最少动作的原则。 第二部分

上一次，我们简要地考察了最显着的物理原理之一-最小作用原理，并以一个似乎与之矛盾的示例为基础。 在本文中，我们将更详细地讨论此原理，并查看此示例中发生的情况。

这次我们需要更多的数学知识。 但是，我将尝试在基本层次上再次列出本文的主要部分。 我将重点介绍一些更为严格和复杂的要点，在不影响本文的基本理解的情况下可以跳过这些要点。

边界条件

我们将从最简单的对象开始-球在空间中自由移动，没有力作用于此。 众所周知，这种球均匀且直线地运动。 为了简单起见，假设它沿着轴移动 $$$x$ ：

为了准确描述其运动，通常会指定初始条件。 例如，指定在初始时间 $$$t_A$ 球在一个点上 $$与坐标 $$$x_A$ 并有速度 $$$v_A$ 。 以这种形式设置初始条件后，我们唯一地确定球的进一步运动-球将以恒定速度运动，以及当时的位置 $$$t$ 将等于初始位置加上速度乘以经过的时间： $$$x（t）= x_A + v_A \ cdot（t-t_A）$ 。 这种设置初始条件的方法非常自然且直观。 我们最初询问有关球运动的所有必要信息，然后根据牛顿定律确定球的运动。

但是，这不是指定球运动的唯一方法。 另一种替代方法是将球的位置设置在两个不同的时间点。 $$$t_A$ 和 $$$t_B$ 。 即 要求：

1）在时间 $$$t_A$ 球在一个点上 $$（带坐标 $$$x_A$ ）;
2）在时间 $$$t_B$ 球在一个点上 $$$B$ （带坐标 $$$x_B$ ）

表达“在某一点上 $$“并不意味着球停在某个位置 $$。 在时间 $$$t_A$ 他可以飞过一点 $$。 这意味着他当时的位置 $$$t_A$ 碰巧有一个点 $$。 同样的事情适用于这一点 $$$B$ 。

这两个条件也唯一地决定了球的运动。 它的运动很容易计算。 为了满足这两个条件，显然球的速度必须为 $$$（x_B-x_A）/（t_B-t_A）$ 。 时球位置 $$$t$ 将再次等于初始位置加上速度乘以经过的时间：

$$

$$x（t）= x_A +（（x_B-x_A）/（t_B-t_A））\ cdot（t-t_A）$$

请注意，在出现问题的情况下，我们不需要设置初始速度。 它是根据条件1）和2）唯一确定的。

用第二种方式设置条件看起来很不正常。 也许不清楚，为什么通常有必要以这种形式询问他们。 但是，按照最小作用原理，正是使用条件1）和2），而不是以设置初始位置和初始速度的形式。

最小动作轨迹

现在，让我们从球的真实自由运动中脱离出来，并考虑以下纯粹的数学问题。 假设我们有一个可以随意移动的球。 在这种情况下，我们需要满足条件1）和2）。 即 在两者之间 $$$t_A$ 和 $$$t_B$ 我们必须从一点开始 $$到这一点 $$$B$ 。 这可以用完全不同的方式完成。 每种这样的方法都称为球的轨迹，可以用球在时间上的位置的函数来描述 $$$x（t）$ 。 让我们将几个这样的轨迹推迟到球的位置与时间的关系图上：

例如，我们可以以等于 $$$（x_B-x_A）/（t_B-t_A）$ （绿色路径）。 或者我们可以将其保持在一半 $$然后加倍速度移动到该点 $$$B$ （蓝色轨迹）。 您可以先向相反方向移动它。 $$$B$ 一边，然后已经移动到 $$$B$ （棕色轨迹）。 您可以前后移动它（红色轨迹）。 通常，如果只观察到条件1）和2），则可以随意移动它。

对于每个这样的轨迹，我们可以匹配一个数字。 在我们的示例中，即 在没有任何作用于球的力的情况下，此数字等于其在运动之间的整个时间间隔内的总累积动能 $$$t_A$ 和 $$$t_B$ 称为动作。

在这种情况下，“累积”动能一词无法准确传达其含义。 实际上，动能不会在任何地方累积；累积仅用于计算轨迹的作用。 在数学中，对于这种积累，有一个非常好的概念-积分：

$$

$$S = \ int \ limits_ {t_A} ^ {t_B} Tdt$$

动作通常用字母表示 $$$S$ 。 记号 $$$T$ 表示动能。 这个积分意味着作用等于球在一段时间内累积的动能 $$$t_A$ 之前 $$$t_B$ 。

例如，以一个重1公斤的球为例，设置一些边界条件并计算两条不同轨迹的作用力。 让点 $$$B$ 距该点1米 $$和时间 $$$t_B$ 远离时间 $$$t_A$ 1秒钟。 即 我们必须移动最初时刻的球 $$，沿轴在1 m的距离内在一秒内 $$$x$ 。

在第一个示例（绿色轨迹）中，我们均匀地移动了球，即 同样的速度，显然应该等于： $$$v = 1$ 米/秒 球在每个时刻的动能等于： $$$T = mv ^ 2/2$ = 1/2J。在一秒钟内，将累积1/2 J $$$\ cdot$ 具有动能。 即 对于这样的轨迹有效的是： $$$S = 1/2$ J. $$$\ cdot$ s

现在让我们不要立即从该点转移球 $$到这一点 $$$至$ ，并保持半秒钟 $$，然后在剩余时间内，将其均匀地转移到 $$$B$ 。 在上半秒，球处于静止状态，其动能为零。 因此，对这部分轨迹的作用的贡献也等于零。 在后半秒，我们以双倍速度转移球： $$$v = 2$ 米/秒 动能等于 $$$T = mv ^ 2/2$ = 2J。这段时间对动作的贡献将是2 J乘半秒，即 1 J $$$\ cdot$ s 因此，这种轨迹的一般作用等于 $$$S = 1$ J. $$$\ cdot$ s

类似地，具有指定边界条件1）和2）的任何其他轨迹对应于等于给定轨迹的作用的一定数量。 在所有这样的轨迹中，存在其中动作最小的轨迹。 可以证明该轨迹是绿色轨迹，即。 球的匀速运动。 对于任何其他轨迹，无论它多么棘手，动作都将超过1/2。

在数学中，对一定数量的每个函数的这种比较称为函数。 在物理学和数学中经常出现类似我们这样的任务，即 找到一个特定功能的价值最小的功能。 例如，对数学发展具有重大历史意义的任务之一就是单反方差问题。 即 找到一条曲线，使球滚动得最快。 同样，每个曲线都可以由函数h（x）表示，并且可以为每个函数分配一个数字，在这种情况下为滚球时间。 同样，问题归结为找到功能值最小的功能。 处理此类问题的数学领域称为变异演算。

最少行动原则

在上面讨论的示例中，我们有两种以两种不同方式获得的特殊轨迹。

第一轨迹是根据物理定律获得的，并且对应于自由球的真实轨迹，该轨迹不受任何力的影响，并且其边界条件以形式1）和2）给出。

从找到具有给定边界条件1）和2）的轨迹的数学问题中获得第二轨迹，对于该轨迹，作用最小。

最小作用原理指出，这两个轨迹必须重合。 换句话说，如果已知球以满足边界条件1）和2）的方式运动，则与具有相同边界条件的任何其他路径相比，球必定沿其作用最小的路径运动。

有人可能会认为这仅仅是巧合。 存在许多出现均匀轨迹和直线的问题。 但是，最小作用原理是一个非常通用的原理，在其他情况下（例如，球在均匀重力场中的运动）也有效。 为此，您只需要用动能和势能之差替换动能即可。 这种差异称为拉格朗日函数或拉格朗日函数，并且该作用现在等于总累加的拉格朗日。 实际上，Lagrange函数包含有关系统动态特性的所有必要信息。

如果我们在均匀的重力场中发射一个球使其通过一个点 $$在时间 $$$t_A$ 飞到了那个地步 $$$B$ 在时间 $$$t_B$ ，然后根据牛顿定律，他将飞抛物线。 正是这种抛物线与将使动作最小化的轨迹重合。

因此，对于在势场中（例如在地球的重力场中）运动的物体，拉格朗日函数等于： $$ 。 动能 $$$T$ 取决于身体的速度和潜力-取决于其位置，即 座标 $$$x，y，z$ 。 在分析力学中，确定系统位置的整套坐标通常用一个字母表示 $$$q$ 。 对于在重力场中自由移动的球， $$$q$ 表示坐标 $$$x$ ， $$$y$ 和 $$$z$ 。

为了指示数量的变化率，在物理学中，他们经常只是简单地终止该数量。 举个例子 $$$\点x$ 表示坐标的变化率 $$$x$ 或换句话说，身体在方向上的速度 $$$x$ 。 使用这些约定，我们的球在分析力学中的速度表示为 $$$\点q$ 。 即 $$$\点q$ 平均速度分量 $$$v_x，v_y，v_z$ 。

由于拉格朗日函数取决于速度和坐标，因此它也可以明确取决于时间（明确取决于时间意味着该值 $$$L$ 在不同的时间点，不同的位置，以相同的速度和球的位置），则一般形式的动作写为

$$

$$S = \ int \ limits_ {t_A} ^ {t_B} L（\点q，q，t）dt$$

并不总是最小的

但是，在上一部分的最后，我们看了一个示例，其中最少采取行动的原则显然行不通。 为此，我们再次拿起不受任何力影响的自由球，并在其旁边放置一个弹簧墙。
我们设置边界条件，使点 $$和 $$$B$ 匹配。 即 并在时间 $$$t_A$ 并在时间 $$$t_B$ 球应该在同一点 $$。 可能的轨迹之一是球在原地站立。 即 之间的所有时间 $$$t_A$ 和 $$$t_B$ 他会站在一个点上 $$。 在这种情况下，动能和势能将等于零，因此，这种轨迹的作用也将等于零。

严格来说，势能可以不等于零，而可以取任意数量，因为空间不同点的势能差很重要。 但是，势能值的变化不会影响以最小的动作寻找轨迹。 只是对于所有轨迹，动作的值将改变相同的数字，并且动作最少的轨迹将保持动作最少的轨迹。 为了方便起见，对于我们的球，我们将选择等于零的势能。

具有相同边界条件的另一种可能的物理轨迹是球首先向右飞行并经过一个点的轨迹 $$在时间 $$$t_A$ 。 然后他与弹簧碰撞，压缩弹簧，弹簧拉直，将球推回，然后他再次飞过该点 $$。 您可以选择球的速度，使其从墙壁上弹起，飞出一点 $$就在此刻 $$$t_B$ 。 该轨迹的作用基本上等于点之间飞行期间的累积动能 $$和墙壁和背部。 当球压缩弹簧并且其势能增加时，将有一段时间，并且在这段时间内势能将对动作产生负面影响。 但是这样的时间段不会很大，并且动作也不会大大减少。



该图显示了球在物理上可能的轨迹。 绿色的路径对应于静止的球，而蓝色的路径对应于从弹簧壁弹起的球。

但是，只有其中一个影响最小，即第一个！ 第二轨迹具有更多作用。 事实证明，在这个问题上，存在两种物理上可能的轨迹，只有一种轨迹具有最小的作用。 即 在这种情况下，最小行动原则不起作用。

固定点

要了解这里发生的事情，让我们暂时偏离最少行动的原则，并继续使用通常的功能。 让我们来做一些功能 $$$y（x）$ 并制定她的时间表：

在图表上，我用绿色标记了四个特殊点。 这些要点有什么共同点？ 想象一下，功能图是一个可以在其上滚动的真实幻灯片。 四个标记点的特殊之处在于，如果您恰好在此时安装球，球将不会滚动到任何地方。 在其他所有点（例如E点），他将无法保持原位并开始下滑。 这些点称为固定点。 查找此类点是一项有用的任务，因为该功能的任何最大值或最小值（如果没有明显的纠结）必须是固定点。

如果我们更准确地对这些点进行分类，则点A是函数的绝对最小值，即 其值小于任何其他函数值。 点B-既不是最大值也不是最小值，称为鞍点。 点C称为局部最大值，即 其中的值大于函数的相邻点处的值。 D点是一个局部最小值，即 其中的值小于函数的相邻点处的值。

这些点的搜索是通过一个称为数学分析的数学分支进行的。 换句话说，有时它称为无穷小分析，因为它知道如何处理无穷小数量。 从数学分析的角度来看，固定点具有一种特殊的属性，这正是由于它们具有发现性。 要了解此属性的含义，我们需要了解距这些点很小距离的函数的外观。 为此，我们用显微镜观察我们的观点。 该图显示了在不同放大倍数的各个点附近的函数外观。

可以看出，在很大的放大倍率下（即，在很小的偏差x处），静止点看起来完全相同，并且与非静止点有很大的不同。 很容易理解这种差异是什么：在固定点处函数的图形随着严格的增加而变成严格的水平线，在不平稳的函数处的函数变为倾斜的线。 这就是安装在固定点的球不会滚动的原因。

固定点上的函数的水平度可以用不同的方式表示：固定点上的函数几乎不随参数的很小变化而变化 $$$x$ ，甚至与论点本身相比。 该功能处于非平稳点，变化很小 $$$x$ 比例变化 $$$x$ 。 并且功能的角度越大，改变时功能变化越强 $$$x$ 。 实际上，随着大小的增加，该函数与所讨论点的图的切线越来越相似。

在严格的数学语言中，“功能实际上一点上都不会改变” $$$x_0$ 几乎没有变化 $$$x$ “是指功能变化与论证变化之比 $$$Δy/Δx$ 在趋向于0 $$$∆x$ 趋于0：

$$$$显示$$ \ lim_ {Δx\到0} \ frac {Δy（x_0）} {Δx} = \ lim_ {x \到0} \ frac {y（x_0 +Δx）-y（x_0） } {∆x} = 0 $$显示$$

对于非平稳点，该比率趋于非零数，该数字等于该点处函数的斜率。 在给定点，相同的数字称为函数的导数。 函数的导数显示函数在给定点附近变化的速度有多快，而其参数却有微小变化 $$$x$ 。 因此，固定点是函数的导数为0的点。

静止轨迹

与静止点类似，可以引入静止轨迹的概念。 回想一下，每个轨迹对应于某个动作值，即 一些数字。 然后可能存在这样的轨迹，即对于具有相同边界条件的接近其轨迹，相应的作用值实际上将与静止轨迹本身的作用没有区别。 这样的轨迹称为静止的。 换句话说，接近静止的任何轨迹将具有与该静止轨迹的作用相差很小的作用值。

同样，在数学语言中，“稍有不同”具有以下确切含义。 假设我们有一个功能 $$$S（x（t））$ 对于具有所需边界条件1）和2）的函数，即 $$$x（t_A）= A$ 和 $$$x（t_B）= B$ 。 假设轨迹 $$$x（t）$ -固定的。

我们可以执行其他任何功能 $$$克（吨）$ 这样在最后它取零值，即 $$$g（t_A）$ = $$$g（t_B）$ =0。也取变量 $$$ε$ 我们会做的越来越少。 这两个函数和变量 $$$ε$ 我们可以做第三个功能 $$$x'（t）= x（t）+εg（t）$ , $$$f'(t_A)=A$ 和 $$$f'(t_B)=B$ 。 $$$ε$ , $$$x'(t)$ , $$$x(t)$ 。

$$$ε$ $$$x'(t)$ $$$x(t)$ $$$ε$ 。 即

$$

$$\lim_{ε \to 0} \frac {S(x'(t))-S(x(t))}ε=\lim_{ε \to 0} \frac {S(x(t)+εg(t))-S(x(t))}ε = 0$$

$$$g(t)$ , $$$g(t_A)$ = $$$g(t_B)$ = 0.

(, , ) $$$δS$ 。 «» « ».

$$$δS=0$ 。

两位数学家-欧拉（Euler）和拉格朗日（Lagrange）找到了寻找平稳函数的方法（不仅针对最小作用原理，而且针对许多其他问题）。事实证明，其功能由类似于作用积分的积分表示的平稳函数必须满足一定的方程，现在称为Euler-Lagrange方程。

固定原理

轨迹作用最小的情况类似于功能作用最小的情况。为了使轨迹影响最小，它必须是固定轨迹。但是，并非所有静止轨迹都是作用最小的轨迹。例如，静止轨迹可以在局部具有最小的作用。即其作用将小于任何其他相邻轨迹的作用。但是，在遥远的某个地方，可能还有其他轨迹，其作用甚至会更少。

事实证明，实际物体不一定会以最少的动作沿轨迹移动。它们可以沿着更广泛的一组特殊轨迹（即静止轨迹）移动。即身体的真实轨迹将始终是固定的。因此，最小作用原理更正确地称为静止作用原理。但是，根据既定的传统，通常将其称为最小动作原理，这不仅意味着最小化，而且还暗示了轨迹的平稳性。

现在，我们可以用数学语言写下平稳动作的原理，就像通常在教科书中写的那样：

$$

$$δS=δ\int\limits_{t_A}^{t_B} L(\dot q,q,t)dt = 0$$

。

在这里 $$$q$是广义坐标，即 一组唯一地指定系统位置的变量。
$$$\dot q$ -广义坐标的变化率。
$$$L(\dot q,q,t)$ -拉格朗日函数，它取决于广义坐标，它们的速度以及可能的时间。
$$$S$ -取决于系统特定轨迹的动作（即 $$$q(t)$ ）

系统的真实轨迹是固定的，即 对他们来说，行动的变化$$$δS=0$ 。

如果我们回到带有球和弹性壁的示例，那么这种情况的说明现在变得非常简单。在给定球的边界条件的情况下$$$t_A$ 而在 $$$t_B$ 切入点 $$有两个静止轨迹。球确实可以沿着任何这些轨迹移动。为了明确选择其中一个轨迹，我们可以对球的运动施加附加条件。例如，说球应该从墙壁反弹。然后，唯一地确定轨迹。

从最小（更确切地说，是静止的）原理出发，会产生一些奇妙的后果，我们将在下一部分中进行讨论。