为什么哥德尔的不完全性定理很难证明：问题在于公式，而不仅仅是本质

粗略地说，哥德尔的不完备性定理指出，存在无法证明的真实数学陈述。 当我11年级的时候，我们三个人和几何老师奥尔森先生以及我的朋友乌玛·罗伊（Uma Roy）花了五个星期的时间阅读了哥德尔的原始证明。 为什么这么久？ 部分原因是我们还是小学生。 部分原因是24岁的哥德尔不是最有才华的作家。 但主要是因为证据实际上相当困难。

这似乎令人惊讶，因为实际上所有证据都可以放在一个段落中。 哥德尔从构造基本上等同于句子的数学陈述开始，

该说法无法证明。

然后，戈德尔（Godel）考虑如果该陈述为假，将会发生什么。 也就是说，如果可以证明这一说法。 但是任何可以证明的陈述都必须是真实的-这是一个矛盾。 由此，哥德尔得出结论，该陈述必须是正确的。 但是，由于该陈述是正确的，因此不能证明该陈述。 请注意，此最终声明并非矛盾。 相反，这就是哥德尔定理的证明。

那么，为什么真正的证据如此复杂？ 诀窍在于，听起来听起来像是英语中的有效数学陈述的事实通常并非如此（尤其是当句子提及自身时）。 例如，考虑以下句子：

这句话是错误的。

句子是没有意义的：它不能为假（因为它将使它为真），也不能为真（因为它将使它成为假）。 当然，它不能以正式的数学陈述形式编写。

这是另一个示例（称为Berry悖论）：

将{x}定义为不能用少于100个字描述的最小正整数。

这看起来像是有效的数学定义。 但是话又说回来，这没有任何意义。 而且，这对于数学的理智性很重要，因此不能正式地（即在数学上）编写类似的陈述。

即使是数学语言的陈述也可能毫无意义：

$$

$$S = \ {A \ mid A \ not \ in A \}$$

（即 $$$S$是很多套 $$本身不是元素）。

这又是一个毫无意义的定义（称为罗素悖论）。 特别是，一旦我们确定了 $$$S$我们可以问是否 $$$S$你自己 如果是这样的话 $$$S$不能成为会员 $$$S$-矛盾； 如果没有的话 $$$S$将成为会员 $$$S$-再一次矛盾。

这三个示例的含义是，如果您想证明关于数学语句的定理，则应非常注意实际上是在运行数学语句的事实。 的确，从最初的46个定义到最后的令人惊讶的可靠证据，Gödel的原始文章无非是谨慎行事。