我的工程师朋友最近使我感到惊讶。 他说，他不确定数字1是否为质数。 我很惊讶，因为没有一个数学家认为单位很简单。
混乱始于对质数的定义：
它是一个正整数，只能被1和自身整除 。 数字1除以1，然后自身除。 但是在这里将
自己与
1划分不是两个不同的因素。 那是素数吗？ 当我写素数的定义时，我试图消除这种歧义：我是直接说需要两个完全不同的条件，分别除以1和本身，或者素数必须是大于1的整数。但是为什么要采取这样的措施，排除1？
我的数学教育告诉我，为什么1不被视为简单的一个很好的理由是算术的基本定理。 她声称每个数字都可以用一种唯一的形式写为素数的乘积。 如果1很简单，我们将失去这种独特性。 我们可以将2写为1×2或1×1×2或1
594827 ×2。 质数的例外1消除了这一点。
最初，我计划在一篇文章中解释算术的基本定理并结束它。 但是实际上，改变定理的陈述以统一地解决问题并不是那么困难。 最后，我朋友的问题激发了我的好奇心：数学家如何看待这种素数的定义？ 在Wikipedia上进行的快速搜索显示，该单位以前被视为素数，但现在不是。 但是
克里斯·考德威尔（Chris Caldwell）和容成（Yong Sung）的一篇文章揭示了一个稍微复杂的故事。 从他们的文章的开头就可以理解这一点：“首先，数字（尤其是单位）是否简单是确定的问题，即选择，上下文和传统的问题，而不是证明的问题。 但是，定义不是随机发生的。 选择与我们对数学的使用有关，尤其是在这种情况下，与我们的符号有关。”
Caldwell和Xiong从古典希腊数学家开始。 他们没有将1视为数字，例如2、3、4，依此类推。 1被认为是数字，并且该数字由几个数字组成。 因此，1不可能简单-它甚至不是数字。 9世纪的阿拉伯数学家
Al-Kindi写道，这不是一个数字，因此也不是偶数或奇数。 许多世纪以来，一直流行一个观点：单位是编译所有数字的基础，而不是数字本身。
法兰德斯数学家西蒙·史蒂文（Simon Stevin）在1585年指出，在十进制系统中，1和任何其他数字之间没有区别。 在所有方面，1的行为与任何其他数量相同。 尽管不是立即，但这种观察最终导致数学家接受1作为其他任何数字。
直到19世纪末，一些杰出的数学家都认为一个简单而没有。 据我所知，这不是引起分歧的原因。 对于最流行的数学问题，差异并不严重。 Caldwell和Xiong引用G.H. Hardy作为最后一位认为1是简单的主要数学家（他在1908年至1933年间出版的《纯数学课程》的前六版中明确指出它是质数，并于1938年更改了定义并称为2最简单）。
本文提到但没有详细了解数学的变化，因为从素数列表中排除了其中的1。 特别地，重要的变化之一是在整数集合之外发展了作为整数的集合。
在最简单的示例中，我们可以询问数字-2是否为质数。 这个问题看似毫无意义，但是它促使我们用文字表达整数之间唯一性的作用。 1的最不寻常方面是它的逆数也是一个整数（
x的逆数是乘以
x时得到1的数字。对于2，1 / 2的逆数包含在有理数或实数集合中，但不包括在内）整数：1/2×2 = 1）。 数字1原来是它自己的反数字。 在整数集中，没有其他正整数具有逆值。 具有反值的数字称为
可逆元素 。 -1也是整数集合中的可逆元素：同样，它本身也是可逆元素。 我们不将可逆元素视为简单元素或复合元素，因为您可以将它们乘以其他一些可逆元素，而无需进行太多更改。 然后我们可以假设数字-2与2的差别不大； 在乘法方面。 如果2为质数，则-2必须相同。
由于不幸的事实是，这样的定义不适用于这些大型集合，因此我在上一段中谨慎地避免了对
简单定义的定义！ 也就是说，这有点不合逻辑，我会选择另一个。 对于正整数，每个质数
p具有两个属性：
不能将其写为两个整数的乘积，两个整数都不是可逆元素。
如果乘积
m×n可被
p整除，则
m或
n必须被
p整除（例如
m = 10，
n = 6和
p = 3）。
这些属性的第一个是我们如何表征素数，但是不幸的
是 ，在这里获得了
不可约元素 。 第二个属性是一个
简单元素 。 当然，在自然数的情况下，相同的数满足两个属性。 但这并不适用于所有有趣的数字集。
例如，考虑一组形式为
a +b√-5或
a +ib√5的数字 ，其中
a和
b是整数，而
i是-1的平方根。 如果将数字1 +√− 5和1-√− 5相乘，则得到6。当然，如果将2和3相乘，则也得到6，这两个数字也在
b = 0中 。 数字2、3、1 +√− 5和1 −√− 5中的每一个都不能表示为不是可逆元素的数字的乘积（如果您不相信我的话，验证起来就不太困难了）。 但是乘积（1 +√− 5）（1 −√− 5）可被2整除，而2不能被1 +√− 5或1 −√− 5整除（再次，您可以检查是否不相信我） 因此，2是一个不可约的元素，但并不简单。 在这组数字中，可以用两种不同的方式将6分解为不可约元素。
数学家可以将上述数字称为Z [√-5]，其中包含两个可逆元素：1和-1。 但是也有类似的数字集，其中包含无限数量的可逆元素。 由于这类集合成为研究的对象，因此有必要明确区分可逆，不可约和简单元素的定义。 尤其是，如果存在具有无限数量的可逆元素的数字集，除非弄清楚了可逆元素不能简单，否则越来越难理解我们所说的数字的因式分解。 尽管我不是数学的历史学家，也不处理数论，并且想阅读更多有关此过程的信息，但我认为这是Caldwell和Xiong考虑从质数中排除1的原因之一。
正如通常发生的那样，我最初简洁明了的答案是为什么一切都按原样安排，这一问题最终只是问题的一部分。 感谢我的朋友问一个问题，并帮助我更多地了解简单性的复杂历史。