检查您环境中现有友谊的结构可以帮助您在建立新朋友圈的同时更好地建立新关系。
搬到新学校，新工作，搬到新城市-您如何结交新朋友？ 您可以积极地解决问题，并与知名人士形成战略上有用的关系。 或者，您可以依靠随机的组和连接让一切都充满机会。 无论采用哪种方法，了解新环境中现有友谊的结构都可以帮助您建立最佳的新关系，从而最终确定您的熟人圈子。
想象一下，搬到一个新的不寻常的城市，Regularsk，那里有一个奇怪的规则：每个人最多只能有四个朋友，但是每个人都希望最大化他们的联系数量。 Regularsk债券的结构会是什么样？ 为了研究这个问题，我们使用一个称为网络的数学对象。
简而言之，网络是称为“节点”及其之间的连接的对象的集合。 网络是数学上灵活的概念。 它们可以表示连接它们，作者及其助手，Rubik立方体状态和转换的计算机和电缆，允许它们之间通过-实际上，可以是任何类型的连接，无论是真实的还是抽象的。 为了研究Regularsk的友谊，我们将创建一个网络，在该网络中，人们将成为节点以及他们之间的友谊。
表示网络时，以点的形式表示节点，以线的形式表示连接很有用，我们也可以称其为边。 这样的网络图可以帮助我们理解其结构。 那么，Regularsk友谊网络将是什么样？ 在某个时间点，它可能看起来像这样：
每个人都将尝试找到四个朋友，而来到这座城市的新朋友将寻找仍少于四个朋友的人。 该网络将随着时间的推移而增长，并将随着新节点的增加而不断扩展。 （可以形成独立的组，但是在此示例中，我们忽略了它们）。
网络图可以帮助您理解它们，并显示清晰的结构。 但是，当网络发展壮大，或者没有显示出像常规网络这样的常规结构时，图表可能会变得不那么有用。 在这种情况下，开发用于分析网络结构的各种方法很有用。 其中之一是评估顶点度的分布。
在网络中，特定节点的链接数称为其度。 节点与许多其他节点高度关联； 具有低度的节点与较少的其他节点相关联。
在左侧-一个度数为8的节点，在右侧-度数为3的节点节点的程度是网络的重要特征，但是局部的：它仅在一个节点内描述网络的结构。 但是，如果您一次涵盖所有节点的程度，则可以创建一个有用的工具来研究全局网络结构。
在我们的朋友网络中，每个节点的程度就是一个人的朋友数量。 在Regularsk中，大多数人有四个朋友，因此大多数节点的度数为4。没有人会拥有更多的朋友，但是某人的朋友数会减少，因此将有度数为3、2或1的节点。您可以总结度数的分布如下：
该直方图传达了有关我们网络结构的重要信息。 在这个简单的示例中，它可能无法像完整的网络图一样向我们传达信息，但是我们将看到度分布如何对研究各种网络非常有用。
让我们搬到另一个城市。 一团糟，约会随机开始。 由于机会是一件棘手的事情，因此让我们清楚地概述范围：城市的每个居民都由一个网络节点指定，每个可能的边缘都是友好的连接。 要创建随机连接，我们将以随机方式选择这些可能的边之一，并绘制它，从而在两个节点之间建立连接，从而在两个人之间建立友谊。
混乱的网络会是什么样子？ 如果假设我们从几个节点开始并随机添加了几个边，那么图片可以如下所示：
在这样的图中，很难看到其结构。 但是，很多事情会告诉我们该网络中度数的分布。 它很难直接计算，但是可以使用几个重要的属性和一个简单的示例来表示。
假设您是混乱的十个居民之一。 其中可能存在多少可能的友谊？ 十个居民中的每个居民可以与九个其他居民相关联，因此，原则上可以绘制10×9 = 90个边。 但是这样的计算将每个连接两次考虑在内-对于两个朋友中的每个都一次。 因此，实际上，债券总数应为90/2 = 45。
现在，假设我们随机选择一个友好的关系-即45个可能的边之一。 肋骨与您连接的可能性有多大？ 九个边缘可以让您离开其余九个节点之一。 由于45条可能的边缘中有9条通往您，因此随机选择的边缘连接到您的概率为9/45 = 1/5，即20％。
但相同的论点也适用于“无序”，因此每个节点都有20％的机会连接到随机选择的边。 随着边和节点数量的增加，这些概率将略有变化，但是从长远来看，它们将保持在大致相同的水平。 也就是说，友谊将在整个混乱中大致平均分配。 在某些地方，会观察到很小的偏差，但是一个人友谊过多或过少的可能性很小。 在疾病中，大多数居民很可能与普通朋友有亲密的朋友。
这些特征与典型随机网络的度的“
二项式分布 ”有关。
仅访问网络中度的分布，我们已经可以在其中找到一定的统一性：就连通性而言，大多数节点是平均的，而极少数节点处于极端位置。 此信息对于了解网络结构很有用。 随着节点的增加，也就是随着新人的到来，分布会稍有变化，同时保留主要特征。
但是，其中一个例子（在Regularsk不超过四个朋友或在Disorder中随机出现的友谊）不是一个友好关系的现实模型。 人们可以拥有四个以上的朋友，而且与二项分布相比，大量相识的存在并不罕见。 什么是更现实的友谊模式？
与朋友和朋友的朋友建立联系时，友谊的结构很可能类似于其他现实世界的
网络 -
食物网络 ，
蛋白质-蛋白质相互作用或互联网。 它们的特性代表了所谓的
无标度网络 -这种连接模型在20多年来一直主导着网络科学。 来自数学，物理学，经济学，生物学和社会科学的研究人员已经观察到了其研究领域中存在无标度网络的特征性迹象。
先进的无标度社交网络无标度网络的结构取决于“首选连接”的简单原理。 首选的连接是“致富”规则，即网络增长。 具有大量现有连接的节点比具有少量连接的节点更有可能获得新连接。 新连接显示出趋向于具有大量连接的节点的趋势。
在建立友谊的背景下这有意义吗？ 原则上，可以合理地假设一个拥有更多朋友的人更可能结交新朋友。 由于他已经与很多人相关联，因此由于现有的联系而结识新朋友的可能性很高。 朋友越多，结识新朋友的机会就越多。 他们已经有很多朋友，这说明他们有某种机会或对友谊的爱好。 就像流行的网站吸引其他网站和博客的链接一样，发达的城市也正在创造新的铁路和航空路线，这更有可能吸引其他人。
尽管有几个因素影响无标度网络的增长，但是许多人认为首选连接是最重要的。 他还对网络中度的分布产生了惊人的影响。
它可以预测“粗尾”分布的出现。 网络中的大多数节点将具有较小的度，但是也将具有度增加的节点。 这与Regularsk和Disorder友好网络有很大的不同，后者网络中的节点度数很少或没有。
这些节点在很大程度上充当网络的枢纽，是无标度网络的关键特征。 他们是朋友网络中的社交蝴蝶，是经济中心的银行，是允许区域Internet连接通过的集中式路由器，
在表演世界中是Kevinov Beykonov 。 集线器可以在庞大的网络中提供一个紧密世界的感觉-例如，在20亿Facebook用户中，任意两个随机选择的人彼此之间的平均距离不外
于四个友好纽带 。 集线器的数量和种类使大型网络可以抵抗某种类型的不连续性。 例如，即使许多Internet连接失败，消息仍将能够到达，特别是因为仍然有许多方法可以将许多集线器连接到许多其他集线器。
尽管许多人同意无标度网络及其特性是有用的，但在这一研究领域还是存在矛盾。 这种程度分布的确切数学特征有时难以解释。 网络研究的先驱和物理学家
Albert Lazlo Barabasi在《链接：网络的新科学》一
书中写道，在显示出首选连接的网络中，度数的分布将遵循幂定律。 功率分布通常出现在许多物理情况下-例如，在重力或电场的平方反比定律中。 它们可以表示为具有以下形式的函数
他们的图通常如下所示：
配电确实有“粗尾”。 但是有多厚？ 在这样的网络中应找到多少个一定程度的集线器？ 在今年发表的一项
研究中 ，对1000多个真实网络进行了研究，发现其中只有三分之一可以具有幂律描述的度分布。 对于许多网络，度分布可以更准确地描述为
指数或
对数正态 。 它们可能具有无标度网络的高级属性，但是如果它们中的度数未按预期分布，是否可以将它们视为具有此类特征？ 甚至有关系吗？
如果我们想将理论与数据联系起来就很重要。 首选通信是建立无规模网络的主要因素吗？ 是否还有其他因素可以发挥重要作用并且可以将学位分配推向另一侧？ 通过回答这些问题并理解接下来应该问什么问题，我们将真正更好地了解网络的性质和结构，以及它们如何发展和演化。
这些矛盾也提醒我们，数学就像网络一样，也是不断发展的联系的集合。 当前的研究在一个相对较新的网络研究领域中挑战了已有20年历史的假说。 加入网络的新思想将我们与过去和未来的数学联系在一起。 因此，在数学问题上，例如在友谊领域，找到枢纽并最大限度地提高学位将非常有用。
练习题
- 如果每个人恰好有两个朋友，那么一个朋友网络会是什么样？
- 在Regularsk中，每个人最多可以交四个朋友。 可能存在单独的组，每个人恰好有四个朋友。 这样的小组可以容纳多少人？ （提示：答案与常规多面体有关 ）。
- 我们的网络基于这样的事实，友谊是一个对称的概念。 如果A是与B的朋友，那么B是与A的朋友。我们如何纠正我们的网络模型，使其包含不对称的连接，其中A可以与B成为朋友，而B不能与A成为朋友？
- 在“朋友”中，每个居民都是与其他人的朋友。 如果在“朋友”中居住着n个人，那么在那里建立了多少友谊纽带？