使用数学图表而非图表进行游戏

在此屏幕截图中，向您展示了一个看似普通的带有像素图形的游戏。 但是，并非一切都那么简单。

地球上的浮雕类似于正弦曲线，子弹看起来像x根的两个对称图。

实际上，您以一种或另一种方式在屏幕上看到的所有内容都与数学，数学曲线和图形有关。

背景知识

一次，在观看“ Numberphile”频道的视频时，我遇到了非常有趣的视频资料，名为“万事通” 。

在此视频中，介绍了Tapper的自指代公式 ，该公式具有一定的k值，从而在图表上重新创建了其图像。 该公式如下所示：

$$

$$\ frac {1} {2} <\ lfloor mod（\ lfloor \ frac {y} {17} \ rfloor 2 ^ {-17 \ lfloor x \ rfloor-mod（\ lfloor y \ rfloor，17）}，2 ）\ rfloor$$

这个公式使我很感兴趣，我有了一个主意：

“如果创建一个游戏，而不是使用存储在.png和.jpg格式的各种文件中的普通纹理，而是使用数学图形和曲线，该怎么办？”

在我看来，这个想法很有趣并且难以实现。

任务

我面临以下任务：

• 提出游戏的意义，游戏玩法
• 派生公式，其图形将是我需要的字符，项目符号，表面的轮廓
• 在游戏中实现所有这些

游戏玩法和游戏意义

在游戏开发过程中，游戏玩法和游戏含义发生了数次变化。 这是因为存在一些困难，尤其是在导出某些轮廓的公式时。 但总的来说，该游戏是关于一个孤独的飞碟，它绕着行星飞行，探索行星并杀死阻碍她前进的敌人。

公式及其在游戏中的后续实现

我将以下两段合并为一个小标题，因为在一个公式及其实现之间“跳过”是不现实的。

为了创建游戏，选择了c ++编程语言和SFML库来创建窗口并在它们上绘制一些东西。

由于我在学校学习，直到最近才发现正弦波是什么以及它的外观，因此在推导各种公式时遇到了很大的问题。 通常，这以简单的选择结束。

在文章的结尾，将有一个指向GitHub的链接，所有代码都发布在这里。 在本文中，将只给出一小段代码，以免乱码。

行星表面

对于行星表面，我得出以下公式：

$$

$$f（x）= | sin（x）|$$

一个相当简单的公式，但是在实现时，需要控制给定正弦曲线的高度和长度。 另外，为了避免凸凹的曲率，将x乘以π。 因此，最终代码如下所示：

int groundC = ceil(abs(sin(((i+1)*groundScale*M_PI)))*groundHeight); 

行星在太空中的纹理

行星的纹理由一个圆和一个图案组成。 该游戏有4个用于创建模式的公式以及12种具有不同模式的行星的纹理。 根据公式的“步骤”，创建各种模式。 同样，在生成行星时，会以伪随机方式将其设置为颜色，大小和空间位置。

项目符号

游戏中子弹的图像。 子弹被转动。

对于子弹，选择了一个非常简单的公式：

$$

$$\ sqrt {x}$$

该公式的图形反映在横坐标上。

主角

因此，我们得出了最复杂的公式。

我很难推断出主角的配方。 看起来像这样：

$$

$$\ sqrt {x ^ {\ frac {1} {2.8}} + x ^ {10.9-x ^ {9.3-x}}}-0.3$$

是的，这是一个非常弯曲，非常丑陋的公式。 但是主要的不是公式，主要的结果。

为了获得结果，首先，我只想沿着x轴移动一定的步伐，写下y坐标，然后连接所有这些点，从而获得我们的平板。 但是后来，我不小心采取了一个很小的步骤，除了两个最终连接的端点之外，我的整个盘子都非常漂亮。 结果，该板看起来像这样：



接下来，我们需要太空中主角的质感。 看起来像这样：



它基于一个圆。 主客舱使用以下公式制成：

$$

$$（x ^ {7-x}）^ {\ frac {0.8} {x}}$$

该公式的图形沿纵坐标轴镜像。

这是此公式在c ++中的外观：

 int x = round(pow(pow(i, 7 - i), 0.8 / i)); 

敌人及其产卵者

在图像的右边是一个蓝色的生成器，红色的对象是敌人。

Spauner是一个具有不同模式的普通行星。 此模式是公式的图形：

$$

$$sin（x）* x ^ {0.8}$$

敌人纹理公式：

$$

$$（x ^ {3-x}）^ {\ frac {1} {x}}$$

树木

我承认，我无法导出或选择用于创建树木轮廓的公式。 但是，为了不违反整个游戏的基本概念以及不使用任何.png和.jpg格式文件的规则，我使用了一个技巧。 我用分形创建树。


分形树的例子

您很可能会同意分形树本身看起来很无聊。 例如，如果添加一些随机性元素，则两个分支可能不一定会增长，但可能会增长3或1，或者根本不会增长。 同样，不可能到处都具有相同的倾斜角度。

当然，可以根据计算机滴答声制作一台普通的机器pseudorand ，但以下想法对我来说似乎更有趣：

“如果给每棵树一个特定的编号（种子），从中计算出影响树的参数的伪随机数怎么办？”

幸运的是，c ++有一个单独的伪随机数库。

结果，生成的树如下所示：



左侧是一棵种子13的树，右侧-22

生成这些树的代码是：

 Branch Branch::createNewBranch(Branch cur, Tree* parent, float angleMultiplier, int level) { Vector2f sp(cur.startPoint.x, cur.startPoint.y); float randomAngle = ((*parent).getRand() * 15) - 5; float t = cur.thickness * 0.75; float l = cur.length * 0.67; float a = cur.angle + 30*angleMultiplier + randomAngle; sp.y -= (cos((cur.angle-180)*3.1415926 / 180) * cur.length); sp.x += (sin((cur.angle-180)*3.1415926 / 180) * cur.length); Branch gen(sp, t, l, a, level); if (level > 0) { int count = 100 * (*parent).getRand(); if (count >= 25 && count < 80) { //     ,      && count < 80,        ,  . , -          20%  10%,  ,    count<90 (*parent).addBranch(gen.createNewBranch(gen, parent, 1, level - 1)); (*parent).addBranch(gen.createNewBranch(gen, parent, -1, level - 1)); } if (count >= 80) { //    ,    count >= 90 if (count % 2 == 0) { (*parent).addBranch(gen.createNewBranch(gen, parent, -1, level - 1)); } else { (*parent).addBranch(gen.createNewBranch(gen, parent, 1, level - 1)); } } } return gen; } 

注意事项 是的，我知道我“硬编码”了一些变量，但是请不要为此怪我。 我认为创建单独的常量变量没有任何意义，原则上，这只会影响创建新分支的机会。

一些代码

上面，我仅提供了用于生成纹理的代码。 在此字幕中，我将描述游戏本身的代码。 所有代码都在GitHub上，到项目的链接已结束。

播放器

播放器有两种不同的更新方法-spaceUpdate和planetUpdate。 因此，spaceUpdate在太空中时会更新播放器，planetUpdate –在行星上时。 在这个星球上，计算出玩家的加速度和速度。 取决于水平加速度，板的倾斜角度从30度变为-30度。 接近障碍物，玩家的速度下降。 对于x轴（0; mapSize.x）和y轴存在此类障碍。 对于y轴，情况要复杂一些。 有一个最小高度，其计算如下：取地球的最小高度，将其添加到正弦波的高度中，然后将树木的高度相加。 树的高度以非常简单的方式计算-分支的初始长度乘以在树的生成过程中执行的循环数。 没有上限-从上方飞出地图，玩家切换到spaceUpdate并绘制了空间。

SpaceUpdate的运行方式如下：计算玩家的加速度和速度。 接下来，计算玩家的旋转角度。 角度的计算方法如下：如果加速度为零，则相对于玩家的速度计算角度，如果不相对于加速度，则计算角度。 另外，在太空中，玩家可以射击。 射击发生如下-像子弹一样旋转创建子弹并将其添加到列表中。 更新太空玩家时，此列表中的每个项目符号也会更新。 渲染玩家时，也会绘制项目符号。 此外，在太空中，障碍变得更加复杂。 太空分为多个扇区，每个扇区共有4颗行星-1000000颗行星和25000个扇区。 每个扇区都有唯一的ID。 如果除以500时的余数等于0-则有一个左屏障，如果除以499的余数是对的，则如果除以500则结果为0-则存在较高的屏障，如果499是较高的屏障。 如果没有障碍，那么当玩家飞出框架时，将移动到相应的扇区。

空间篇

我已经概述了其中的大部分内容，但是仍然有些事情要做。 在每个空间区域中都有4颗行星。 当玩家按下E键时，如果他距离该星球半径一定距离，则玩家将移动到该星球。

敌人

敌人的AI非常愚蠢-如果在可见范围内有玩家，那么他们只会撞向敌人，并且有轻微的错误，因此他们的路径相当弯曲。 如果在可见范围内没有玩家，则将他们发送到其生成者。

扳手

在每个空间区域中都有1个生成器。 扳手的大小可以不同。 大小会影响播放器的可见性。 如果玩家在其可见区域内，则生成器每5秒创建一次敌人，但敌人数量不能超过10。

结论

花了大约一周的时间之后，我创建了一个不使用任何.png或.jpg文件的游戏。

链接到GitHub上的项目

对于那些懒得下载项目并运行游戏的人，请在游戏过程中播放一段简短的视频：