心灵与数学的秘密

在古埃及，数学家没有使用证据。 他们所有的陈述仅凭经验证明。 然而，金字塔屹立着， 飞机飞了起来 。 而且，如果不是为了反驳某件事，可能没有人会要求严格的证据。 数学与希腊人一起找到了新的生活，其中出现了诸如修圆，取二的根不合理以及出现三等分的问题。 从那时起，就需要公理，逻辑定律和定理。 但是现代数学也对可能证明和不可能证明感兴趣。 哥德尔不完备性定理，逻辑形式化和证据理论得到了发展 。 我提出了一种理论和一个公理，它将帮助回答一些尚存的问题并概述我们意识的边界。 特别是这些是完整性问题，平等问题和我们的想象的公理化。



物论
数学逻辑研究语句之间的联系，但不研究其内部结构。 但是，让我们尝试将语句本身形式化。 假设我们有一些对象。 我们不会要求设置它们或其他任何东西。 现在，为任何有序对象对提供第三个对象，即它们的“互连”。 我们将这样写：

$$

$$a * b = ab = c; *：（a，b）\ mapsto c$$

可以将生成的结构定义为岩浆（具有二进制运算的集合），但不能定义为某个集合，而是完全任意的。 现在，我们将陈述定义为给定岩浆中的代数相等（或不等式）。
现在，我将解释这个定义如何准确反映话语的内部结构。 例如，让我们得到以下语句：
记号笔可以将木板涂成蓝色。
我们将其写为平等：
$$$M * D = SD$ -应用标记（ $$$M$ ） $$$D$ ），我们得到了一块蓝板（ $$$镉$ ）
现在是一个更复杂的示例：
一个男人在街上的雨中奔跑。

$$

$$\开始{cases} Man * Run = Do; \\人*雨=位于“下”； \\街道*男人=在\自己身上有\。 \ end {cases}$$

在这里值得注意的是，“要做”，“自己拥有”也是对象。 这样的系统准确地定义了我们的陈述。 当然，这样的设计可能看起来很疯狂而且不舒服，但是只有这样的展示形式对我们来说很重要。 此外，将有更多实质性的例子。

您可能已经注意到，除了与其他对象的某种连接之外，我们不需要对象提供任何东西。 没错。 例如，字典中的所有定义都作为到其他单词的链接给出。 点和直线是不确定的概念，但是定义了它们的所有互连。 这使我们想到了一个重要的思想。
任何公理系统都是通过对象的关系来定义的。 例如，如果有成对的此类对象彼此相对，它们的行为与带有点的直线完全相同，则它们将成对出现。 最简单的示例是一组集合，其中的元素是点。 任何两个集合的交集可以是单个元素，也可以是空集合。 并让任何三个元素唯一地定义整个集合，依此类推。 也就是说，如果我只是重命名对象，那么什么都不会改变。
公理学是岩浆。

我们不要求在集合上赋予岩浆，因为没有所有集合的集合：

$$

$$\＃2 ^ {X}> \＃X$$

我们说公理学如果没有对象就矛盾 ，而如果至少有一个对象则是一致的 。
为方便起见，我们获得的定义称为对象理论或经典对象理论 。

想像力
由于对象理论也是公理学，因此可以用它自己的对象语言来描述。 也就是说，我们想描述各种公理学中的各种对象。 不严格地说，我们需要对人的想象力进行数学描述。 我为此提出以下单一公理：

$$

$$\ forall（x）_i，（y）_i，（x'）_ j，（y'）_ j，z \ \存在x \ \ forall i \在I，j \ in J \开始{cases} xx_i = y_i \\ x'_jx = y'_j \\ xx = z \结束{cases}$$

可以将其描述为“您可以想象的一切”。 请注意，我们不需要至少存在一个对象。 这样做是为了使公理一致性等同于至少一个对象的存在。 现在我们证明几个定理：
定理1.对象的理论要么是空集，要么不是空集。

定理2。对于某个对象，不确定它是否是集合。

第二个定理的结果是连续统假设。 它可以重新定义为：一个集合是对象的幂大于可数集合的幂但小于连续集吗？
如果有许多对象，我们称公理学为小，如果没有，则为大 。
定理3.任何大的公理学都是不完整的。

这将我们引向人类意识的界限。 总会有我们无法证明或反驳的陈述。 事实证明，这是康托尔悖论的结果。 戈德尔定理就是一个特殊的例子。 从这里可以得出客体理论的不完整。 我们不能确定是什么是对象，什么不是。 例如，无法打破的盾牌是物体吗？ 而能破坏一切的剑？ 但是，它们不能一起存在。 做出这样的选择后，您必须一次又一次地做出选择。
命名两个对象 $$$x$ 和 $$$y$ 等于 ：
$$$\ forall z \ xz = yz \ wedge zx = zy$
并等于许多 $$$X$ 如果：
$$$\ forall z \ in X \ xz = yz \ wedge zx = zy$
给出两个对象。 分割两个对象 $$$x$ 和 $$$y$ 称这样的对象 $$$z$ 那：

$$

$$zx \ neq zy \ vee xz \ neq yz$$

由于任何两个对象形成一个集合，因此存在任何两个对象的分裂。 因此：
定理4.不存在相等的对象。
很难说在数学中没有平等，只有同构。
例如，假设有两个双胞胎长得一模一样。 对于从街上带走的许多人来说，这是同一个人，只是一个副本。 但是对于母亲来说，这是两个不同的人。 因此，就人而言，他们是平等的，但就母亲而言，则不平等。 我们只能说双胞胎对人类是同构的，但并不相等。 结合定理4，可以得出非常矛盾的结果。 让我们给一些对象 $$。 而且我们至少希望 $$$A = A$ 。 但是让我们给对象 $$为了方便起见，也叫 $$$A’$ ，只是一个名称。 那一定是 $$$A = A’$ 。 但是现在我可以将这些对象视为两个不同的对象并找到它们的分裂。 也就是说，自相矛盾的是，但A不等于自身。 也就是说，在对象理论中没有关于对象的单一真实陈述。
的确，整个观点是我们不能明确地说出我们要记住哪个对象。 我们只能为特定集合设置一个对象，但是无限多个这样的对象。 而且，有不止一个数目。 因此，谈到对象A，我们的意思是，我们想到哪个对象具有我们需要的属性。 但是对于任何对象，我们都可以提出一种可以区分它们的属性。 例如：名称，描述长度，形式，位置等。 但是，一般来讲，这并不意味着我们不能选择任意对象或其分解。

应用意义
如果公理集的陈述（等式和不等式）是可枚举的，则称其为可枚举的 。 根据定义，对于枚举公理学，有一种算法可以自动证明定理并制定新的定理。 而且，根据我们对语句的定义，这样的算法将与使用某些代数结构的算法相同。 这种解释可能实现了一个长期存在的梦想，那就是使数学家免于发明证据。

外星人的思维

范畴论有一个范畴 $$$\ mathfrak {SET}$ 。 此类别的对象是集合。 这意味着范畴论具有 $$$\ mathfrak {SET}$ 不能用经典的物体理论的语言来表述，因为它可以处理比许多物体大的物体集合（ $$$\ mathfrak {SET}$ -大类）。 但是要解决此问题，足以建立超集理论。 让一个超集由元素或集组成。 然后是一个包含所有集合的超集合。 现在，将想象力公理中的集合概念替换为超集合的概念，我们获得了预期的结果。 在获得的对象理论中，我们已经能够唯一确定集合的概念。 由于不存在包含所有超集合的超集合，因此可以在两个方向上多次进行这样的过程。 这导致了另类对象理论的出现。 但这还没有结束。
范畴论的一个领域是Topos理论。 她描述了其中包含元素和“位于”概念的所有此类空间。 一个典型的例子是经典集合论。 同样，众所周知，任何集合论都唯一地定义了一些逻辑。 因此，主题还描述了各种逻辑。 现在，如果我们再看一下想象力的公理，我们会在其中注意到我们“本机”主题的痕迹。 “躺在”的概念： $$$\ forall i \在I，j \在J$ ”，而二进制逻辑就在于相等的概念。毕竟，或者 $$$A = B$ 或 $$$A \ neq B$ 。
从理论上讲，我们可以将对象理论重新定义为任何其他主题，从而以自己的规律为我们获得一个不寻常的世界。 托普斯理论的一个事实是连续性假设的独立性。 即，该问题还存在其他危险。 显然，几乎所有东西在那里都会有相似的外观。 但是，可能会遇到重大分歧，从而将我们推向新的想法。

结论
我们的研究结果是：逻辑陈述的内部结构形式化，想象公理，客体理论和四个定理。 后者断言在数学上没有全局等式，大型公理学的不完备性，以及一些先前已知的结果的推导和它们的简单推导（Continuum假设和Godel定理）。 对逻辑语句结构的描述也具有一定的含义，这使理解句子的含义更加方便，将它们分解为代数相等的系统。 进一步的发展涉及寻找将完成大公理学的逻辑（topos）。 这将为所有数学（所有理论）的统一公理化提供机会。

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