作为数学教授，他不再害怕并且爱上了代数几何。成为第六名时，现在成为真正的代数几何专家还为时已晚，但我终于设法爱上了她。 顾名思义，该数学分支使用代数研究几何。 勒内·笛卡尔（Rene Descartes）大约在1637年奠定了这一知识领域的基础，乘坐飞机，在脑海上画了一个网格，并指定
x和
y的坐标。 您可以写出
x 2 +
y 2 = 1形式的方程，并得到一条曲线，该曲线由坐标满足该方程的点组成。 在这个例子中，我们得到一个圆。
那时，这是一个革命性的想法，因为它使我们能够将几何问题系统地转换为有关方程的问题，这些问题可以用足够的代数知识来解决。 一些数学家一生都参与了这个宏伟的领域。 直到最近，我还不喜欢它，但是我能够将它与我对量子物理学的兴趣联系起来。
小时候，我更喜欢物理而不是数学。 我的叔叔阿尔伯特·贝兹（Albert Baez）是著名民谣歌手琼·贝兹（Joan Baez）的父亲，他曾在联合国教科文组织工作，并帮助发展中国家进行了物理培训。 我的父母住在华盛顿。 当我叔叔来到城市时，他打开公文包，从那里拿出磁铁或全息图，并在他们的帮助下向我解释了物理学。 太棒了 当我八岁的时候，他给了我一本他为大学写的物理教科书。 尽管我听不懂他的话，但我立即意识到
我想要这个。 我决定成为一名物理学家，我的父母很担心，因为我知道物理学需要数学，而我对此并不很坚强。 专栏的划分对我来说似乎无聊得令人厌烦，而且我不停地重复做数学，不愿做数学作业。 但是后来，当我意识到玩这些方程式时，我可以对宇宙有更多的了解，这让我着迷。 神秘的符号就像魔术一样，从某种意义上说是。 科学是有效的魔法。
在大学里，我选择了数学作为主要学科，并对理论物理学家尤金·维格纳（Eugene Wigner）有关数学“莫名其妙的有效性”的问题产生了兴趣：为什么我们的宇宙如此容易服从数学定律？ 他这样说：“数学语言对于制定物理定律足够的奇迹是令人惊奇的礼物，我们不理解也不应该得到。” 作为一个年轻的乐观主义者，我认为这些定律将为我们提供一个解决更深层次难题的提示：为什么宇宙通常受数学定律支配。 我已经知道数学太过庞大，无法全面研究它，因此治安法官决定将重点放在对我重要的事情上。 对我来说似乎不重要的那些是代数几何。
数学家如何
不爱上代数几何？ 原因如下：在其经典形式中，该领域仅研究
多项式方程式-这些方程式不仅描述曲线，而且还描述高维图形，称为“流形”。 也就是说，
x 2 +
y 2 = 1-这是正常现象，例如
x 43-2 xy 2 = y 7 。 但是具有正弦，余弦或其他函数的方程式不在此范围内，除非我们找到某种方法将其转换为多项式方程式。 对于一个研究生来说，这似乎是一个可怕的局限。 毕竟，物理学使用了许多不是多项式的函数。
有一个多项式：单独使用多项式，可以描述许多有趣的曲线。 例如，让我们在另一个圆内滚动一个大三倍的圆。 我们得到一个带有三个尖角的曲线，称为“三角形”。 它的多项式方程式所描述的内容并不明显，但事实并非如此。 伟大的数学家伦纳德·欧拉（Leonard Euler）于1745年发明了它。为什么代数几何将自身限制为多项式？ 数学家研究了各种函数，尽管它们非常重要，但在某种程度上，它们的复杂性仅分散了几何与代数之间联系的基本奥秘。 通过限制搜索范围，代数几何可以更深入地探索这些难题。 她从事此工作已有数百年历史了，现在多项式的技巧真的很棒：代数几何已经成为数论，密码学和许多其他领域的强大工具。 但是对于她的真正仰慕者而言，这方面的价值在于自身。
有一次我遇到一个哈佛研究生，问他在学什么。 他用一种浮躁的口吻说了一个字：“哈特索恩”。 他想到了Robin Hartshorn于1977年出版
的教科书《
代数几何》 。 假定它应该成为该主题的入门，但是实际上非常复杂。 引用维基百科的描述：“第一章，“流形”，讨论了代数封闭域上变体的经典代数几何。 本章使用可交换代数的许多经典结果，包括希尔伯特零定理，并且经常发现对阿蒂亚-麦克唐纳，松村和扎里斯基-塞缪尔等人的著作。
如果您什么都不懂...那就是我的想法。 要了解Hartshorn的第一章，您需要大量的背景知识。 读Hartshorn就像是试图追赶许多世纪以来一直努力奔跑的天才。
著名的立方：这是Cayley的立方节点面。 众所周知的是，可以用三次方程式描述的是具有最大数量节点（如尖锐片段）的流形。 该方程的形式为（ xy + yz + zx ）（1- x - y - z ） xyz = 0，之所以称为“三次”，是因为我们同时乘以不超过三个变量。这些天才之一是Hartshorn的科学总监-Alexander Grotendik。 从大约1960年到1970年，格罗腾迪克（Grothendieck）在代数几何方面进行了革命性的革命，使其成为史诗之旅的一部分，目的是证明韦尔（Weyl）的假设将变种与数论问题的解联系起来。 格洛腾迪克建议，通过加强和深化几何与代数之间的联系，可以证实韦尔的假设。 他对如何发生有一个清晰的想法。 但是，为了确保该想法的准确性，需要进行大量工作。 为了实现这一目标，他组织了一个研讨会。 格洛腾迪克几乎每天都做演讲，并利用巴黎最好的数学家的帮助。
让我们运行一个数学背景： Alexander Grotendik在他的研讨会上。他们工作了十年，不停地写了数千页的新数学，里面充斥着惊人的概念。 最后，格罗腾迪克运用这些思想成功地证明了魏尔的所有假说，除了最后一个最复杂的假说。 让格洛腾迪克惊讶的是，这是由他的学生决定的。
在他最高产的几年中，即使他统治了法国代数几何学派，但许多数学家都认为格洛腾迪克的思想“太抽象了”。 鉴于
所有数学多么抽象，这听起来有些奇怪。 但是，毫无疑问，需要时间和精力来理解他的想法。 作为一名研究生，我试图与他们保持距离，因为我一直在积极地从事物理学的研究：几个世纪以来，才华横溢的人全速工作，而且花很长时间才能走到前沿。 但是后来，当我开始职业生涯时，我的学习使我开始了Grothendieck的工作。
如果我选择一条不同的道路，我可以通过
弦理论的研究来研究他的工作。 研究弦论的物理学家推测，除了空间和时间的可见维度（空间的三个维度，时间的一个维度）之外，还有其他空间维度，如此扭曲以至于无法看到。 在他们的某些理论中，这些额外的维度形成了多样性。 因此，弦理论研究人员可以轻松地解决代数几何中的复杂问题。 而这又使他们面对了Grothendieck。
我完全感到困惑：一个片段的一个片段，称为“五次三倍”，可用于描述弦论中其他复杂的空间维数。的确如此。 最重要的是，字符串理论的宣传并不是通过对实验结果的成功预测（它绝对不能自夸），而是通过在包括代数几何在内的纯数学框架内解决问题的能力。 例如，弦理论可以惊人地很好地计算出可以在某些品种中绘制的不同类型的曲线的数量。 因此，今天人们可以看到弦理论家与代数几何体进行交流，并且每一面都可以用其发现使另一面感到惊讶。
但是，我个人对Grothendieck作品感兴趣的来源是不同的。 我一直对弦理论抱有严重怀疑，而对各种曲线进行计数是我想做的最后一件事：就像
攀岩一样，观看起来非常令人兴奋，但是自己做起来实在太恐怖了。 事实证明，格洛腾迪克的思想是如此泛泛而强大，以至于它们超出了代数几何的范围而延伸到许多其他领域。 尤其是他在1983年写的600页未出版的手稿《
追求栈》给我留下了深刻的印象。 在其中，他指出，
拓扑结构 （如果得到了广泛的解释，是一种关于空间的形式的理论，如果我们不担心弯曲或拉伸它，而仅关注孔的类型）可以完全简化为代数！
最初，这个想法似乎与代数几何相似，在代数几何中，我们使用代数来描述几何图形（例如，更高维的曲线或流形）。 但是事实证明，“代数拓扑”具有完全不同的风格，因为在拓扑中，我们没有义务将自己局限于由多项式方程式描述的图形。 与其处理精美的珠宝，不如处理柔软，柔软的血块。 因此我们需要一个不同的代数。
如果您需要一个解释：数学家有时会开玩笑说拓扑学家看不到甜甜圈和一杯咖啡之间的区别。代数拓扑是一个美丽的领域，早在格洛腾迪克存在之前，但他是最早提出将
整个拓扑简化为代数的方法的最早的人之一。 由于我在物理学方面的工作，他的提议对我来说似乎非常令人高兴。 这就是为什么：那时，我承担了将两种物理学最好的理论相结合的艰巨任务：描述除了重力以外的所有力的量子物理学，以及描述引力的相对论。 看来，除非我们这样做，否则我们对物理学基本定律的理解注定是不完整的。 但是要意识到这一点是非常困难的。 原因是量子物理学是基于代数的，拓扑学在相对论的一般理论中得到了积极的应用。 但这告诉我们攻击的方向：如果我们能够弄清楚如何将拓扑简化为代数，那么这可能有助于我们制定量子引力理论。
我的物理学同事此刻会how不休，开始抱怨我过于简化了一切：在量子物理学中，不仅使用了代数，而且相对论的一般理论不仅是拓扑。 然而，正是将拓扑简化为代数的可能的物理优势使我对Grothendieck的工作感到满意。
因此，自1990年代以来，我一直在试图找出格罗腾迪克（Gothendieck）发明的强有力的抽象概念，并且迄今为止取得了部分成功。 一些数学家认为这些概念是代数几何的复杂部分。 但是现在对我来说，它们似乎只是一个简单的部分。 对我来说，不是所有这些抽象概念，而是它们无聊的细节，都变成了困难的部分。 首先，这是哈特斯霍恩认为强制性先决条件的所有材料：“阿提亚-麦克唐纳，松村和扎里斯基-塞缪尔的书”，而这些都是大量的代数。 但是还有更多。
因此，尽管我现在已经掌握
了阅读Hartshorn所需的
一些知识 ，但是直到最近，对这些材料的研究对我来说还是太可怕了。 一位物理系学生曾经问过一位著名专家，物理学家应该知道多少数学。 专家回答：“他所不知道的。” 确实，对数学的研究永远不能被认为是完整的，因此我专注于看起来最重要和/或有趣的方面。 直到去年，代数几何还从未位居榜首。
有什么变化？ 我意识到代数几何与
经典物理学和量子物理学之间的
关系有关 。 古典物理学是牛顿物理学，我们假设即使在理论上我们也可以完全准确地测量所有事物。 量子物理学是Schrödinger和Heisenberg的物理学，它受不确定性原理支配：如果我们以完全准确的方式测量物理系统的某些方面，则其他方面必须保持不确定性。
例如，任何旋转的物体都具有“角动量”。 在经典力学中，我们使用沿旋转轴指向的箭头对其进行可视化，并且该箭头的长度与对象的旋转速度成比例。 并且在经典力学中，我们假设我们可以精确地测量该箭头。 事实证明，在量子力学中-对现实的更准确描述。 例如，如果我们知道箭头指向
x方向的距离，则无法找到。 她指向
y方向的距离。 对于篮球来说，这种不确定性太小而不能被注意到，但是对于电子来说，它却非常重要：在物理学家开始考虑到这一点之前，他们对电子只有一个粗略的了解。
物理学家经常寻求“量化”经典物理学的问题。 也就是说，它们从某些物理系统的经典描述开始，并尝试导出量子描述。 要进行这项工作，没有通用且完全系统的程序。 这不应该让您感到惊讶：这两种关于世界的看法截然不同。 但是，
存在执行量化的有用方法。 其中最系统的适用于非常有限的一组物理问题。
例如，在古典物理学中，有时我们可以将系统描述为
流形中的一个点。 在一般情况下，您不应期望这是可能的，但是在许多重要情况下，会发生这种情况。 例如，考虑一个旋转的对象：如果我们固定箭头的角动量的长度，则箭头仍可以指向任何方向，也就是说，其末端应位于球体上。 因此，我们可以用球体上的点描述一个旋转的对象。 这个球体实际上是一个变体，以“ 19世纪伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）最伟大的代数几何学之一”命名。
多样性：八阶Endrass曲面是“流形”的美丽，高度对称的示例：由多项式方程式描述的图形。 代数几何开始于对这些数字的研究。当用多样性描述经典物理学的任务时，就会发生魔术。 量化过程正在变得完全系统化，并且出奇的简单。 甚至有一种反向过程，可以称为“分类”-它使您可以将量子描述转换回经典描述。 物理学的经典方法和量子方法正变得紧密相关，我们可以从任何方法中汲取想法，并观察它们可以告诉我们有关其他事物的信息。 例如，流形中的每个点不仅描述了经典系统的状态-在我们的示例中是角动量的特定方向-而且还描述了相应的量子系统的状态，即使后者
由海森堡
不确定性原理控制。 量子态是经典态的“最佳量子近似”。 而且，在这种情况下，来自代数几何的许多基本定理可以被认为是关于量化的事实。 由于我从事量化已经很长时间了，这让我非常高兴。
理查德·费曼（Richard Feynman）曾经说过，为了进一步解决复杂的物理问题，他需要从一个特殊的角度看待它：
“ [...]我需要认为我有解决当前问题的最短方法。这就是说，我好像拥有别人不使用的才能，或者他们愚蠢地认为自己不是事物的极好观点的特殊外观。 , - , . , , , . : , , ".
也许这正是我直到最近才缺少代数几何的知识。当然，代数几何不仅是要解决的问题，而且是复杂的知识-但是它是如此庞大，令人恐惧，我不敢碰到它，直到找到最短的路径。现在，我可以阅读Hartshorn，并将其中的一些结果转换为有关物理学的事实，并且我有机会了解所有这一切。这是一种极好的感觉。作者简介：John Baez是加利福尼亚大学河滨分校的数学教授，也是新加坡量子技术中心的客座研究员。他经营着有关数学，科学和环境问题的Azimuth博客。在Twitter上关注他：@johncarlosbaez。