您能想象比宇宙还大但又静静地摆在您脑海中的事物吗？ 这是什么 无限！ Eugenia Cheng带领我们进行了一次了不起的数学之旅，以了解最神秘的数学抽象。 为什么有些数字无法计数？ 为什么无穷大+ 1与1+无穷大不同？ 我们将了解大酒店的悖论，我们将能够使用棋盘来养活70亿人，甚至可以从一块小（最终）的面团中得到无数的饼干。 所有这些将使我们能够理解和喜欢这种奇怪而神秘的抽象数学。 这本关于浩瀚无边的宇宙的不可思议的书令人着迷，并且引人入胜，展示了一个小的数学符号如何包含一个巨大的构想。
摘录。 无限小
我现在能看到的几件事与数学分析无关，这是我的办公桌。 该表早在数学分析出现之前就已存在，但是此特殊表是在宜家工厂制造的，该工厂在其生产中绝对准确地使用了数学分析。 我想说的是，对无穷大的研究在字面上和比喻上似乎是抽象的事物，在我们的世界之外（像我的一个朋友喜欢开玩笑地“比喻”），但最终它也使我们进行了数学分析，是我们生活中不可或缺的一部分。
所有这些的出发点是对“彼此无限接近”的对象的反思。 当我们在计算机上画一个圆或键入字母O时，它们看起来平滑且均匀。 但是，如果我们仔细观察图像，它们将变得像素化。 这是我计算机屏幕上更大范围的字母O。
我们看到有限数量的微小正方形伪装成一个圆圈。 我的电脑小心地锻造了一个圆圈；他添加了一些灰色的点。 计算机无法执行其他操作，因为它只能感知和处理有限数量和固定大小的单个点。
那我们的大脑呢？ 数学分析的含义是，原则上我们的大脑具有更大的能力：即使物体无限小，我们也可以感知和处理无限数量的物体。 这是我们现在将研究的主题。
我曾经在公园街的剑桥小学帮助过数学。 我不得不向两个六岁的孩子解释对称性。 首先，我要求他们在几个三角形上绘制对称线，然后在正方形上绘制，然后在五边形上绘制，然后在六角形上绘制对称线。 最有趣的是，其中一个孩子说：“我知道一个八面体有八个面，因为“八面体”一词看起来像章鱼。 最后，我给了他们一个圆圈。 其中一个人在圆上画了这样一条线：
更进一步，它变得更加有趣。 第一个孩子大叫：“有数百个！”，第二个孩子大叫：“有一百万个！”，之后第一个孩子说：“你一生都可以画这些线，你将永远无法完成！”，然后停顿一下，第二个孩子复活了铅笔，和他们一起画在整个圆圈上，说道：“看！ 我完成了！
我很困惑，但是被迫承认他们俩都是正确的。 您可以花费一生的时间在一个圆上绘制对称线，而且永远也不会完成，因为其中有无数个对称线。 实际上，它们是无止境的。 我们可以验证这一点。 想象一下，我们确定了对称线的运行位置，并设置了它与水平线所成的角度。
我们可以采用任何角度-从0到180°或以弧度为单位-从0到π的任何角度。 如果角度较大，则线条将重复已绘制的线条之一：
取0到180之间的任何实数，并且不必是整数或有理数。 我们已经知道，从0到180的实数不计其数。
我们在圆上会有无数对称线，但是如果您在整个圆上绘制，则实际上会在所有圆上绘制。 也许现在您以为这就像是一个骗局，因为真实的对称线应该在圆心中无限次相交，并且在我们的中心中无限多层铅笔。 但是，如果我们不注意中心，而只是简单地尝试标记沿圆形边缘沿对称线接触的点，那么沿圆形边缘绘制铅笔就足够了。 我们会以此方式画出无限多个点吗？ 这条线中将有无数的点吗？
如果是这样，它们相距多远？ 如果它们数量有限，那么多少呢？
无限除法
如果我们将线分成越来越多的段，则这些段将变得越来越小。 因此，我们可以将线划分为无限多个段吗？ 我想说的是，是否可以通过将其划分为无限来使事物无限小。
想象一下一个彩票，其中所有实数都可能掉出来。 彩票鼓中将有无数个球，但每个球都将指示一定数量的球。 在这种情况下，获胜的可能性将非常奇怪。 通常在英国的彩票中，有59个球中有6个掉出来。 大约有4500万种组合，所有这些组合的可能性均相同。 您获胜的机会是1：4,500万。 这是一个非常小的数字（大约0.00000002），但是不是0； 尽管在我看来，它非常接近0，实际上可以认为是0。如果再将其乘以可能的组合总数（4,500万），您将得到1，这是绝对正确的，因为如果您购买，这将是获胜的概率所有彩票。
无限彩票有无限数量的组合，因此您赢取机会是“ 1到无限”。 如何用分数表达？ 答案不能大于0，因为如果大于0，则将其再次乘以可能结果的总数（无穷大），我们得到的数字将大于1。这是否意味着获胜的概率为0？ 但是，有人每次都能真正赢得胜利。 您可以正确地注意到，在实践中这样的彩票是不可能的，但是您的这种说法并不能消除这种矛盾。 一切都与希尔伯特酒店完全相同：这样的酒店不存在这一事实并不能消除这一悖论。
我们再次回到寻找无限的第一次尝试中，认为
我们知道，如果我们尝试将两边都乘以0，那么这样的方程式就会引起矛盾。但是现在我们要说被无穷大除以0或
现在我们已经对无穷大有了更多的了解，并立即发现该方程式有问题。 这里的问题是，我们尝试找到无穷大的方法（即使用无限的对象集）并不意味着被无穷大除法。 在这种情况下，正确的数学答案应该是：“那么，让我们尝试！ 如果我们还没有这样做，那并不意味着那是不可能的。”
让我们尝试做与减法完全相同的操作。 让我们回到想法，周围的一切都是众多的对象。 这就像指望计数棒一样：您不能将计数棒折成两半（这让很多孩子感到沮丧）。 如果我们采用很多自然数，那么我们就不能部分减少它。
记住，当我们尝试通过无穷表示减法时，我们回想起孩子们的推理：6-3表示“我应该从3数到6再数多少”。 换句话说，我们解决了这个方程：3 + x = 6。
现在让我们以6：3为例。我们可以用两种不同的方式来看6：3。
- 3适合6多少次？ 换句话说，我必须自己加3才能得到6次？ 等于求解此方程式：3×x = 6。
- 哪一个数字恰好是三乘6？ 换句话说，我可以三倍加到自己的数字中得到6？ 与求解此方程式相同：x×3 = 6。
在这两种情况下，答案都是2，因为如果我们谈论有限数，则这些公式无关紧要。 但是我们已经知道无限远并不是那么简单。 例如，将3无限次相加与将3无限次相加不相同。 即3×ω≠ω×3。
让我们问自己一个问题：“为了获得ω，我必须加多少次3？” 答案：ω。 想象一下，您又变成了一个在队列中分发撕票的人。 每人3人一组。 多少人一组3人应该结束您无休止的门票？ 答案：ω。 您将无休止地继续向每个组发行3张票。
另一方面，如果我们看：“我可以加多少次3次才能得到ω？”，那么在这种情况下，没有可能的答案。 如果将3个有限数字加在一起，答案将始终是有限的。 如果将3个无穷大加在一起，则每个无穷大至少等于ω（因为ω是最小的无穷大），而它们加在一起甚至更大，就像“无穷大又有一天”。 我们可以再次以撕票的例子来考虑这一点。 如果一辆无限满载的公交车到了，那么您将（至少）将其无休止的所有撕票捆绑在乘客身上。 如果在这之后又出现了一辆无限满载的公共汽车，那么您将被迫打包不同颜色的票子。
这两个问题都是试图“将无穷大分为3”，但是它们给了我们不同的答案。 这证明了，与乘法一样，除法在无穷大时也不是最佳的解决方案，即使它只是被一个有限的小数所除。 相反，如果我们尝试将某物划分为无穷大，那么一切都会变得更糟。 假设我们要执行以下操作：
。 然后，我们将有两个选择。 第一：我们必须将ω加多少才能得到1？ 这显然是不可能的，因为ω太大。 第二种选择：我们可以将ω的多少加到ω上？ 再说一次，这绝对是不可能的。
尽管有上述所有内容，但实际上似乎是1除以无穷大应该等于0。这个陈述是否可以合理回答上述问题？ 如果将ω加到自己0次，我们什么也没得到，所以这个动作毫无意义。 就像有0辆无限制的完整巴士一样，对于它们来说，您根本不需要撕票。 至于第二个问题：“我们可以将自己的ω次加0来得到1吗？”，那么一切都将像0人无数次排队一样。 您再也不需要任何可撕票。
在这里，我们可以放弃说：“好吧，所以
“这不为零。” 还是尝试像数学家一样说：“所有这一切看起来似乎都是合理的，如果我们的推理不是基于无限集的话，也许我们可以赋予它其他一些数学意义？” 数学的任务之一是采取直觉上似乎正确的事情，并给出准确的逻辑解释。 我们决不能轻易放弃！
无限的另一面
也许现在您在问自己一个问题，为什么我们不能只想出一个无限小的且不等于0的东西，因为在我之前说过，我们可以通过思考抽象事物来创建抽象事物。 数学家已经尝试使用这种方法，尽管它似乎毫无意义（就像无限性的概念一样，在您开始深入研究它之前，它也似乎毫无意义）。 就像无限的另一面。 无穷大大于任何数，无穷小值小于任何数。 如果您向自己添加无穷大，您将收到无穷大；如果您向自己添加无穷小值，您将再次获得无穷小值。 而且，如果将无穷大乘以无穷小，您将得到1，如有关中奖概率的示例所示。
这种方法引起了与我们先前的“发明”无限相同的问题。 当我们想对“无穷大”概念进行清晰的定义时，在这里有必要像以前那样以特殊的准确性或更熟练地采取行动，但是由于问题经常出现，因此尝试解决这些问题会更加优雅。 如果在行走过程中发现一个大的脏水坑，那么您可以踩在它上面，希望鞋子不会被弄湿，或者设法避开它。 （当然，有些人，特别是孩子，喜欢踩在水坑的中央。在数学上，这也是发生的。）
这是如何仔细规避无穷除法的方法。 想象一下，您需要将巧克力蛋糕分成几个人。 如果将其分成两部分，那么每个人都会受益匪浅。 如果您将其除以三，那么每个人仍然可以得到很多收益，但是比第一种情况少。 如果这是四个人，他们将得到的甚至更少。 人越多，他们每个人得到的蛋糕就越少。 如果人数真的增加了，试图为每个人分享一个不幸的蛋糕将是愚蠢的。 您是否曾经尝试过将蛋糕分成一百个人？ （婚礼蛋糕通常由几层组成，基本上是分开的蛋糕。）大约一千个人呢？ 一百万？ 在某个时刻，当人数过多时，每个人都会得到很小的一块，实际上这是微不足道的，几乎没有。
如果我们有一百万人只有一个蛋糕，那么从技术上讲，每个人都会得到自己的一块-可能，这将是数十亿个蛋糕分子。 但是从表面上看，蛋糕的数量将几乎等于0，并且随着人数的增加，蛋糕的数量将越来越趋向于0。因此，我们给数学上的意义是无穷除以0。实际上，我们绝不除以无穷（因此没有常识）。 让我们回到第11章中提到的示例，当事物趋于无穷大时。 我们试图除以趋于无穷大的结果，发现答案也趋向于0。也许现在有些明智的选择会带来一个显微镜，并说他们仍然在盘子上看到一些蛋糕。 但是我们总是可以多分享一点，蛋糕将不再可见。 这并不意味着1除以无穷大就是0，但是这些参数为我们的直观猜测提供了一种数学解释，而这是整个现代数学分析的开始。
芝诺悖论
数学分析起源于古代。 两千多年前，希腊哲学家泽农（Zenon）提出了一个问题，即事物如何由无限数量的无穷小部分组成。 与希尔伯特（Hilbert）一样，几千年后，芝诺（Zeno）研究了悖论，证明必须非常小心地处理无数个物体。
芝诺（Zeno）的一个悖论类似于孩子对巧克力蛋糕的思考：如果我吃了剩下的一半，剩下的一半，依此类推，那么我只会吃剩下的一半，然后吃蛋糕会变得无尽吗？
芝诺（Zeno）将这种悖论表述为：如果要从A点到达B点，则必须首先克服一半的距离。 然后，您必须走剩余距离的一半。 之后，您将必须走一半新的剩余距离，依此类推。 您经常只走剩余距离的一半。
在每个阶段之后，总有一半的距离，并且您始终只能走剩下的一半。 这是否意味着您将永远无法到达这个地方？
数学家非常喜欢从已经研究过的旧概念中创建新概念。
让我们回到已过去的自然数无穷大。我们说过，我们需要克服整个距离的一半，然后是四分之一，然后是八分之一，然后是十六分之一，依此类推。众所周知，自然数是无限不断的。假设我们需要走一英里。然后，我们可以区分路径的以下阶段：我们有n个无穷个数，这意味着路径中将有无数个阶段。我们不能指定每个阶段的长度，但是可以用一般形式编写：为此，我们应用了一个变量为n的公式。但是，如果我们无法记录每个阶段的长度，是否可以完成每个阶段？答案应该是：是的，因为完成这条路对我们每个人都是很正常的。通常，我们会完成我们的路径，甚至是最短的路径，并且每天都要这样做。 （我并不是每天都离开家，但有时我在一小时内设法几次去冰箱。）在也由芝诺（Zeno）提出的类似悖论中，我们谈论的是从A点到B点竞速的阿喀琉斯和乌龟。乌龟被允许首先开始移动，例如在A1点，但是它移动得非常慢，因为它是乌龟！并且阿喀琉斯必须首先跑到乌龟起点的地方。在此期间，乌龟会走得更远，例如指向A2点。现在，阿喀琉斯必须达到这一点。在他这样做的同时，乌龟通过了更多一点，例如指向A3点。现在，阿喀琉斯应该已经到达A3了，在此期间，乌龟爬行到了A4点。每当我们最后一次查看比赛状态时，阿奇里斯到达龟所在的地方时，龟就会走得更远。这是否意味着乌龟会赢得比赛？这两个悖论都是基于完全逻辑的证据，得出荒谬的结论。通常我们很有能力到达目的地。很明显，如果Usain Bolt与乌龟进行比赛，他将赢得比赛。这些悖论的含义不是检测我们现实中的错误，而是检测我们论证逻辑中的错误。这种悖论与希尔伯特酒店悖论不同，后者虽然可以填补，但仍然能够容纳新来者。在其中，结论听起来很荒谬，因为我们对无尽酒店的直觉想法并不完全正确。, , ; , , . , , , , , .
在这两种情况下，悖论的本质都是证明当我们开始考虑无限时出现的奇怪之处：在希尔伯特酒店悖论中，我们正在处理无限大的物体，而在芝诺悖论中则在处理无限小物体。在关于希尔伯特酒店的悖论中，我们面临着物体无限出现的问题，在现实生活中这种物体是不会发生的，无论是鞋子，袜子，撕票还是酒店房间。在芝诺（Zeno）的悖论中，如果我们承认物体同时变得无限小，那么在我们看来物体就无休止地出现了。它们不能无限小，因为我们不知道这实际上意味着什么。但是它们可以变得无限小。每天我们遇到无穷无尽的物体，有时甚至都不知道，也不必知道。无限数量的无穷小物体
在从点A到点B的悖论中，我们设法到达目的地，这意味着我们能够克服无数段路径。但是，这仅是可能的，因为这些细分越来越小，我们在每个细分上花费的时间也越来越小。而且，这是在现实世界中发生的，而不是在希尔伯特的梦幻世界中发生的，在希尔伯特的梦幻世界中，我们以某种方式有足够的时间来填满无限数量的酒店客房或提供无限数量的可撕票。在现实生活中，我们每天可以做无限多的事情，但前提是我们花在每个事情上的时间都非常短。例如，想象一下您需要步行一英里到火车站。假设您以每小时4英里的恒定速度行驶。因此，这需要您15分钟。但是芝诺悖论在说什么呢？- 首先，您必须走前半英里，这将花费您7.5分钟。
- 然后，您将必须走下一个四分之一英里，这将花费您3.75分钟。
- 接下来，您将必须走八分之一英里，这将花费您1,875分钟。
- 之后，您将必须走一英里的十六分之一，这将花费您0.9375分钟。
- ...
您必须遍历路径的所有这些无限减少的部分，但是这需要您无限减少的时间量。到达火车站时，您将经过几小段路？答：无限多个；如果您在旅程的每个终点之后都停下来，那么总会有更多。显然，这是弄清楚到达火车站要花多长时间的绝对荒谬方式，尤其是因为在某个时刻，您仍然必须走的一小段距离将变得不到一英尺。但是，对我们来说，这是一个重要的思想实验，它证明了以下内容：在我们看来，如果这些对象不断变得越来越小，我们可以添加无限多个对象并获得最终结果。在现实世界中，我们不能发行无限数量的可撕票，因为所有可撕票的大小均相同。但是，即使它们变得越来越小，我们仍然需要一定时间和单独的时间来发行每张票，所以我们真的不能这样做。即使我们的“叮咬”变得无穷小，我们也不能无限地咬掉一块巧克力蛋糕，因为到嘴的距离将始终相同。 （虽然我们可以同时减少到嘴的距离，但最终它会以下巴和蛋糕一起放在盘子上。）这里有两个难题。在什么情况下堆叠无限数量的微小物体有意义？在这种情况下，我们如何计算答案？这个问题困扰着数千年来的数学家，随着数学分析的到来，这个问题终于在19世纪得以解决。我们将在下一章中返回到它。»这本书的更多信息可以
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