引言
本文考虑了以有限差分形式表示任意整数次n的任意多项式的可能性。 本文中的方法与现有方法的不同之处在于，所有公式都是针对具有任意系数的任意多项式推导的，以及将任意而不是单位间隔用作点之间的间隔。 所获得的公式具有通用性，可以直接用于计算多项式的“未来”和“过去”值。 即，例如，对于由具有任意系数的二次方程式表示的任何曲线，可以计算在任意相等间隔φ上仅具有3个先前已知的y值的所有值。 结果，引入了这样的陈述，即通过（n + 1）个等距点，可以绘制一个仅由度n的多项式表示的曲线。
免责声明
我不是数学家，我只是一个拥有20年经验的程序员。 我进行了独立研究，但没有找到与本文相同的结论。 对于现有发展的任何评论和“技巧”，我将不胜感激，其结论与我的结论相似（或接近）。
一般资讯
首先，我给出一个通用函数公式，用于计算由度n的多项式给出的函数S（t），并用等间隔φ上的（n +1）个先前值表示：
S（t）= sumn+1k=1（−1）k−1Ckn+1S（t−k varphi）
也就是说，例如，对于n = 1的多项式（法线），此公式如下所示：
S（t）=2S（t− varphi）−S（t−2 varphi）
对于n = 2的多项式，该公式将具有以下形式：
S（t）=3S（t− varphi）−3S（t−2 varphi）+S（t−3 varphi）
依此类推。
本文档提供
了详细的数学证明。 我还准备了验证代码，以JavaScript代码的形式执行。 您可以
在此链接上获得它。 在同一篇文章中，我将展示一些使用所得方程的实用结论和选择。
2级多项式的构造
对于一般理解，使用以下公式表示“ 2级多项式”：
S（t）=Q2t2+Q1t+Q0
但是，事实证明，您可以使用等式“有限差分”来计算该多项式的所有值（实际上，您只能计算带有任意步长φ的节点上的多项式的值）：
S（t）=3S（t− varphi）−3S（t−2 varphi）+S（t−3 varphi）
即，基于在相等的任意间隔φ上取的函数S（t）的任何三个值，可以获得所有多项式值。 我们在真实数据上显示这一点。 让实多项式由以下函数表示：
R（t）=1t2+2t+3
现在我们在点t = 111，t = 115和t = 119处计算函数R（t）的值。 也就是说，在这种情况下，步长为4。获得的值将为R（111）= 12546，R（115）= 13458和R（119）= 14402。 现在，我们使用具有有限差分的方程式来计算多项式的以下两个值：
R（123）=3R（119）−3R（115）+R（111）=15378
R（127）=3R（123）−3R（119）+R（115）=16386
容易计算出，使用公式以有限差分计算的值与使用“标准”公式计算的二阶多项式的值完全一致。
同样，使用有限差分公式可以计算“后退”值，而无需更改公式本身。 例如，要计算R（107）和R（103），我们得到以下信息：
R（107）=3R（111）−3R（115）+R（119）=11666
R（103）=3R（107）−3R（111）+R（115）=10818
同样，很容易计算出，使用有限差分公式获得的值与使用“标准”公式计算的二阶多项式的值完全一致。
对于所有后续学位，结果将相似。 我已经对多项式进行了高达99级的测试：使用“标准”公式获得的结果与使用有限差分获得的结果完全一致。
加法
我还想指出，构造n阶的多项式并不一定需要精确地（n + 1）个等距的点-您可以任意增加（将其表示为（m + 1））。 但是在这种情况下，您将需要将该公式用于次数为m的多项式。 可以通过以下示例进行说明：
Q 2 x 2 + Q 1 x + Q 0 = 0 x 4 + 0 x 3 + Q 2 x 2 + Q 1 x + Q 0
也就是说，对于第二阶多项式，您可以使用第四阶和第三阶多项式的公式-结果仍然正确。
结论
有限差分的公式允许人们计算（并表示为公式）任意整数度函数的任何多项式。 对于有限差分的方程，对于哪个多项式使用哪个系数都没有关系。 对于具有有限差分的方程式，初始点的间隔时间无关紧要-间隔可以任意小，也可以任意大。 与使用“标准”公式的计算相比，有限差的计算具有更高的准确性（由于缺少幂函数）。 有限差分中的多项式函数不用幂函数表示，因此，给定变量只能有一个值。 因此，通过（n + 1）个等距的点，可以画出由度为n的多项式表示的一条曲线。