1974年，英国数学家罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）创造了一套革命性的瓷砖，可用于填充永不重复图案的无限平面。 1982年，以色列晶体学家丹尼尔·谢赫特曼（Daniel Shekhtman）发现了一种金属合金，其原子以材料科学从未有过的顺序排列。 彭罗斯（Penrose）获得了公众的广泛认可，很少获得数学家的认可。 谢赫曼获得了诺贝尔奖。 两位科学家挑战了人类的直觉，并改变了理解自然结构的基础，发现即使在高度有序的环境中也可能发生无限的可变性。
他们发现的核心是“禁止的对称性”，之所以这样称呼是因为它与对称性和可重复性之间的根深蒂固的联系相矛盾。 对称基于反射轴-线的一侧上的所有内容在另一侧上均重复。 在数学中，这种联系是通过平铺空间的模式来表达的。 对称的形状（例如矩形和三角形）可以填充平面而没有间隙和覆盖，从而形成不断重复的图案。 重复模式称为“周期性”，据说它们具有“转移对称性”。 如果将模式（模式）从一个地方移到另一个地方，它将看起来相同。
作为一个大胆而雄心勃勃的科学家，彭罗斯对相同的模式和可重复性更感兴趣，而对无限可变性更感兴趣。 更具体地说，他对“非周期性”平铺感兴趣，也就是说，可以无间隙和覆盖地填充无限平面的图形集，并且永不重复平铺模式。 这是一项艰巨的任务，因为他不能使用具有两个，三个，四个或六个对称轴（矩形，三角形，正方形或六边形）的图形（平铺），因为它们在无限的平面上会产生周期性或重复的图案。 也就是说，他需要使用被认为在填充飞机时会留下空隙的图形-禁止对称的图形。
为了创建自己的非重复图案平面，Penrose转向了五轴对称-五边形，特别是因为根据他的说法，“看着五边形真是太好了”。 彭罗斯的数字的非凡之处在于，尽管他从矩形的线和角获得了这些数字，但它们并没有留下难看的空隙。 它们彼此紧密贴合，在平面上弯曲并转弯，始终接近可重复性，但从未达到。
彭罗斯的马赛克吸引了公众的注意，主要有两个原因。 首先，他找到了一种仅从两种形状生成无限变化的图案的方法。 其次，他的瓷砖是简单，对称的图形，本身没有任何异常特性的迹象。
彭罗斯（Penrose）创造了几种他的非周期性数字集。 其中最著名的一种叫做“蛇”和“飞镖”。 “风筝”看起来像是儿童风筝，“飞镖”看起来像是隐形轰炸机的简化轮廓。 两者均沿对称轴清楚地划分，并且每个表面上都有简单的对称弧。 彭罗斯（Penrose）定义了一个放置形状的规则：对于“适当”的瓷砖放置，这些弧必须匹配，从而创建了难以分离的曲线。 没有此规则，“蛇”和“飞镖”可以重复的方式排列。 如果遵循此规则，则永远不会重复。 “蛇”和“飞镖”无限地填充飞机，绕着它们的五个轴跳舞，创造出星星和十边形，弯曲的曲线，蝴蝶和花朵。 这些数字是重复的，但是其中出现了新的变化。
阿肯色大学数学系临床教授埃德蒙·哈里斯（Edmund Harriss）撰写了有关彭罗斯（Penrose）瓷砖的博士学位，他提供了这样的比较。 “想象一下您生活在一个正方形的世界中。 您开始走动，到达广场的尽头时，下一个完全相同，并且您知道如果继续不断地移动将会看到什么。 彭罗斯瓷砖具有完全相反的性质。 “无论您拥有什么信息，看到的模式的任何部分，您都无法预测接下来会发生什么。 总会有您从未见过的东西。”
平面非周期性分裂的一个有趣方面是，定位信息以某种方式在远距离上传输-放置在一个位置的Penrose瓷砖阻止了其他瓷砖在数百（甚至成千上万）瓷砖中的放置。 哈里斯说：“局部约束以某种方式创造了整体约束。” “这表明这些瓷砖将不会周期性地产生任何东西。” 您可以选择将“蛇”放置在一个区域中，或者将“飞镖”放置在某个偏远的地方。 任何图块都可以，但不能同时使用。
这些瓷砖形成无尽的，无重复的图案，表现出斐波那契比率，也称为“黄金比率”。 如果较小数字与较大数字的比率与较大数字与两个数字之和的比率相同，则两个数字具有黄金分割率。 在这种情况下，“蛇”的面积与“飞镖”的面积之比是黄金比例。 “蛇”的长边与短边的比率也是黄金比率。
彭罗斯（Penrose）磁贴也可以细分为自己的较小版本。 “蛇”由两个较小的“蛇”和两半“飞镖”组成。 “飞镖”由较小的“蛇”和两个“飞镖”地毯组成。 （在彭罗斯的任何适当的平铺中，这些“飞镖”的两半彼此对齐。从数学的角度来看，这使它们可以视为整体“飞镖”。） “”哈里斯说。 “如果我将它们细分，我将获得2条
A +
B “蛇”和
A +
B “飞镖”。
如果您进行无数次替换，则可以计算每种类型的图块的总份额，就像在无限平面上布局一样。 在这种计算中，
重复模式总是导致有理数。 如果比例是一个无理数，则意味着该模式将永远不会真正完全重复。 在Penrose瓷砖的计算中，不仅获得了无理数，而且它们的比率是斐波那契比率-“飞镖”与“蛇形”的比率等于“蛇形”与砖总数的比率。
鉴于斐波那契比例在自然界无处不在-从菠萝到兔子种群-更为奇怪的是，该比例对于平铺系统至关重要，这似乎与物理世界无关。 彭罗斯（Penrose）在科学领域创造了一些新事物，正是在这方面令人着迷，它不应像自然界那样起作用。 就像彭罗斯（Penrose）撰写的科幻小说中有关一种新动物物种的故事一样，然后动物学家发现了这种生活在地球上的物种。 实际上，彭罗斯（Penrose）瓷砖与黄金分割率，我们发明的数学以及我们周围世界的数学有关。
彭罗斯从事禁止对称的研究，不可能猜到他已成为思想转变的一部分，这一思想转变导致了数学科学新领域的发现。 毕竟，对称对于纯数学和自然世界都是至关重要的。 天体物理学家马里奥·利维奥（Mario Livio）称对称为“解密自然结构的最必要工具之一”。 大自然使用正方形和六边形的原因与人类相同：它们简单，高效且有序。 如果说五角形对于完成室内设计中的地板砖这样的简单任务来说似乎不切实际，那么，当然可以相信，它们不能用于在固体材料（如晶体）中产生原子。
晶体由原子的三维晶格组成。 晶体通过添加新原子并扩展晶格来生长。 当原子以重复的方式排列时，这种情况最有效。 几十年来，历史到此为止：晶体是重复的结构。 重点。
但是在1982年，谢赫曼（Shekhtman）休了海法理工大学的创意假，并开始在国家标准局工作。 他在一个铝锰合金实验室里摸索着。 由其晶体结构产生的衍射图谱似乎不像结晶学家所知道的任何标准对称性。 实际上，原子排列在彭罗斯在数学界发现的非常五边形，菱形，“蛇形”和“飞镖”中。
“当然，我对Penrose瓷砖很熟悉，” Schechtman说。 但是他没有理由怀疑它们与这种合金的联系。 “我不明白那是什么。 在接下来的几个月中，我一次又一次地重复我的实验。 在我的创意假期结束时，我完全知道那不是什么，但我仍然不知道那是什么。”
为了了解他的发现，Schechtman和Penrose一样，不得不质疑他通常的直觉性想法。 他不得不接受禁止的对称性及其五边形的混乱，缺乏可重复性。 在以色列期间，他不愿承认自己发现了一个非重复的晶体原子结构。 但是，在材料科学领域，没有人首先可以将这一发现归因于晶体。 因此，它们被称为“准晶体”。
彭罗斯（Penrose）怪异的数学似乎已经融入自然世界。 “ 80年来，晶体一直被定义为“有序且周期性的”结构，因为自1912年以来我们研究的所有晶体都是周期性的，” Schechtman解释说。 “直到1992年，国际晶体学家联盟才组织了一个委员会，为晶体一词选择新的定义。 这个新定义是晶体学的范式转变。”
不仅是思维上的惯性，还阻止了谢赫特曼对这一发现的理解和接受。 非周期性的晶体结构不仅不熟悉，而且被认为是不自然的。 回想一下，一个Penrose磁贴的位置可能会影响成千上万个磁贴的形状-局部限制会创建全局限制。 但是，如果晶体是一个原子一个原子地形成的，那么就不应有自然法则产生彭罗斯瓷砖固有的限制。
事实证明，晶体并不总是一个原子一个原子地形成。 “在非常复杂的金属间化合物中，元素很大。 他们不是本地人，” Schechtman说。 当同时形成大的晶体碎片时，而不是通过原子的逐渐生长，彼此相距很远的原子会影响相互的位置，就像彭罗斯瓷砖中那样。
与许多禁忌一样，禁止对称被认为是自然界中存在的可接受形式之一。 准晶体不仅成为科学研究新领域的研究对象：事实证明，由于它们的异常结构，它们具有许多有用的特性。 例如，原子的不对称构型为它们提供了较低的表面能，也就是说，几乎没有物质可以粘附于它们。 因此，准晶体涂料开始用于不粘厨房用具。 （当Penrose创建新瓷砖时，他无法想象它们会用于晶体学，更不用说煎蛋了。）此外，准晶体通常摩擦力低且磨损小，因此它们是剃刀和外科手术的理想涂料。仪器或任何其他与人体有关的尖锐仪器。
由于准晶体结构从不重复，因此它们会形成独特的电磁辐射衍射图。 光子学研究人员对它们如何影响光传输，反射率和光致发光感兴趣。 如果将其冷却，则其电阻将降至几乎为零的水平。 但是它们也吸收红外辐射，因此它们会很快加热到高温。 因此，它们成为3D打印机的非常有用的补充，在3D打印机中，塑料粉被用作起始材料。 谢赫曼（Shekhtman）解释说：如果将准周期性粉末与之混合并暴露于红外辐射下，则该准周期性粉末“会非常迅速地加热并熔化周围的塑料颗粒，从而使它们粘在一起。”
没有人知道禁止对称的故事是如何结束的。 数学家继续探索Penrose瓷砖的属性。 准晶体仍然是基础研究和应用研究的主题。 但是到目前为止，这一旅程令人难以置信。 在过去的40年中，五轴对称从不切实际变为有价值，从不自然变为完全自然，从禁止变为主导。 对于这种转变，我们必须感谢两位科学家放弃了通常的想法，以便发现自然界无尽变化的一种引人注目的新形式。
关于作者：Patchen Bars是多伦多的记者兼作家。 他目前正在写一本关于纯数学与自然世界之间关系的书。