关于物理理论的几句话，近似于现实世界

前言

我决定写一篇简短的文章，在与称为非相对论物理学的理论进行比较的背景下，考察一些物理理论的发展水平（以我的理解水平）。

首先，我想指出的是，我将古典非相对论物理学作为理论物理学的一部分，它是由拉格朗日 ， 汉密尔顿在十八世纪下半叶（十九世纪上半叶）创建的，后来在十九世纪由其他物理学家扩展了（我没有提及这些物理学家的名字）。可能有助于将这一理论及其数学工具带入现代化的视野，包括俄罗斯帝国的原住民）。

古典非相对论力学和引力理论

I. Newton奠定了古典力学的基础，他在“自然哲学的数学原理”（出版年-1687）中制定了他的“三定律”，尽管应该提及G. Galilei在1632年提出的相对论（我也使用出版年）。

在最简单的情况下，我们可以说牛顿的力学（如拉格朗日和汉密尔顿）可以表示为：

$$

$$\ frac {dp} {dt} = F，$$

在通常情况下，其中p是动量-所谓的“广义动量”，而F是力。 在没有磁场的情况下（这里我不再提及弱相互作用或强相互作用），该力可能是保守的。 一种被称为保守力的力，其在任何轨迹上的作用都不取决于轨迹的形状和运动速度（这包括对相对论动力学的引用，实际上证明了“保守力”的概念在SR中不存在）。

对于保守势力，上述法律可以改写为

$$

$$\ frac {dp} {dt} =-\ frac {\部分U（x）} {\部分x}，$$

其中x是广义坐标， p是相应的广义动量。

“ 2牛顿定律”的类似表述更为笼统，因为它是通过写拉格朗日方程或汉密尔顿方程获得的。 拉格朗日方程和汉密尔顿方程是根据最小作用原理导出的。 一个动作是一个具有J * s维度的积分，它是在2个系统配置（即，坐标集和动量（x，p））之间进行的。 在一般情况下，对于经典力学的不同方法，它以不同的方式表示。

如果我们谈论经典的重力理论，那么它是以牛顿重力定律的形式表达的（通过力，但也可以通过势能来写）

$$

$$F = G \ frac {mM} {r ^ 2}，$$

力沿吸引体的方向作用（这与重力不同，引力与电场产生相同电荷的排斥力）。

通过势能的引力定律的表达可以用最简单的短语表示：

每当粒子（粒子系统）沿着其轨迹移动时，动能T（v）和势能U（ r ）的总和保持恒定。
从此定律中，您可以得到最简单的等式：

$$

$${\ frac {m} {2} \左（\ frac {dr} {dt} \ right）^ 2} + U（r）= E$$

在这种情况下，如果我们能够将问题简化为一维坐标r （这两个物体的质心之间的距离），则可以通过积分写下问题的解：

$$

$${\左（\ frac {dr} {dt} \ right）^ 2} = {\ frac {m} {2}}（E-U（r））$$

下一个解决方法是扎根，然后得到具有可分离变量的最简单微分方程。 这里有两个问题：

1. 在任意势U （ r ）的一般情况下，我们可能根本无法采用该积分。
2. 代替通常的问题r = r （ t ）解，我们得到了t = t （ r ）解。

在本节的最后，我想补充一点，在爱因斯坦在19世纪下半叶创立相对论的形式之前，马克斯韦尔（J. Maxwell）概括了电场和磁场定律（它们在35年前就开始制定了，但分别制定）。 在此之前，这种理论是书面的。 公式，作为洛伦兹力的公式。


洛伦兹力（除以粒子的电荷）在这里很有趣，因为它实质上是对于速度v的 “以速度v运动的粒子的参考系中的电场强度E ”的概念，它的速度远低于光速。

狭义相对论

狭义相对论（SRT）由H. Lorentz，A。Poincare和A. Einstein于1892-1905年创立。 描述惯性参考系统（ISO），严格来说，一旦参考系统不再是惯性的（系统的运动性质不再是统一和直接的），就会立即违反其假设。 在量子场论中（据我愚拙的理解），这样的“定律”起作用，即在CO处于非惯性运动状态后，即使在将来进行匀速和直线运动时，以下提到的第一个假设也将完全不满足。
可能每个人都记得SRT的假设，从中得出了Lorentz变换，但我将其表述为：

1. 所有物理定律的表述都不取决于系统是静止的还是匀速直线运动的 。
2. 电磁波相位相对于过渡到另一个ISO的不变性，也称为维持两个事件之间的间隔的平方 。

在需要进一步考虑的公式中，我将提及以下内容：

$$

$$E ^ 2 =（pc）^ 2 +（mc ^ 2）^ 2 \：\：\：（1）$$

它描述了粒子能量，动量和静止质量之间的关系。

SRT的后果之一是静止质量大于0的粒子无法达到光速，尽管能量仍可以增长到“经典”极限以上

$$

$$E = {\ frac {mc ^ 2} {2}}$$

该陈述与基本粒子可以具有动能的事实相一致，该动能明显大于该值。

当然，我们应该提到Lorentz指标，也称为Minkowski指标：

$$

$$g =诊断（1，-1，-1，-1）$$

通过这种度量，可以引入“ 4-向量长度”的概念，其中4-向量包括：

$$

$$4坐标\：（t，r），\：4速度\：（{\ Gamma}，v {\ Gamma}），\：4动量\：（E，p）$$

在这种情况下，我应用了一种符号系统，其中时间以米为单位 ，光速为1 。 也就是说，一个4-向量的“好”记录要求它由相同维的4个值组成。

任何4向量的一个重要属性是，当移至另一个参考帧时，其值的转换方式与4坐标的相应分量相同。

在电动力学中，存在诸如4维电流密度之类的量。 4个电流向量可以写成：

$$

$$J ^ \ mu =（c \ rho，j）$$

$$

$$J_ \ mu =（c \ rho，-j）$$

还应该提到的是，存在协变（作为4电流的第一个记录）和协变（作为第二个记录）向量。 这些向量之间的转换是根据以下公式进行的：

$$

$$J_ \ mu = g _ {\ mu \ nu} J ^ \ nu，$$

爱因斯坦的协议在这里适用，这意味着该记录意味着对位于顶部和底部的一对相同的索引进行求和。

自从有关近似的文章开始，我一定会提到如何展示SRT与牛顿力学的近似以及如何使用它。 根据公式（1），能量可以用动量表示：

$$

$$E =（（（mc ^ 2）^ 2 +（pc）^ 2）^ {\ frac {1} {2}} = mc ^ 2 * \ left（1 + \ left（\ frac {p} {mc} \ right）^ 2 \ right）^ {\ frac {1} {2}} \大约mc ^ 2 \ left（1+ \ frac {1} {2} \ left（\ frac {p} {mc} \ right ）^ 2-\ frac {3} {8} \ left（\ frac {p} {mc} \ right）^ 4 \ right）$$

动能可以表示为总能量E与剩余能量之差：

$$

$$T = E-mc ^ 2 \大约mc ^ 2 * \左（\ frac {1} {2} \左（\ frac {p} {mc} \ right）^ 2-\ frac {3} {8} \左（\ frac {p} {mc} \右）^ 4 \右）\：\：\：（2）$$

在近似值p << mc中，我们获得一个函数来记录通过动量的动能：

$$

$$T = \ frac {p ^ 2} {2m}$$

在不考虑产生势能的任何场（电场，磁场，重力场等）的情况下，该公式可以写为汉密尔顿函数的特例（请参见上面提到的拉格朗日力学和汉密尔顿力学）：

$$

$$H = \ frac {p ^ 2} {2m}，$$

在更一般的情况下

$$

$$H = \ frac {p ^ 2} {2m} + U（r）$$

相对论离不开能量动量张量（该张量可以以尺寸为4×4的矩阵形式表示）。 我将写下该张量的定义：
能量动量张量是第二等级的对称张量，描述了物质场的能量和动量以及动量的密度。

该张量的各种物质和场的组件都有公式，例如静止的液体或电磁场（即SRT在电磁场下运行，该场具有能量密度，能量和动量流）。 在后一种情况下，可以通过电磁场张量 F写入能量动量张量 ：

$$

$$T ^ {\ mu \ nu} =-\ frac {1} {\ mu _0}（F ^ {\ mu \ alpha} F _ {\ alpha} ^ {\ nu} + \ frac {1} {4} { \ eta} ^ {\ mu \ nu} F_ {\ alpha \ beta} F ^ {\ alpha \ beta}）$$

作为本节的结尾，我将提到洛伦兹不变性的概念，更确切地说，是应用于物理量的情况。 此属性定义如下：
洛伦兹不变性是指在洛伦兹变换过程中要保留的数量的属性（通常是指标量，但该术语也适用于4个向量或张量，不是指其具体表示，而是指“几何对象本身”）。

具有上述属性的值称为不变式 。 这里提到了许多STR不变量；其中一些是不变量质量感兴趣的。

广义相对论

我立即警告我，我不是物理学的专家，所以我将写一些我从体育课程以及维基百科等各种来源中所记得的东西。

首先，应该提到一般协方差的原理 。 它是我提到的SRT的第一个假设的修改，可以表述为：

描述自然规律的数学方程式不应改变其外观，并且在转换为任何坐标系时都应公平，也就是说，相对于任何坐标转换都应是协变的。

我想通过说GR中的度量张量不同于M​​inkowski张量的形式来区别GTR和SRT，同时保留其至少一个属性：

$$

$$g_ {ij} = g_ {ji} ^ *$$

我在这里使用的符号^*是复杂共轭的意思。 当然，根据定义，引入具有张量的复杂元素的度量不是很好，但是物理并不总是使用实数进行操作，因此我将使用这种形式。 在一般情况下，您可以尝试将任何（即无效的）度量标准替换为一般的方程式，但是随后您可以获得复杂的能量动量张量。 公制张量的所有分量都可以取决于坐标，但是同时，由于张量是微分方程的解，因此这些依存关系应该保持相当平滑。

时空曲率的概念是通过Christoffel符号和协变导数（在我需要的意义上，协变导数写在这里 ）等概念引入GR的。

曲率张量由德国数学家Bernhard Riemann在他的著作“ Ueber die Hypothesen，welche der Geometrie zu Grunde liegen”（[1]）中首次引入，在黎曼死后首次发表。 使用上面提到的符号，该第四级张量可以编写如下：

$$

$$R ^ \ iota _ {\ sigma \ mu \ nu} = \ partial_ \ mu \ Gamma ^ {\ iota} _ {\ nu \ sigma}-\ partial_ \ nu \ Gamma ^ {\ iota} _ {\ mu \ sigma } + \ Gamma ^ {\ iota} _ {\ mu \ lambda} \ Gamma ^ {\ lambda} _ {\ nu \ sigma}-\ Gamma ^ {\ iota} _ {\ nu \ lambda} \ Gamma ^ {\ lambda} _ {\ mu \ sigma}$$

对于曲率张量的所有分量都为零的充分条件是，所有Christoffel符号都等于零：

$$

$$\ Gamma ^ {\ lambda} _ {\ nu \ sigma} = 0$$

要满足的简单条件是矩阵g的对角线以及索引的任何置换的条件

$$

$$\ frac {\部分g _ {\ nu \ sigma}} {\部分x_ \ lambda} = 0$$

现在，我将继续介绍如何使用零曲率张量（更准确地说是Ricci张量）获得时空。 Ricci张量是曲率张量与第一个索引和最后一个索引的卷积：

$$

$$R _ {\ sigma \ mu} = R ^ \ nu _ {\ sigma \ mu \ nu}$$

展望未来，我要说的是，根据爱因斯坦的方程，零里氏张量只能在空白空间中（当能量动量张量的所有分量都等于零时）。 在这样的空间中，根据牛顿理论，我们将不会获得引力。 那些希望的人可以尝试找到与Minkowski度量不同的度量，但保留零Ricci张量。 您可能会发现引力波 。

在剩余2个索引上对Ricci张量进行卷积后，我们得到标量曲率：

$$

$$R = R ^ \ nu _ {\ nu}$$

现在我来谈谈爱因斯坦方程本身，也称为爱因斯坦-希尔伯特方程。


在推导引力场方程时，科学家应用了两个原理：

• 一般协方差原理
• 假设在近似弱引力的情况下，力学方程应简化为牛顿引力的STR力学

考虑到这一点，发现引力场的作用只能是2个量的函数-标量曲率R （在没有引力质量和其他能量的情况下，曲率必须为零）和度量张量g的行列式（对于Minkowski度量g = -1）。

我认为这些说法是科学家证明的。 其他科学家可以对爱因斯坦的行为进行修改，最著名的例子就是布朗斯-迪克理论 。 尚未获得观测中这些理论的充分证据。 那些想学习理论本身的人可以在这里阅读。
给定上述表示法，爱因斯坦方程可以写为：

$$

$$R ^ {\ mu \ nu}-\ frac {1} {2} g ^ {\ mu \ nu} R + 8 \ pi G T ^ {\ mu \ nu} = 0，$$

其中G是引力常数。 该方程式的简要含义可以表示为：

• 时空曲率的来源是该空间中所有物质和能量的能量动量张量。

在这种情况下，尽管我认为暗能量（宇宙学常数）是全球范围内的下一个天文学观测，但我没有提及它。

量子力学

量子力学是由物理学家创建的，用以描述微观系统。 观察到的数据证实的量子理论的第一项成就之一是N.Bohr的半经典原子模型，它于1913年创建。 我将利用这种自由来编写量子力学方程式-我将用字母h （而不是符号“带破折号的h ”）指定简化的普朗克常数。 玻尔理论的假设与真实的量子力学关系最小，它是对原子“轨道”中质量为m的电子的角动量进行量化的假设：

$$

$$mvr = nh，$$

其中n是自然数（在实际的量子力学中，动量可以为0，但是这个被称为“主量子数”的数n是自然的）。

量子力学发展的另一个阶段是E.Schrödinger提出方程式，后来以他的名字命名。该方程式是通过称为哈密顿量的特殊运算符编写的。通过用动量算子代替经典动量，从汉密尔顿函数中获得算子：

$$

$$p_x = ih \frac{\partial }{\partial x} ,$$

其中x是对应于经典广义动量p _x的广义坐标。

通常情况下，波动函数（用希腊字母“ psi”表示）的薛定ding方程是不稳定的：

$$

$$ih \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \left(- \frac{h^2}{2m} \nabla ^2 + U(x,t)\right) \Psi,$$

在经典系统的汉密尔顿函数中，广义动量具有普通古典动量的形式时，这里采用一种特殊情况。对于保守系统，Schrödinger方程可以写成平稳形式，可以看作寻找汉密尔顿算子的本征函数和本征值的方程：

$$

$$\left(- \frac{h^2}{2m} \nabla ^2 + U(x,t)\right) \Psi = {E \Psi},$$

其中E是运算符的对应特征值。

为了考虑从量子力学到经典力学的过渡，我们考虑用以下变量替换Schrödinger方程中的波动函数：

$$

$$\Psi = A exp \left(\frac{i}{h} S(x,t)\right)$$

Schrödinger方程可以通过以普朗克常数的幂扩展函数S（具有作用维度）来求解：

$$

$$S = S_1 +h S_2+ h^2 S_3 + ...$$

将函数S代入方程式后，其形式如下：

$$

$$\frac{\partial S}{\partial t} + \frac{1}{2m} \left( \frac{\partial S }{\partial x}\right)^2 + U(x) - \frac{i h}{2m} \nabla ^2 S = 0,$$

常数A减少的地方

为了获得经典力学方程（称为汉密尔顿-雅各比方程），我们应该指出，在任何经典轨迹上的作用力S的大小都比普朗克常数大得多。此后，可以丢弃方程式的最后一个成员。

如果需要对该方程进行更精确的解，则应用上述以h的幂表示的展开。发现函数S ₁是Hamilton-Jacobi方程的解，然后将其代入以h的幂扩展方程而获得的方程组中（也就是说，左右部分必须重合，或者在一个方向上移动时，条件多项式的系数应等于零）。

Schrödinger方程的近似解的思想（更精确地，寻找能级的校正）可以表述为：
使用无扰动的哈密顿量H ₀和扰动值H ₁（等于H - H ₀）的波动函数，可以使用几个新的迭代来找到新的能级E。

物理哈密顿量该系统表示为：

$$

$$H = H_1 + H_2 + ...,$$

……表示在不同情况下，我们需要考虑不同数量的修正案，这些修正案通常具有不同的较小程度。对哈密顿量的这些校正称为微扰，必须精确知道哈密​​顿量H ₁的波动函数。求解方程的相应理论称为“ 摄动理论”。
如果我们知道哈密顿量H ₁的波动函数，则它们构成线性空间（EMNIP）的基础。这意味着通常任何波动函数都可以表示为不受干扰的哈密顿量的波动函数的线性组合。考虑到这一点，可以证明，扰动理论的一阶会导致能级n的变化。 按金额

$$

$$dE_n = < \Psi_n |H_2| \Psi_n>$$

将该表达式相对于与编号为n和n的状态相对应的波动函数称为算符H ₂的矩阵元素。氢原子能级与非相对论量子力学的预测之间的最先（按发现时间）和（EMNIP）可以通过将动能算子系统替换为以公式（2）形式的扰动形式的动能算子系统来获得：

$$

$$dE_n = < \Psi_n |mc^2 * \left( - \frac{3}{8} \left(\frac{p}{mc}\right)^4\right)| \Psi_n>$$

您会看到该值为负。有2条评论。首先，这里的动量算符对应于一个相对论的动量，它可以超过mc-这意味着在相对论的情况下，动能扩展的第一项也会增长。其次，当公式2开始以下降的势头开始下降时，您肯定知道您应该考虑以下事项：

• 下一个分解项
• 扰动理论的以下顺序；
• 物理模型的许多校正（核的大小和形状，电子和核的磁矩，电子质量降低）。

根据我非常有条件的估计，这种模型复杂化方法可用于计算从氢到镧（含）在内的多种化学元素的能级1s的能量，对于更高的能级-甚至更进一步（考虑到对第二个元素的计算校正）在微扰理论的阶数中，使用了该级别的值，也就是说，错误已经在进行中。对于这些原子，已经有必要考虑狄拉克方程，并且对于最精确的（在当前的发展水平下）现实世界的显示，有必要考虑（电磁）场的量子理论。

而不是后记

我的评论就此结束了，因为它接近了我的知识领域。但是科学并没有停滞不前。在制定GR后的100年里，发现了引力波，在制定玻尔假设的100年后，发现了一整套基本粒子，实际上，发现了3个新的基本相互作用。SRT和量子力学已经发现在实际设备中的应用（我们不仅在谈论实验科学装置，而且在谈论许多光学设备）。

提到的消息来源清单：
1. Ueber die Hypothesen，《几何学》，// Abhandlungen derKöniglichenGesellschaft der Wissenschaften zuGöttingen，第一卷。1867年13月13日