在许多任务中，应限制输出值的范围，而输入数据不能保证这一点。 除了强迫情况外，信号限制还可以是面向目标的任务，例如，在压缩信号或实现“过载”效果时。
约束的最简单实现是在超过特定级别时将其强制为特定值。 例如，对于振幅增加的正弦曲线，它将看起来像这样：
在此，Clip函数用作限制器，作为输入信号和限制参数的传输参数，该函数的结果是输出信号。
让我们分别看一下裁剪功能图：
从中可以看出，虽然我们没有超过限制的极限，但输出值等于输入，信号不变。 当超过该值时，输出值无论如何都不依赖于输入，而是保持在同一水平。 实际上，我们有一个由三个其他函数组成的分段连续函数：y = -1，y = x和y = 1，它根据参数选择，并且等效于以下表示法：
功能之间的过渡相当突然。 并且看起来很诱人，使其更流畅。 从数学上讲，这种清晰度是由于对接点上的函数导数不重合。 通过绘制Clip函数的导数可以很容易地看出这一点：
因此，为了确保约束函数的平滑性，必须确保连接点处的导数相等。 并且由于我们拥有的极限函数是常数，其导数等于零，因此在对接点处导出的限制函数也必须等于零。 接下来，我们将考虑其中的一些功能以确保平稳对接。
窦
最简单的方法是在-pi / 2到pi / 2的区间上使用sin函数，在其边界处，根据定义，导数的值等于零：
您只需要缩放参数即可将单位投影到Pi / 2上。 现在我们可以定义边界函数本身：
并制定她的时间表：
由于严格限制了我们的限制，因此可以通过缩放输入信号并随后进行反缩放来设置限制。
不再存在输入信号无失真地传输到输出的情况-增益电平越低，由于限制而导致的失真电平越低-但信号在任何情况下都会失真。
增益参数对信号失真的影响还可以从动态中看出：
更加光滑
让我们看一下函数的派生：
它在值上不再有空隙，但在导数上有空隙（如果从原始函数算起，则为第二个）。 为了消除它，您可以采取相反的方法-首先形成平滑导数，然后对其进行积分以获得所需的功能。
使-1点和1点的导数无效的最简单方法是简单地对函数求平方-函数的所有负值都将变为正，因此，拐点将出现在函数与零的交点处。
查找反导数：
现在，它仍然可以沿纵坐标轴缩放。 为此，请在第1点找到其值：
然后除以它（是的，特别是这里是2的基本乘法，但这并不总是发生）：
因此，最终限制函数将采用以下形式：
我们传递给多项式
在某些情况下，使用三角函数可能会有些浪费。 因此，我们将尝试构建所需的功能，并将其保留在基本数学运算的框架内。
考虑抛物线：
由于它已经在零点处出现了拐点，因此我们可以在区间{0,1}上使用相同的部分与常量对接。 对于负值，需要向下和向左移动：
对于正数-垂直和水平反射：
我们的抛物线函数将采用以下形式：
让我们复杂一点
让我们回到抛物线，将其翻转并向上移动一个单位：
这将是我们功能的衍生。 为了使连接点更平滑，我们将进行平方运算，以这种方式将二阶导数归零：
整合和扩展：
我们得到了更平滑的功能：
使平滑之神更加平滑
在这里，我们尝试在更高导数的对接点实现平滑。 为此，首先，我们将函数定义为系数未知的多项式，然后尝试通过方程组的解来找到系数。
让我们从一阶导数开始：
第二名：
第三名：
所有这些系数似乎都具有某种逻辑。 我们写出这些因子，然后将它们乘以x的度数； 为了避免每次都写相同的东西，我们将查找系数的过程自动化：
它看起来像二项式系数。 我们大胆地假设它们是，并在此基础上编写广义公式：
检查：
看来是真的
[1] 。 剩下的只是计算比例因子以使边缘统一：
经过缩放和简化后，我们发现我们的数学知识有些过时
[2] ：
因此，我们获得了n阶的生成函数，其中n-1个一阶导数等于零：
让我们看看发生了什么：
而且由于我们的广义公式证明是连续的，因此您可以根据需要使用非整数参数值：
您还可以建立减少到一个比例的导数图：
增加刚度
能够调整限制的“刚性”程度将很诱人。
让我们回到倒抛物线，并在x处添加一个系数：
n越大，我们的导数就是“平方”，其反导数就越尖锐：
我们计算反导数并调整比例：
现在，让我们尝试设置参数的小数步：
如您所见，并非所有n在负数部分都具有正确的解，但在右边（正数）部分中仍满足我们所需的条件-因此，对于负数，我们可以简单地将其与反向参数一起使用。 并且由于参数的定义域不再仅限于正整数，因此可以通过将2n替换为n来简化公式：
并将n替换为n-1，可以使公式更漂亮：
由于对于n等于1，我们得到零除，然后尝试找到极限：
找到了极限，这意味着现在我们可以将
[ n
]的函数添加到
[3]到1，并考虑所有n个大零：
如果我们最初对倒抛物线进行平方，我们将获得更平滑的函数：
我们可以在一张图表上进行比较：
简化它
让我们看一下下面的函数：
她不是偶然出现的。
如果从其中删除一个单元，则x
2将收缩，仅x将保留，即一条倾斜线。 因此，x的值越小，分母中单位的影响越大，从而产生我们需要的曲率。 考虑到此函数的不同比例，可以控制此曲率的程度：
因此，我们可以使用仅使用有理三阶多项式的刚度控制来重写以前的函数：
自动化
为了不每次都指定分段连续函数，我们可以定义一个辅助函数，以供体函数作为参数作为输入，自行执行此操作。
如果我们的函数已经具有对角线对称性并且已对准坐标中心（例如正弦波），那么我们可以简单地
用法示例：
如果您需要从零件中组装，例如抛物线，并且坐标中心确定了对接点，则公式将稍微复杂一些：
用法示例：
让我们继续参展
绝对可以使用任何函数来解决此问题，您只需要为其提供拐点即可。 以指数向下移动一个为例：
以前，为了确保在零点处发生必要的拐点，我们对函数求平方。 但是您可以采用另一种方法-例如，用另一个函数求和，该函数的零点导数的符号与指数的导数相反。 例如，-x：
取决于曲线的哪一侧，函数的最终形式将取决于曲线。 现在，使用先前定义的辅助功能并选择边之一，我们得到：
要么
现在我们可以在一张图表上进行比较：
可以看出，当k→0时，它们趋于重合。 并且由于我们无法直接计算其值，因此我们将其除以零，因此将使用限制：
他们从我们已经知道的抛物线获得了分段函数。
打破对称
到目前为止，我们一直在考虑仅考虑对称函数。 但是，有时候我们不需要对称性-例如，模拟电子管放大器声音的失真。
取指数并将其乘以一个倒抛物线平方-得到与点-1和1处的横坐标轴的交点，同时确保二阶导数的平滑度； 通过缩放指数参数可以进行参数化：
找到反导并将其缩放：
由于对于k = 0，我们得到除以零的值：
然后我们再找到极限
这是我们已经知道的三阶平滑多项式。 将所有内容组合成一个函数，我们得到
代替最初设计不对称函数的方法，您可以采用另一种方法-使用现成的对称函数，但是使用在区间{-1,1}上定义的附加曲线函数来“弯曲”该函数的值。
例如，考虑一个双曲线：
考虑到其分段的比例不同，可以在两个方向上调整曲率度。 如何找到此细分？ 根据该图，可以寻找双曲线与直线的交点。 但是，由于这种相交并不总是存在，因此带来了一些困难。 因此，我们将走另一条路。
首先，将缩放因子添加到双曲线中：
然后我们将组成一个方程组，该方程组定义双曲线通过给定点的通过条件-其解将为我们提供感兴趣的系数：
现在，将解决方案替换为原始公式并简化：
让我们看看根据参数k得到的结果：
值得注意的是，对于k = 0，该公式自然会在x处折叠，并且不会出现特殊情况-尽管相对于初始夸张而言，它等效于零长度的段，一次等于两个。 同样引人注意的是，它的逆函数相同，但是参数为k：
现在我们可以使用它来修改任意约束函数，参数k从而设置与纵坐标轴的交点：
同样，您可以从其他函数（例如，具有可变基数的幂定律）构建曲线：
或它的倒数是对数的：
需要更高的准确性
我们可能希望在一定的时间间隔内确保函数的线性间距。 通过将直线引入分段连续函数来进行组织是合乎逻辑的，
需要填写一些功能的空白处。 显然，对于具有线性截面的平滑对接，其一阶导数必须等于1。 以及所有后续（如果可能）零。 为了不重新推论这样的功能，我们可以采用现成的功能并将其适应此任务。 您还可以注意到，极限点的位置比统一点略远-这对于保持线性截面的斜率是必要的。
采用先前派生的PolySoft函数并将其移动，以使我们在坐标中心得到一个：
从其性质可以得出，在点0和点2的n-1个后续导数将等于零：
现在将其集成：
该功能相对于横坐标轴向下移动。 因此，有必要添加一个常数（等于函数在点0处的值）以组合坐标中心：
在这里，我们的n值为零。 它没有下降，因为没有定义零度中的零值。 我们可以手动将其删除，或者为简化起见，我们可以明确指出n大于零：
我们以防万一。 所有n的点0和2的值：
区间边缘的导数（对于5阶多项式）：
如您所见，该功能非常麻烦。 为了不拖拽它并且不使计算复杂化，我们将继续使用特定的多项式进行操作，例如四阶：
现在，您可以填充可用空间：
检查：
我们走向无限
有时可能需要趋向于一个单元却无法实现的功能。 维基百科
提供了几种著名的解决方案：
由于这些函数没有达到统一，因此相对于坐标中心的导数将它们标准化更方便。
我们可以使用对角线对称函数，通过其参数修改此类函数的形式，例如：
顺便说一句，这个函数本身也相反。
并且，以反正切为例，我们获得
特别是在参数k = 1的情况下，将为我们提供
Guderman函数 。
如您所见，使用这种方法可以获得不希望的扭结，因此，更可取的是直接通过函数本身的属性来控制约束的刚度。 考虑几个带有参数的此类函数，为简洁起见，省略了其输出。
从幂函数：
从两个具有偏移量的v形函数的总和中：
从广义误差函数：
有理多项式的积分：
有趣的是，它的特殊情况是反正切的：
结论
构造此类函数可能是一项引人入胜的任务，在此过程中，将获得简单和复杂，漂亮和不太漂亮的公式。 看起来它们彼此非常相似，因此不需要这样的变化。 不一定是这种情况。
在其他刻度上（例如对数），差异可以更明显。 此外，除了标题中指示的任务之外，类似的功能也可以用于其他任务-混合信号，当一个信号的平滑衰减与另一个信号的平滑增大相结合时，或者构造声学滤波器-然后，耳朵会感觉到差异，或建立梯度-然后眼睛会察觉到差异。 此外，它们还可以用作其他更复杂功能（例如
window）的供体 。
总之，有必要澄清几点。
此处所有函数的定义范围是-1到1。如果需要其他范围（例如，从0到1），则可以很容易地手动重新计算：
或使用内置的缩放功能：
为了方便将获得的公式导出到程序代码，CForm函数可能会很有用：
Mathematica源文件可以在
这里下载。
注意事项：
[1]真正的数学家当然可以严格证明（或反对）这一说法。
[2]在数学分析的标准过程中未考虑超几何函数。
[3]此重载仅针对字符单元定义； 浮点格式的单位（例如，绘制图形时）将不会被识别。