最简单形式的数据压缩任务可以与数字及其符号有关。 数字可以用数字表示（数字
11表示
“十一” ），数学表达式（1048576表示
“二十分之
二” ），字符串表达式（99999表示
“五分之九” ），专有名词（666表示
“ 野兽的数目” ，
“图灵的去世年份” （适用于1954年），或它们的任意组合。 对话者可以明确确定适合哪种说话的任何指定都是合适的。 显然，告知对话者
“阶乘八”比等效的称呼
“四千三百二十二十”更为有效。 这就提出了一个逻辑问题：给定数字的最短名称是什么？
哲学家贝特朗·罗素（Bertrand Russell）在1908年发表了
《贝里悖论》 ，该书解决了对面的数字表示法问题：
最小的数字是什么，表明哪80个字母不够用？这样的数字必须存在：在80个俄语字母和空格中，您总共可以指定34
80个数字，这意味着使用80个字母您最多可以指定34
80个数字。 因此，不能以这种方式指定不超过34
80的特定数字。
这意味着名称
“最小的80个字母不够用”将对应于该数字，其中只有78个字母！ 一方面，这个数字必须存在。 另一方面，如果该数字存在，则其名称与之不符。 矛盾！
消除此矛盾的最简单方法是引用口头指定的非正式性。 就像，如果在符号中只允许一组特定的表达式，则
“最少80个字母不足的数字”将不是有效的名称，而
“阶乘8”类型的实际有用的名称将仍然有效。
是否存在正式的方法来描述对数字的操作的顺序（算法）？ 有很多，它们被称为编程语言。 我们将使用打印必要数字的程序（例如，在Python中）来代替语言符号。 例如，对于五个九，
print("9"*5)程序
print("9"*5)合适的。 对于给定的数量，我们将继续对最短的程序感兴趣。 这种程序的长度称为
Kolmogorov数的复杂度 。 这是可以压缩给定数字的理论极限。
现在可以考虑一个类似的问题，而不是Berry悖论：
千字节程序不足的最小数字是多少？我们将以与以前相同的方式进行争论：存在
256,1024千字节的文本，这意味着在千字节程序中最多可以显示
256,224个数字。 这意味着不能以这种方式推导出不大于256
1024的某个数字。
但是我们用Python编写了一个程序，该程序会生成所有可能的千字节文本，将其启动以执行，如果它们打印了某个数字，则会将该数字添加到可访问的字典中。 在检查了所有256
1024个可能性之后，无论花费多长时间-程序都会查找字典中没有的最小数字并显示该数字。 显然，这样的程序将适合千字节代码-并且将输出无法在千字节程序中显示的数字！
现在有什么收获？ 它不能再归因于符号的非正式性！
如果您对我们的程序需要一个天文数字的内存感到困惑-包含256
1024个元素的字典（或位图）-那么您可以在没有它的情况下执行相同的操作：对于256
1024个数字中的每一个，都可以遍历所有256
1024个程序，直到找到合适的程序为止。 没关系，这样的枚举会持续很长时间：从数字和程序中检查少于（256
1024 ）
2对后，它将结束并找到非常喜欢的数字。
还是不会结束？ 确实，在将要尝试的所有程序中，会有“
while True: pass （以及它的功能对应物）通过-并且检查该程序不会超出范围！
与Berry悖论不同，当时的问题在于符号的非正式性，在第二种情况下，我们对
“停止问题”进行了精心掩饰的重新表述。 事实是，根据程序，不可能在有限的时间内确定其结论。 特别是，Kolmogorov的复杂度是无法
计算的 ：没有一种算法可以让给定的数字找到输出该数字的最短程序的长度。 这意味着Berry问题没有解决方案-对于给定的数字，找到最短单词指定的长度。