背景知识

该出版物之所以发表是因为几天前在该资源上发表了一篇关于最小行动原则（IPA）的模棱两可的文章 。 这是模棱两可的，因为它的作者以一种流行的形式试图向读者传达对自然进行数学描述的基本原理之一，而他部分地获得了成功。 如果不是，但潜伏在出版物的末尾。 在剧透下面是这段经文的完整报价


那么我认为是什么问题呢？

问题在于作者以这个例子为参考，犯了许多基本错误。 作者认为，计划的第二部分将基于这些错误，这使情况更加复杂。 遵循以可靠的信息填充资源的原则，我不得不更详细地说明我对该问题的立场，而对此的评论格式还不够。

本文将讨论如何在PND的基础上构建力学，并尝试向读者解释所引用出版物的作者所缺少的问题。

1.汉密尔顿动作的定义。 最少行动原则

汉密尔顿动作被称为功能性

$$

$$S = \ int \ limits_ {t_1} ^ {t_2} \，L \左（\ mathbf q（t），\点{\ mathbf q}（t）\ right）\，dt$$

在哪里

$$

$$L \左（\ mathbf q（t），\点{\ mathbf q}（t）\右）= T \左（\ mathbf q（t），\点{\ mathbf q}（t）\右） -\ Pi（\ mathbf q）$$

是某些机械系统的拉格朗日函数，其中（省略以下论点） T是系统的动能； P-它的势能； q （t）是此系统的广义坐标的向量，它是时间的函数。 可以相信时刻t ₁和t ₂是固定的。

为什么功能而不是功能？ 因为根据定义，函数是一个规则，根据该规则，定义域（函数参数）中的一个数字与值域中的另一个数字相关联。 函数的不同之处在于参数不是数字，而是整个函数。 在这种情况下，这是机械系统q （t）的运动定律，至少在t ₁和t ₂之间的时间间隔内定义。

长期的研究（这很温和！）机械科学家的作品（包括令人惊叹的伦纳德·欧拉）使我们能够制定

最少动作原则：

指定了拉格朗日功能的机械系统 $$$L \左（\ mathbf q（t），\点{\ mathbf q}（t）\右）$ ，其移动方式应使其运动定律q （t）为

$$

$$S = \ int \ limits_ {t_1} ^ {t_2} \，L \左（\ mathbf q（t），\点{\ mathbf q}（t）\ right）\，dt \到\ min$$

称为汉密尔顿动作。

从PND的定义中就可以得出这样的事实，即该原理仅对有限种类的机械系统产生运动方程。 为了什么 让我们弄清楚。

2.最小行动原则的适用范围。 一些最小的定义

再次根据拉格朗日函数的定义，PND允许人们获得机械系统的运动方程，其机械作用力仅由势能决定。 为了弄清楚我们正在讨论的系统，我们将给出几个定义，为了保存本文，我将其定义为破坏者

3.广义坐标变化的概念。 变分问题陈述

因此，我们现在考虑一个在势力作用下运动的机械系统，其位置由广义坐标矢量唯一地确定

$$

$$\ mathbf q = \左[q_1，\，q_2，\，\点，\，q_s \右] ^ T \ quad（4）$$

其中s是给定系统的自由度数。

实际上， 但我们仍然不知道 ，该系统的运动定律由广义坐标（4）对时间的依赖性决定。 考虑广义坐标之一 $$$q_i = q_i（t）$ ，并假设其他所有坐标都类似。


图1.机械系统的实际和回旋运动

在图中，依赖性 $$$q_i（t）$ 用红色曲线表示。 我们选择两个任意的固定时刻t ₁和t ₂ ，设置t ₂ > t ₁ 。 系统位置 $$$\ mathbf q_1 = \ mathbf q（t_1）$ 我们同意称为系统的初始位置，并且 $$$\ mathbf q_2 = \ mathbf q（t_2）$ -系统的最终位置。

但是，我再次坚持要仔细阅读以下内容！ 尽管我们设置了系统的初始位置和最终位置，但我们事先都不知道第一个位置还是第二个位置！ 以及未知的系统运动定律！ 不论具体含义如何，这些规定都被准确地视为初始和最终立场。

此外，我们认为从初始位置到最终系统可以以不同的方式出现，即依赖关系 $$$\ mathbf q = \ mathbf q（t）$ 在运动学上可以是任何可能。 系统的实际运动将以单个变量（红色曲线）存在，其余的运动学上可能的变量将称为回旋运动。 $$$\ mathbf q ^ {*} = \ mathbf q ^ {*}（t）$ （图中的蓝色曲线）。 真实和回旋处之间的区别

$$

$$\ delta q_i（t）= q ^ {*} _ i（t）-q_i（t），\ quad \ forall i = \上线{1，s} \ quad（5）$$

将被称为广义坐标的等时变化

在这种情况下，变化（5）应该理解为表达环岛与实际环岛的偏差的无穷小函数。 较小的“增量”并不是偶然选择的，而是强调变化和功能差异之间的根本差异。 微分是由参数增量引起的函数增量的主要线性部分。 在变化的情况下， 具有恒定参数值的函数值的变化是由函数本身形式的变化引起的！ 我们不改变时间在角色中的作用；因此，这种变化称为等时。 我们改变规则，使每个时间值与一定值的广义坐标相对应！

实际上，我们改变运动定律，根据该定律，系统将从初始状态移至最终状态。 初始状态和最终状态由实际的运动定律确定，但是我再次强调-我们不知道它们的具体值，并且在运动学上可能是任意的，我们仅假设它们存在并且可以保证系统从一个位置移动到另一个位置！ 在系统的初始位置和最终位置，我们不改变运动定律，因此，初始位置和最终位置中的广义坐标的变化等于零

$$

$$\ delta q_i（t_1）= \ delta q_i（t_2）= 0，\ quad \ forall i = \上线{1，s} \ quad（6）$$

根据最少动作的原理，系统的实际运动必须能够提供最少的动作功能。 改变坐标会导致动作功能发生变化。 函数达到极值的必要条件是其变化等于零

$$

$$\ delta S = \ delta \ int \ limits_ {t_1} ^ {t2} \，L（q_1，\点，q_s，\，\点q_1，\点，\点q_s）\，dt = 0 \ quad（ 7）$$

4.变分问题的解决。 第二类拉格朗日方程

让我们解决我们的变分问题，为此我们计算动作函数的完整变分并将其等于零

$$

$$\ begin {align} \ delta S =＆\ int \ limits_ {t_1} ^ {t2} \，L（q_1 + \ delta q_1，\点，q_s + \ delta q_s，\，\ dot q_1 + \ delta \点q_1，\点，\点q_s + \德尔塔\点q_s）\，dt-\\＆-\ int \ limits_ {t_1} ^ {t2} \，L（q_1，\点，q_s，\，\点q_1，\点，\点q_s）\，dt = 0 \结束{align}$$

让我们将所有东西都推到一个整数下，由于对无穷小量的所有运算都对变化有效，因此我们将这种鳄鱼转换为形式

$$

$$\ int \ limits {{t_1} ^ {t_2} \ left [\ sum \ limits_ {i = 1} ^ s \ frac {\部分L} {\部分q_i} \ delta q_i + \ sum \ limits {{i = 1 } ^ s \ frac {\部分L} {\部分\点q_i} \ delta \点q_i \右] \，dt = 0 \四（8）$$

基于广义速度的定义

$$

$$\ delta \ dot q_i = \ frac {d（\ delta q_i）} {dt}$$

然后将表达式（8）转换为以下形式

$$

$$\ int \ limit_ {t_1} ^ {t_2} \左[\ sum \ limits_ {i = 1} ^ s \ frac {\部分L} {\部分q_i} \ delta q_i \，dt + \ sum \极限_ { i = 1} ^ s \ frac {\部分L} {\部分\点q_i} d（\ delta q_i）\右] = 0$$

第二学期分为几部分

$$

$$\ sum \ limits_ {i = 1} ^ s \ frac {\部分L} {\部分\点q_i} \ delta q_i | _ {t_1} ^ {t_2} + \ int \ limits_ {t_1} ^ {t_2} \左[\ sum \ limits_ {i = 1} ^ s \ frac {\部分L} {\部分q_i} \ delta q_i-\ sum \ limits_ {i = 1} ^ s \ frac {d} {dt} \左（\ frac {\部分L} {\部分\点q_i} \右）\ delta q_i \右] \，dt = 0 \ quad（10）$$

根据条件（7），我们有

$$

$$\ sum \ limits_ {i = 1} ^ s \ frac {\部分L} {\部分\点q_i} \ delta q_i | _ {t_1} ^ {t_2} = 0$$

然后我们得到方程

$$

$$\ int \ limits_ {t_1} ^ {t_2} \ left [\ sum \ limits_ {i = 1} ^ s \ left（\ frac {\部分L} {\部分q_i}-\ frac {d} {dt} \左（\ frac {\部分L} {\部分\点q_i} \右）\右）\，\ delta q_i \右] \，dt = 0$$

对于任意积分极限，通过积分的消失来确保某个积分的消失

$$

$$\ sum \ limits_ {i = 1} ^ s \ left [\ frac {\部分L} {\部分q_i}-\ frac {d} {dt} \左（\ frac {\部分L} {\部分\点q_i} \（右）\右] \，\ delta q_i = 0 \ quad（11）$$

假设广义坐标的变化是独立的，则（11）仅在所有变化系数均等于零时才有效。

$$

$$\ frac {\部分L} {\部分q_i}-\ frac {d} {dt} \左（\ frac {\部分L} {\部分\点q_i} \右）= 0，\ quad \ forall i = \上划线{1，s}$$

没有人会费心将每个方程乘以（-1）并获得更熟悉的表示法

$$

$$\ frac {d} {dt} \左（\ frac {\部分L} {\部分\点q_i} \右）-\ frac {\部分L} {\部分q_i} = 0，\ quad \ forall i = \上线{1，s} \四边形（12）$$

方程（12）是该问题的解决方案 。 在这一点上，再次引起人们的注意-通过最小作用原理解决变分问题，这不是根据汉密尔顿提出最小作用的函数 ， 而是一个微分方程组，通过求解可以找到这样的函数 。 在这种情况下，这是一个根据拉格朗日函数写的二阶拉格朗日微分方程，也就是保守机械系统的公式。

就这样， 最小作用原理结束了 ，常微分方程的理论开始了，特别是，它指出方程（12）的解是形式的向量函数

$$

$$\ mathbf q = \ mathbf q（t，C_1，C_2，\点，C_ {2s}）$$

其中C ₁ ，...，C _2s是任意积分常数。

这样

PND是一项基本原理，可让人们获得定义了Lagrange函数的系统的运动方程

一点！ 在分析力学问题中，不再需要进行上述计算，而使用它们的结果就足够了（12）。 满足方程式（12）的函数是满足PND的系统的运动定律。

5.球和墙的问题

现在回到一切开始的任务-关于绝对弹性壁附近的球的一维运动。 当然，对于这个问题，人们可以获得运动的微分方程。 由于这些是运动的微分方程，因此我特别强调，它们的任何解决方案都能提供最少的功能作用，这意味着可以执行PND！ 球的运动方程的一般解可以以所考虑的机械系统的所谓相图的形式表示。 这个相像


图2.球问题中系统的相图

球的坐标绘制在水平轴上，速度的投影在x轴上在垂直轴上。 看起来可能有些奇怪，但是此图形反映了在任何初始边界条件（如果需要）的情况下，球所有可能的相位轨迹。 实际上，图中有无限多的平行线，该图显示了其中的一些平行线以及沿相轨迹的运动方向。

这是球运动方程的一般解决方案。 这些相位轨迹中的每一个都提供了最小的动作功能，这直接来自上面的计算。

任务作者做什么？ 他说：这里的球是静止的，并且在从t _A到t _B的时间内，动作为零。 如果将球推向墙壁，则在同一时间段内的作用会更大，因为球的动能非零且不变。 但是为什么球会朝着墙壁移动，因为静止时动作会更少？ 因此，PND遇到问题，无法正常工作！ 但是我们一定会在下一篇文章中解决这个问题。

作者说的是胡说八道。 怎么了 是的，因为他比较了同一真实相位轨迹的不同分支上的动作！ 同时，在应用PND时，将比较实际轨迹和许多回旋轨迹上的作用。也就是说，将对真实轨迹的动作与对那些不是自然的，永远不会存在的轨迹的动作进行比较！

不明白吗？我将更清楚地解释它。考虑休息状态。它由与横坐标轴重合的相像分支来描述。坐标不会随时间变化。这是一个真正的运动。什么样的运动将是回旋处。任何其他运动学上可能的。例如，我们正在考虑的静止位置附近的小球振动。问题是否允许球沿x轴摆动？假设这样的运动在运动学上是可能的，并且可以认为是回旋处之一，

为什么球仍然静止？是的，因为静止的动作是在t _A到t 的固定时间内计算的_B，在同一时间段内动作较小，波动较小。这意味着大自然更喜欢和平而不是振动和球的其他“搅动”。完全符合IPA。

假设我们将球推向墙壁。让我们按作者希望的速度，从边界条件中选择一个速度推动它，以便在时间t _B处，球处于起始位置。恒速球到达壁后，弹跳并在时间t _B再次以恒速返回其初始位置。好的，这是一个真正的运动。哪个运动将是回旋处之一？例如，如果球以随时间变化的速度移向和移出墙壁。运动学上有可能吗？可能吧为何球速模块不变？是的，因为与速度取决于时间的任何其他选项相比，在这样的相位轨迹上的动作将具有最小值。

仅此而已。这里没有什么神奇的事情发生。IPA可以正常工作。

结论和愿望

PND是自然的基本定律。尤其是从中可以得出力学定律，例如运动的微分方程（12）。PND告诉我们，自然是结构化的，因此保守的机械系统的运动方程看上去与表达式（12）完全一样，而没有别的。不需要他更多。

无需在不存在的地方发明问题。