布经历扩散阶段并看起来像正常的时期。

因此，每个分布（以直方图的形式通过分析定义或通过实验获得）可以与正数（其熵）关联。 这意味着可以将分布相互比较，确定给定条件下的平衡程度或多或少。 此外，对于特定类别的分布，可以区分具有最大熵的分布，此外，仅分布一个熵。 类由约束或我们对系统统计属性知识的度量来定义。 以下是一些示例：

我们对随机变量了解多少 $$$X$	具有最大熵的分布
$$$X \在[a，b]$	统一的削减 $$$[a，b]$
$$$X \ in \ {0,1 \}$	伯努利分布
$$$X \ in [0，\ infty）$ +平均	指数，对于离散量-几何
$$$X \ in [x_m，\ infty）$ +几何平均值	帕累托分布（功率）
$$$X \ in [0，\ infty）$ +平均值+几何平均值	伽马分布
$$$X \ in [0，\ infty）$ +几何平均值+几何平均值的方差	正常记录
$$$X \ in（-\ infty，\ infty）$ +平均值+方差	正常的

熟悉所有面孔！ 这些是统计人员应用于最广泛任务类别的非常常用的分布。 它们的普遍性正是由于这样的事实：它们具有最大的熵，因此最有可能和可观察到。 对他们而言，作为均衡，趋向于分布许多实际随机变量。 除其他限制外，最不受限制的是正态分布：它需要有关随机变量的信息最少。 更少会失败：如果我们仅指示平均值，那么为了增加熵，分布将沿着整个数值轴“涂抹”。但是，如果我们只知道平均值，但同时将随机变量限制为正值，则均衡分布将是明确的-指数。我们在市场实验中观察到的就是这种情况。我们事先只知道我们给每个玩家多少钱，以及系统中的钱数是恒定的，这是固定的平均值。而且由于我们的货币为正，最有可能处于均衡状态，因此我们得到的财富的指数分布基尼系数等于$$$1/2$ 。

我们描述的模型有许多修改：交换可以不是在一个卢布中进行，而是在受赠人状态限制的随机值中进行，而有可能不将钱捐给任何一个玩家，而是随机分配。在我们将新参数引入游戏之前，所有这些修改都不会改变财富均衡分配的形式-它仍然是指数级的。您可以在模拟的帮助下进行验证，但是为各种交换方式提供图片并不有趣-它们都是相同的。许多研究人员已经注意到市场模型的这一特征。一个有趣的模型是由马里兰大学的Dragulescu和Yakovenko构建的，其中将参与者合并到某些公司中，然后模拟公司与参与者－工人和参与者－买方的交互。但是即使在这种复杂的情况下，平衡也是指数分布，它与模型的所选参数无关。

为了证明最大熵原理的普遍性，让我们从上面人工地限制单个玩家的财富水平，如果他已经有一定的固定数量，则禁止他接受金钱。当然，平衡分布会改变。如果右边界等于平均值​​的两倍，那么我们来看表第一行中描述的情况。的确，将随机变量限制为有限的段并且不指示其他任何内容，我们不能假设平均值的任何其他期望值，除了该段的中间。因此，带有该选项的平衡分布应该是均匀的。让我们检查一下是否这样吗？


当玩家的财富上限受到限制时，就会发生这种情况，因此，上限恰好是平均值的两倍。根据最大熵原理，平衡分布应均匀。右图的水平线显示了均匀分布的熵的理论值。


如果对称性被破坏，也就是说，如果我们将右边界向右或向左移动，将会发生什么？

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与伯努利分布相比，不对称有界分布的变化形式对应于平均值的偏移。熵曲线上的水平线表示伯努利分布的熵的理论值。

财富分配不再是均匀的，呈有限的指数形式。随着右边界向左移动，富裕者的平衡变得比穷人还多。如果只剩下两列，就“粗化”直方图，我们将得到伯努利分布，表明有条件地变得“贫穷”或“富裕”的可能性。当随机变量的值仅限于两个值时，伯努利分布是唯一的选择；当然，它提供了最大的熵。但是请注意，我们的模型分布的熵恰好趋于伯努利分布所预测的值。这两种情况的基尼系数相等$$$0.43$ 和 $$分别为 0.2。$0.2$

当然，神秘而强大的熵很酷，甚至令人信服。但是，为什么通过对称交换，穷人变得比富人更富裕？为什么均衡分布模式等于零？正如物理学家所说，有必要了解这一过程的动力学，即单个粒子的命运。假设随机游走模型描述的是单个竞标者状态的变化，我们没有错：他同样有可能上下波动。而对于随机游走而言，一项著名的卑鄙定律得以实现：玩家的诅咒。让我提醒您，这是因为在足够长的观察时间内，随机游荡的粒子必定会出现在预先指示的任何位置。而且，粒子远离任何起点的距离与步数的平方根成正比。所有这些导致这样一个事实，即如果粒子在零附近开始其路径，那么它很可能会到达它，并且由于我们问题中的零是不可穿透的边界，因此它将被迫在零点附近一次又一次地开始其路径，从而遇到臭名昭著的诅咒。随着粒子从零移开，返回零的可能性降低，并且富粒子更有可能保存其状态。但是，又有什么能阻止粒子任意远离而导致某个玩家变得任意富裕呢？实际上，除了系统中货币的有限性之外，别无它物-指数分布在整个正轴上都不同于零。但是，为了根据我们的游戏规则获得不可思议的财富，所有玩家都必须一次又一次地随机选择同一位玩家。第一次，这样选择的可能性是$$（1 / n ）n - 1对于十个人来说是十亿分之一，而且很难无意地重复多次。在我们的模型中，将钱捐给谁的选择同样取决于每个人，这意味着他不仅会变得富有，而且会变得贫穷。这个世界上有正义！虽然胜利不长，但是如果你不富有的话。$(1/n)^{n-1}$

经济必须是经济的

只要我们的交换模型不考虑参与者的繁荣，它仍然是不现实的。实际上，富人花的钱多了，而穷人花的钱少了，此外，有理智的人会努力维持自己的一部分财富。作为该模型的下一个复杂之处，我们要求玩家交换时提供一定的已知份额$$α他的财富。一个新的参数和一个新的限制被引入到系统中，因此，平衡状态可以偏离指数状态。使用福利水平的分数，我们继续进行乘法运算，例如投资回报率，投资回报率等。所有经济学教科书都指出，如果要计算多年的平均投资回报率，则应计算每年的回报率的几何平均值。在我们的案例中，几何平均值是唯一的，尽管并非平凡，但由值确定$\alpha$$$$\alpha$ 。因此，添加一个新参数，我们可以确定参与者收入的几何平均分布或市场模型的平均收益。因此，我们可以预期，伽马分布可以很好地描述财富的均衡分布。我们已经进行了仿真建模，对此深信不疑。


如果交换成本与丰度成正比，则平衡分布趋向于具有特征性的不对称钟形伽玛分布。在这个模型中 $$$\alpha = 1/3$ 。 平均交换收益为 $$$75\%$ 。


穷人所占份额的下降是由于他们平均花费低于从富人那里得到的支出，因为他们俩都在交换自己的资本份额。但是此社交电梯仅在以下情况下有效$$$\alpha< 1/2$ 。如果您花掉一半以上的钱，那么陷入贫困的可能性就会变得非常明显。对于各种值$$α的分布形式可以有很大的不同，并且存在很大的不公：$\alpha$


以与财富成比例的成本进行均衡分配的不同选择。图形标有值 $$$\alpha$ 以及右括号中的图也是基尼系数的值。



可以看出，资本参与者被迫花费更多的钱（例如，用于日常需求或食物），穷人的比例越大，社会变得越不公平。很好奇$$α = 1 / 2平衡变得指数分布，两者在与等量交换模型。指数分布是伽马分布的特例，因此这种转换本身并不令人惊讶。但是有一个奇怪的微妙之处：这种特殊情况的熵大于具有任何其他值的分布的熵$\alpha=1/2$$$$\alpha$ 。 了解随着情况的发展，熵如何变化 $$$\alpha=0.75$ ：

在过渡到平衡的过程中，系统以最大熵“跳过”状态。

首先，熵的值单调增加，然后，在没有达到对应于指数分布的理论最大值的情况下，它停止并开始减小。平衡状态定义为具有最大熵的状态是否与之矛盾？没有矛盾，因为平衡态必须是固定的，也就是说，它不会产生有向的能量流并且是稳定的，或者说用动力系统理论的语言来吸引系统本身。所有静态平衡都是具有最大熵的状态。在我们的情况下$$α = 0.75，指数分布对应于非稳态。波士顿大学Ispolatov和Krapivsky的研究人员以这种方式使比例交换模型变得复杂，这种交换不仅考虑了支出的福利，而且还考虑了收支。百万富翁很少从蔬菜水果商那里买东西，而蔬菜水果水果商很少有很多收入，另一方面，一家超一流的汽车制造商只会与富裕的客户互动，但他本人不会盈利。因此，在富人开始主要向富人和穷人-穷人付款的模式中，社会完全崩溃了。$\alpha = 0.75$




, . $$$\alpha = 0.3, \beta = 0.1$ (. ).

在这个系统中，只有一个静止状态：当所有参与者都没有（因此没有得到）绝对什么都没有，而所有财富都移交给一个人时。在这种状态下的基尼系数几乎等于1，并且与正态平衡相差很远-它的熵几乎为零。可以通过下面的限制来保存这种情况，该限制禁止玩家完全失去所有的积蓄，在这种情况下，平衡分布再次变为指数或伽马形状。我们还可以从上面引入一个限制-然后我们得到一个与伯努利分布相对应的不对称分布。如此狂野的市场模式非常适用于证券市场，没有任何限制，但是他们在真实交易所上为此而苦苦挣扎，对交易量施加了限制，每天承诺的交易，以及资产价格的最大增长或下降水平。

所有这些都是可悲的结论，说不赞成自由市场，或者是这种情况，是沙里科夫提出的模型！但是退化分布的熵是多少？根据标准公式，它正好为零。这是最不平衡，最不可能的分配，并且在任何交换模型中都是不稳定的，因此只能人为地获得这种社会。当然，狂野的市场不是礼物，它是不稳定的，而且会加剧不平等。建立一个可持续的市场和一个或多或少公平的社会需要很多共同商定的限制和经过微调的关系。人类已经在很短的时间内，基本上是通过接触，尝试和错误来研究这个问题，但是有一点很明确：经济领域的不公正不是肮脏的人性的后果，而是系统的客观特性。我们都是其中的一部分。此外，以沙里科夫式的方式创造绝对正义的尝试总是伴随着战斗和鲜血，而由于其不平衡，结果却长期存在。

分子和原子谈论世界不公正的可能性不大，物理学家和工程师已经有200年的事实认为，无论他们建造了什么理想的热机，混乱都不会使热量转化为工作所需的份额。很明显，它并不那么令人反感。我希望本章能帮助好奇的读者理解并接受我们这个复杂，不公正的世界。