今天我们将讨论基础知识。 理论基础设定了可能性的极限，并显示了实现目标的方式，因此，对此类问题的深入了解永远不会多余。
我们将无法涵盖所有基础知识，因此就目前而言，我们将把我们的教育重点引向称为悖论的娱乐性任务。 在涵盖本主题的过程中，我们将逐步深入研究称为逻辑的方法，然后关注逻辑与数学之间的联系，在此之后，我们的读者不仅可以轻松理解逻辑在推导公理理论中有用的原因，而且可以理解为什么根本需要公理理论，他们还将理解，没有必要去构建一致的理论。
让我们从有趣的难题列表开始。 这些问题称为悖论，因为无论我们如何回答问题中提出的问题，悖论的作者总是会轻易地证明我们是错误的。 也就是说，这些问题并不意味着解决方案，而是在娱乐性方面显示了逻辑推理的非平凡性。
理发师悖论
在某个村庄，理发师宣布他要在村庄剃光所有未剃须自己的人。 问题是谁剃了理发师？
如果您回答剃须刀本身就是剃须刀，那么悖论的支持者会迅速向您解释，根据任务的条件，剃须刀会剃除那些不剃须自己的人，这意味着他不能剃须自己，否则就会证明他剃须自己，从而剃了胡子一个刮胡子的人。
如果您回答其他人正在刮胡子，则悖论的支持者会再次回忆起任务的条件-他们表示如果一个人不刮胡子，那么他必须刮胡子，因为他说过-他刮胡子的人都不刮胡子我自己 因此，如果有人刮胡子，那么他就不会刮胡子，根据条件，应该刮胡子。
尽管您不应该深入了解此任务的逻辑矛盾，但它只会向您介绍悖论的世界，随后还将执行其他一些冲突的任务。 尽管如果您找到了意外的解决方案-不要着急，那么您将看到悖论的支持者将如何规避任何意外的解决方案。
集的悖论
与理发术悖论类似，一百多年前，发现了一种悖论，它严重影响了数学基础，而其严重性使得这一时期被称为数学基础危机。 事实是，对数学而言，不必担心太多，因为这场危机并不是第一次发生，它对数学的实质性部分影响很小。 然而，这场危机清楚地表明了我们在这一领域的知识薄弱，这一方面一直被认为是严格的，几乎是全面的。
首先，我们在一个简化的示例中显示一个悖论的基础。 想象一下所有正整数的集合（或列表，数组），然后想象与我们集合中的数字数量相对应的数字。 赠送？ 如果是这样，那么在向集合中添加一个等于其元素数量（带有添加的单位）的集合后，会发生什么？ 如果那里已经有所有元素，请记住可以按升序对它们进行排序，那么显而易见最大元素等于我们集合中元素的数量。 但是，如果我们在数量上加一个，那么我们会得到一个不在集合中的元素，因此您似乎无法想象这样的列表，因为每次都会出现有关新元素的问题。 但是，另一方面，我们可以表述短语“所有正整数的集合”。 那么，我们究竟能做什么，而不能做什么呢？
在您考虑上一个问题的答案时，我们将询问您以下问题。 并且，如果您想象所有集合的集合，但是没有集合会将自身作为元素包括在内？ 这可能吗？ 例如，数字{1、2、3}的集合不包含自身作为元素。 那么也许其他所有设置也可以想象得到吗？
如果您说这是可能的，那么悖论的支持者会提出一个问题-提出的论题是否包括自身？
如果您说“是”，则悖论的支持者将回答：根据问题的情况，该集合不应包括包含其自身的集合，但是由于您说“是”，因此您将呈现的集合本身包括在内，因此禁止将其包括在内，因为它已成为一个包括自身在内的集合，这与问题的状况相矛盾。
如果您说“否”，则悖论的支持者会回答，根据问题的情况，提出的集合应该包括不包括自身的所有集合，因此提出的集合本身（本身不是）也应该属于我们的集合。
就像现在，也许现在，全世界的数学家在拟议的悖论中显然缺乏常识而受到了轻微的影响。 确实，不仅常识在某个地方消失了，而且在那之前不久，数学家设法提出使用集合论（我们只是在谈论它的代表-不包括自身的所有集合的集合）来在其基础上构建所有数学。 结果，发生了危机-事实证明，在数学的核心问题上，没有常识。 你觉得这个数学怎么样？ 小熊维尼（Winnie Pooh）在这个话题上说得很好-很好，但是由于某种原因它很la脚。
但这还不是全部。 此外，为完整起见，我们提出了几个略有不同的计划的悖论。
自我适用的悖论
有些单词的含义可以应用于这些单词。 例如，“三个音节”一词由三个音节组成，其含义还告诉我们三个音节，因此该词可以称为自我适用。 同样，“ Russian”一词用俄语写成，表达了属于俄语的含义，也就是说，它再次可以自我适用。 但是“丁香”一词通常根本不是用丁香色写的，并且不会在丁香上生长，这意味着它不适用。 但是还有一个词（我们刚刚看到了）“不适用”。 这样的词对自己适用吗？
如果您内心的常识性斗争成功结束，并且您说过这个词是可自我适用的，那么悖论的支持者会说-如果它写成这样，那么它怎么会自我适用-不能自我适用？
如果您说这个词不适用，那么悖论的支持者会回答说这个词的含义与您给它的定义相吻合（不适用），这意味着您自己已经展示了自我适用性的方法，这意味着您又错了！
但是，如果我们不再提出一个问题，那么悖论支持者的喜悦将是不完整的。
错误说法的悖论
任务非常简单-您必须对问题回答“是”或“否”-下一条语句为假-“此语句为假”。
如果您回答“否”，则悖论的支持者会说该陈述说-这是错误的，因此您说有些不对。
如果您说“是”，则悖论的支持者会说，既然您说的是陈述是错误的（回答“是”），而陈述本身是在说错误的，那么谎言在哪里呢？ 因此，您再次回答不正确！ 悖论的进一步支持者再次感到高兴。
一点神秘感
我们不会因观看支持自相矛盾的人们的乐趣而灰心丧气，但我们将尽力揭露这种邪恶，可以说使我们的大脑全神贯注于所列举的所有悖论中。 对我们来说是什么-一堆数学家仍然不确定其科学基础的一致性！
首先关于理发师。 让我们仔细研究悖论中参与者的构成。 我们将注意到几个实体，这些实体是理发师，也是理发师刮胡子的一些“全部”实体。 我们还将看到理发师与他刮胡子的人之间的某种关系。 让我们称这种关系为简单-“刮胡子”。 用数学语言，我们可以这样写-x shaves y，也就是说，某个X与某个玩家有关系，这种关系称为-shaves。 进一步在悖论中，我们将选择算法视为“所有”实体的一部分。 该算法的本质是检查条件“不自行剃毛”。 我们还看到剃须刀有义务剃除上述“全部”本质中的所有剃须刀。
现在，在为我们的问题写了“给出”部分之后，我们继续进行“解决方案”部分。
假设某个委员会从村庄中选拔了一些人，并且所有回答“我不刮胡子”的人都包含在问题的条件集中（该条件为“全部”）。 完成委员会的工作后，我们会有一群需要对理发师进行相应处理的人员。 此外，人们可以轻易地想象到，在进行调查时，理发师说他在刮胡子，因此他不属于要处理的人群。 结果，我们得到了完全幸福的画面-每个不刮胡子的人都会被我们的理发师从容地刮胡子。 但是他们不会吗？ 至少，我们不会在常识上看到任何障碍，因此，我们可以轻松想象出所有适合该情况的剃脸和一个非常满意的理发师。 但是这种情况下的悖论支持者将无法工作，因为事实证明根本没有悖论！
但是实际上有一个悖论。 的确，全世界的数学家都对这场危机感到担忧是徒劳的！
为了确定悖论的原因，有必要在方程式中包括其支持者。 他们会说，理发师声称他要刮胡子那些不刮胡子的人，因此他无权刮胡子，因为那样他会刮胡子的人，因此违反了任务的条件。 从逻辑上讲，根据问题的情况，我们可以说“理发师剃理发师”的说法是错误的。 但是结果，应该将理发师包括在需要用理发师剃毛的一组个人中。 理发师应该把他们全部剃光，因为否则，悖论的支持者将立即出现并提醒我们问题的状况。
为了更清楚，我们缩短了对情况的描述。 让我们用字母B指定剃须刀，“剃须刀”的姿势让其保持不变，已经很短了。 许多“一切”也无法减少。 然后在简短记录中，我们得到：
1）
错误（B刮胡子B）意味着B属于“全部”2）
X刮胡子B并且X = B这样的记录意味着（第一行）从剃须刀没有剃须到剃须刀这一事实，得出的结论是，剃须刀属于“一切”的集合。 第二行告诉我们，某个X应该剃掉理发师，而这个X应该是理发师本人。
现在，我们在第二行执行最小转换-我们将其中的X替换为B，因为在条件上它们相等，并且还表示结果语句的真实性。 我们得到：
真（B刮胡子B）但是从第（1）行，我们得到：
错误地（B刮胡子B）并且这两个条件（应悖论支持者的要求）必须同时满足。
那么这里有什么邪恶？ 正如我们所看到的，在悖论的支持者介入之前，村庄里的治安秩序得到统治，所有适当的人都被剃了光，理发师很高兴。 但是，在悖论支持者的干预之后，我们同时收到了关于理发师刮胡子的说法的真实性和虚假性的要求。 换句话说，我们收到了相互矛盾的要求。 当然，如果这些要求是矛盾的，那么用这些要求解决问题是不可能的。 不管我们如何扭曲，无论我们如何发明避免悖论的新方法，例如，宣布理发师都不刮胡子，不留胡须，或者妇女不必刮胡子，悖论的支持者都会客观地解决这一问题。不，那么一切都应该与我们所说的完全一样。 但是由于服从于悖论支持者的严厉声明，我们得到了一项艰巨的任务。
在指出了条件的不一致之后，我们可以尝试强调一些导致导致本质上愚蠢的需求（以及所谓的同时剃须而不是同时剃须的愚蠢需求）的因素，很多人对此都非常重视。
首先，值得指出冲突主张的隐含性质。 一项类似的任务，但条件明显矛盾，将被立即拒绝，没有人知道任何自相矛盾的地方，但是限制不一致的隐藏性质导致了许多尝试来解决绝望的任务。 例如，查找同时大于零和小于零的数字的任务几乎不会导致悖论的出现，因为在这样的问题中，要求的矛盾含义对于每个人都是显而易见的。 但是在理发剃头的问题中，限制不一致的不明显性导致了严重的后果。 因此，在任何悖论中，首先，应该在对解决问题施加的限制中寻找内在矛盾。
其次，除了非显而易见性之外，在此类问题中实际上存在矛盾的限制（乍看之下是不可见的）。 在这里值得强调的是-解决方案的限制，而不是其他。 就是说，不是问题所属的主题领域在某种程度上是矛盾的，而不是问题描述的语言，而是矛盾被置于这些概念之外，并且确切地以对可能解决方案的限制形式出现。 因此，您应始终仔细研究解决方案的限制，以尝试找出其中可能存在的矛盾。
第三，矛盾的任务必然包括扭曲现实的形式主义。 严格遵守公正的条件，不排除在有争议的领域之外找到解决方案，这是一个明显的信号，应在其他乍一看似乎不自相矛盾的任务中仔细寻找。
在其余的理发师问题中，我们看到了它所特有的特性，在其他悖论中可能不会重复。 尽管如此，指出它们还是有用的。
首先，理发师的任务以“剃光所有人”的迫切需求为特征，同时不允许“谁不剃光自己”规则有任何例外。 如果任务没有对“剃光所有人”施加如此严格的限制，那么理发师就很容易从任务危险清单中排除。 如果任务不仅仅局限于那些不剃光自己的人，那么理发师又只会让我们有点害怕，而不会造成数学基础的危机。 因此，在其他任务中，如果对“所有这样的要素和只有这样的要素”类别提出了严格的要求，那么在这种表述中寻找内部矛盾是值得关注的。
其次，任务中的理发师是一个特殊的实体，与其他所有理发师的不同之处在于，其参与剃除所有本应按条件剃光的人。 没有理发师，实体系统将崩溃，并且不会构成一个单一而有意义的任务。 但是，尽管在实体和限制系统中具有特殊地位，但悖论的支持者仍然坚持对所有参与过程的人采取单一态度，尽管对理发师施加了额外的限制。 但是正是剃须刀的特殊状态导致了要求之间的矛盾，因为除了“像每个人一样”的态度之外，要求剃须刀也要剃须，剃须刀也必须不要自己剃须，并且在任务状态下排除了其他剃须刀。 因此，在其他任务中，应确定要素的系统形成功能，如果存在，则仔细检查“对所有人”的要求与该要素的要求之间的相关性。 否则，很容易在需求中产生另一个矛盾。
其他悖论中的问题
现在，我们将跳过集合的悖论，因为稍后在结合集合论的问题时将需要它。
现在让我们看看邪恶在自我适用的悖论中所处的位置。 除了前面提到的在这里条件中的隐式矛盾形式的特征之外，我们还可以增加对自我适用性含义的解释自由。 即，可以广泛地解释自我适用关系的含义，因此矛盾很容易滑入这些巨大的空白。 因此，在这种情况下，定义的严重性不会多余。 但是也不可能将严重性提高到绝对，否则，正如我们在理发师的示例中所看到的，矛盾将是严重性本身的结果。
就像在剃刮悖论中一样，在自我适用性悖论中，我们有一个系统的特殊元素，它在其他方面脱颖而出，因为考虑到这一点，系统的算法会发生变化。 对于所有其他单词，足以让我们理解单词含义的定义域与单词本身之间的关系（即，计算音节的数量或注意单词的书写语言），但是对于“不适用”一词，我们有一个不太明显的定义域，可能与评估自身适用性的系统本身一致。 也就是说，对于“不适用”一词，任务本身向我们解释了某种可能的适用性，但是这种解释是含蓄的且非限制性的。
此外，对于“不适用”一词，您可以找到相互矛盾的特定限制。 , , , «» , . , . , , , «» . , , . «»?
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如我们所见，如果a包含任何元素，则没有一个替换
y的单一变体，不可能表示这样的
x和/或
P（x），因此公理始终为真。
从这样的结果可以得出什么结论？ 根据本文作者的个人观点，结论可能如下：在将关于对公式的干燥语言应用过滤器的合理想法转换时，以与现实失去联系的形式犯了一个错误，或者换句话说，并非以适当的方式识别并形式化了原始系统的所有属性。 。 好吧，要接受结果还是拒绝，当然要选择读者，他现在正清楚地知道如何独立地理解这些问题。