致力于纪念约翰·福布斯·纳什（John Forbes Nash Jr.）
您还记得什么是“素数”吗？ 这些数字除了自己和1以外都不能被其他整数整除。现在，我将问一个已经有3000年历史的问题：
- 2，3，5，7，11，11，13，19，23，29， p 。 p等于多少？ 31.下一个p是什么？ 37.接下来的p ？ 41.接下来？ 43.是的，但是……我们怎么知道下一个含义是什么？
提出一个判断或公式（至少在罪恶中），以预测下一个质数（在任何给定的数字序列中）将是什么，并且您的名字将永远与人脑最伟大的成就之一相关。 您将与牛顿，爱因斯坦和哥德尔相提并论。 了解素数的行为，然后您就可以一生为自己感到骄傲。
引言
数学历史上许多伟大的人已经研究了素数的性质。 从欧几里德素数无穷大的第一个证明到欧拉积公式，该公式将素数与zeta函数相关。 从高斯和勒让德素定理的提法到哈达玛德和瓦尔普桑发明的证明。 但是，伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）仍然被认为是在质数理论中取得最大发现的数学家。 他在1859年发表的文章中只有八页，关于素数的分布有了新的，以前未知的发现。 本文仍然被认为是数论中最重要的文章之一。
黎曼的文章发表后，仍然是素数理论的主要工作，实际上成为1896年证明
素数分布定理的主要原因。 从那时起，发现了一些新证据，包括Selberg和Erdös的基本证据。 但是，关于zeta函数根的Riemann假设仍然是个谜。
有多少个质数？
让我们从一个简单的开始。 我们都知道数字是
素数或复数。 所有化合物编号都很简单，可以分解为其产品（axb）。 从这个意义上说，质数是数字的“构建块”或“基本要素”。 在公元前300年，欧几里得证明了它们的数量是无限的。 他的优雅证明如下：
欧几里德定理
假设素数集不是无限的。 创建所有素数的列表。 然后令P为列表中所有素数的乘积（我们将列表中的所有素数相乘）。 加到结果1：Q = P +1。 像所有数字一样，该自然数Q必须是简单的或复合的：
- 如果Q是质数，那么我们发现的质数不在我们的“所有质数列表”中。
- 如果Q不是简单的，则它是复合的，即 由质数组成，其中一个p将是Q的因数（因为所有化合物数都是质数的乘积）。 组成P的每个素数p显然都是P的除数。如果p是P和Q的除数，则它必须是它们之差即统一的除数。 没有质数除以1的因数，因此数字p不能在列表中-这与列表包含所有质数的事实矛盾。 总会有另一个质数p不在列表中，它是Q的因数。因此，有无限多个质数。
为什么素数这么难理解？
任何新来者都理解上述问题的事实，雄辩地说明了其复杂性。 尽管进行了积极的研究，甚至连素数的算术性质都很少被我们理解。 科学界对我们无法理解素数的行为非常有信心，以至于分解大数（定义两个素数，乘积是一个数字）仍然是加密理论的基础之一。 您可以如下查看它：
我们很了解复合数字。 这些都是非质数。 它们由质数组成，但是我们可以轻松地编写一个预测和/或生成复合数的公式。 这种“复合数字过滤器”称为
筛子 。 最著名的例子是大约公元前200年发明的所谓的“ Eratosthenes筛”。 他的工作是仅标记每个素数的整数倍直到给定边界。 假设我们采用质数2并标记4,6,8,10，依此类推。 然后取3并标记6,9,12,15，依此类推。 结果，我们将只有质数。 尽管很容易理解，但是您可以想象的Eratosthenes筛子并不是特别有效。
可以极大简化我们工作的函数之一是6n±1。此简单函数返回除2和3以外的所有素数，并删除所有3的倍数以及偶数。 替换n = 1,2,3,4,5,6,7得到以下结果：5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,35,37,41,43。 该函数生成的唯一非素数是25和35，可以分解为5 x 5和5 x7。您可能会猜到下一个非素数将是49 = 7 x 7、55 = 5 x 11等等。 一切都很容易，对吧？
为了直观地显示这一点，我使用了我所说的“复数楼梯”，这是一种方便的方法，用于显示由函数生成的复数是如何排列和组合的。 在下图的前三列中，我们看到质数5、7和11如何漂亮地爬上每个复数阶梯，达到91的值。在第四列中发生的混乱非常好，显示了筛子如何除去除质数以外的所有内容。说明为什么质数如此难理解。
基本资源
这一切与“里曼假设”与您可能听到的概念有什么联系？ 好吧，简单地说，是为了更多地了解素数，19世纪的数学家们停止了尝试以绝对精度预测素数的位置，而是开始将素数现象作为一个整体来考虑。 黎曼成为这种
分析方法的大师，并在这种方法的框架内创建了他著名的假设。 但是，在我开始解释它之前，有必要了解一些基本资源。
谐波行
调和数列是无穷无尽的数列，由Nikolai Orem于14世纪首次探索。 他的名字与和声的概念相关联-泛音高于基音的频率。 这些行如下：
无限谐波序列的第一个成员Orem证明了这个和是发散的（也就是说，没有有限的限制；它不接近也没有趋于任何特定的数字，而是指向无穷大）。
Zeta功能
调和级数是一种更为通用的函数，称为
zeta函数 ζ（s）。 实数zeta函数是为两个实数
r和
n定义的：
Zeta功能如果我们用n = 1代替，那么我们得到的谐波序列会发散。 但是，对于所有n> 1的值，级数
收敛 ，即r增大的和
趋于一定数量，并且不会达到无穷大。
欧拉公式
zeta函数与素数之间的第一个联系是由Euler建立的，他表示对于两个自然数（整数和大于零）
n和
p ，其中
p是素数，以下内容成立：
两个数字n和p的欧拉乘积，两个数字都大于零且p为质数。这种表述首先出现在1737年的一篇题为《
无穷大系列的无穷大观测》的文章中。 从表达式可以得出，
zeta函数之和等于
反一的数量乘积减去度数s的质数的倒数 。 这种惊人的联系为现代素数理论奠定了基础，自zeta函数ζ（s）开始被用作研究素数的方法。
公式的证明是我最喜欢的证明之一，因此我将介绍它，尽管出于我们的目的，这不是必需的（但它同样出色！）：
欧拉产品公式的证明
欧拉从常见的zeta函数开始
Zeta功能首先，他将两个部分乘以第二项：
Zeta函数乘以1/2 s然后，他从zeta函数中减去结果表达式：
Zeta函数减去zeta函数的1/2 秒他重复了这一过程，将双方都乘以第三项
Zeta函数减去1/2 s乘以zeta函数乘以1/3 s然后从zeta函数减去结果表达式
Zeta函数减去zeta函数的1/2倍乘以zeta函数的负1/3 秒如果无限期地重复此过程，最后我们将得到表达式：
1减去所有值，以质数乘以zeta函数如果您熟悉此过程，那是因为Euler本质上创建了一个与Eratosthenes筛子非常相似的筛子。 它从zeta函数中滤除非素数。
然后，我们将表达式划分为所有与质数成反比的项，并得到：
zeta函数与第一个质数2,3、5、7和11的质数的函数关系为了简化表达式，我们显示了以下内容：
欧拉工作的公式是一个等式，显示了素数与zeta函数之间的关系那不是很漂亮吗？ 我们用s = 1代替，我们发现了一个无限次谐波序列，反复证明了素数的无穷大。
莫比乌斯函数
奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯（August Ferdinand Mobius）重新编写了欧拉的作品，创造了新的数量。 除了与质数成反比的数量，Mobius函数还包含每个自然数，这是质数的偶数和奇数的乘积。 他的系列中排除的数字是可被某个质数平方除以的数。 它的和表示为
μ（n） ，具有以下形式：
Mobius函数是欧拉乘积的修改版本，适用于所有自然数总和包含反值：
- 每个素数；
- 对于每个自然数，它是带减号的不同质数的奇数的乘积； 和
- 对于每个自然数，它是偶数个不同质数的乘积，并带有加号；
第一个成员如下所示：
系列/单位总和除以zeta函数ζ（s）该总和不包含那些除以质数之一的平方的倒数，例如4.8.9，依此类推。
Mobius函数
μ（n）只能采用三个可能的值：前缀（1或-1）或从和中删除的成员（0）：
Mobius函数μ（n）的三个可能值尽管这个棘手的金额最初是由Mobius正式确定的，但值得注意的是，在他之前30年，高斯在边注中写下了这个金额：
“所有原始根的总和（素数p）或 ≡0 （当p-1被平方整除时）或 ≡ ±1（模p）（当p-1是不等质数的乘积时）； 如果它们的数量为偶数，则符号为正，但是如果数字为奇数，则符号为负。”
素数分配功能
让我们回到质数。 要了解素数在向上移动数字线时如何分布，而不确切知道它们在哪里，计算不超过某个数的质数会很有用。
高斯提出的素数π（x）的分布函数恰好满足了这一任务：它使我们得到的素数小于或等于给定实数。 由于我们不知道寻找素数的公式，因此素数分布的公式对于我们来说仅是一个图，或者当
x是素数时，
阶跃函数增加1。 下图显示了x = 200之前的函数。
质数π（x）直至x = 200的分布函数。素数分布定理
由高斯（和独立的勒让德勒）提出的素数分布定理指出：
素数分布定理用普通语言可以这样表示：“当x移至无穷大时，素数π（x）的分布函数将接近函数x / ln（x）。” 换句话说，如果您爬得足够远并且素数分布图上升到非常高的
x ，然后将
x除以自然对数
x，那么这两个函数
的比率将趋于1。下面的图显示了x = 1000时的两个函数：
质数π（x）的分布函数以及通过x等于1000的质数的分布定理进行的粗略估计从概率的角度来看，素数分布定理说，如果我们随机选择一个正整数x，则该数将成为质数的概率P（x）大约等于1 / ln（x）。 这意味着前
x个整数之间的连续质数之间的平均间隙约为ln（x）。
积分对数
函数Li（x）为所有正实数定义，x = 1除外。它由
2到
x的整数定义：
积分对数函数的积分表示在素数分布函数和素数分布定理的公式旁边绘制了该函数之后，我们看到Li（x）实际上比x / ln（x）更好的近似值：
Li（x）的整数对数，素数π（x）和x / ln（x）在同一图中的分布函数为了找出这种近似的更好之处，我们可以构建一个表，该表具有较大的x值，最多x的素数以及旧的（素数分布定理）和新的（积分对数）函数之间的误差：
高达给定幂数的素数的数量以及两个近似值的相应误差如您所见，积分对数的逼近度比质数分布定理中的函数好得多，对于x = 10的幂，它仅因314,890个质数而“犯了一个错误”，即14的幂。素数π（x）的分布函数。 Li（x）收敛快得多，但是当
x趋于无穷大时，素数的分布函数与函数Li（x）和x / ln（x）的比率接近1。我们清楚地证明了这一点：
x = 10,000时两个近似值的比率的收敛以及素数对1的分布函数伽玛功能
自1720年代丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）和克里斯蒂安·戈德巴赫（Christian Goldbach）研究将阶乘函数推广到非整数论证的问题以来，伽马函数Γ（z）就成为研究的重要对象。 这是阶乘函数
n的推广。 （1 x 2 x 3 x 4 x 5 x ....
N ）下移1：
为z定义的伽玛函数她的日程安排很好奇：
区间-6≤z≤6的伽马函数Γ（z）的图为所有大于零的
z的 复数值定义了伽马函数Γ（z）。 您可能知道，复数是一类具有
虚部的数字，记作Re（
z ）+ Im（
z ），其中Re（
z ）是实部（普通实数），Im（
z ）是虚部用字母
i表示。 复数通常以
z =σ+ it的形式编写，其中sigmaσ是实部，是虚数。 复数很有用，因为它们使数学家和工程师可以解决普通实数无法解决的问题。 在复数形式中，复数将传统的一维数字线延伸到称为
复数平面的二维数平面中，其中
复数的实部沿x轴布置，而虚数-沿y轴布置。
为了可以使用伽马函数Γ（z），通常将其重写为
伽马函数Γ（z）的函数关系使用此等式，我们可以获得z的值小于零。 但是，它没有给出负整数的值，因为它们没有定义（在形式上是退化或简单极点）。
Zeta和伽玛
zeta函数和gamma函数之间的关系由以下积分给出：
黎曼Zeta函数
熟悉了所有必要的基本资源后，我们终于可以开始建立素数和黎曼假设之间的联系。
德国数学家Bernhard Riemann于1826年出生于Brezlenets。 作为高斯的学生，Riemann在数学分析和几何学领域发表了一篇论文。 相信他在微分几何领域做出了最大的贡献，在那里他奠定了几何语言的基础，后来爱因斯坦在广义相对论中使用了几何语言。
他在数论方面的唯一著作是1859年
Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenenGrösse发表的论文 （“素数小于给定数量”），被认为是数学领域最重要的文章。 在短短的四页中，他概述了：
- 黎曼zeta函数ζ（s）-具有复数值的zeta函数的定义;
- zeta函数对所有复数s≠1的解析连续性；
- 黎曼xi函数ξ（s）的定义-通过伽马函数与黎曼zeta函数相关联的整个函数；
- 黎曼zeta函数泛函的两个证明；
- 使用素数的分布函数和Mobius函数确定黎曼素数J（x）的分布函数；
- 使用通过黎曼zeta函数的非平凡零定义的黎曼素数的分布函数，质数的显式公式小于给定数。
这是一个独创性和创造性思维的令人难以置信的例子，自那以后可能从未见过类似的例子。绝对出色的工作。黎曼Zeta函数
我们已经看到素数与Euler在他的作品中显示的zeta函数之间的紧密关系。但是，除了这种联系以外，对它们之间的关系知之甚少，需要发明复数来显示它们。黎曼是第一个考虑复变量s的zeta函数ζ（s）的人，其中s =σ+ i t。n的黎曼zeta函数，其中s =σ+是一个复数，其中σ和t是实数。这个无穷级数称为Riemann zeta函数ζ（s），它对所有复数的实部大于1（Re（s）> 1）进行解析（即具有可定义的值）。在这个定义领域，它绝对收敛。要分析通常收敛区域之外的区域中的函数（当复变量s的实部大于1时），需要重新定义该函数。黎曼通过对半平面Re（s）> 0上的绝对收敛函数执行解析连续来成功地解决了这一问题。Riemann zeta函数的重写形式，其中{x} = x-| x |Zeta函数的这个新定义可以在半平面Re（s）> 0的任何部分中进行分析，但s = 1除外，它是一个简并极点。在此定义域中，它被称为亚纯函数，因为它是全纯的（在其定义域中的每个点附近都可微分），除了简单极点s = 1之外。此外，它是Dirichlet L函数的一个很好的例子。黎曼在他的文章中并没有就此停止。他遍历整个 zeta函数ζ（s）的解析连续性使用伽马函数Γ（z）的复平面。为了不使帖子复杂化，我将不给出这些计算，但是我强烈建议您亲自查看它们，以确保黎曼的惊人直觉和技巧。他的方法使用复数变量的伽马Γ（z）的积分表示形式和Jacobi theta函数ϑ（x），可以用zeta函数出现的方式重写。在决定zeta时，我们得到：除了s = 0和s = 1处的两个简并性之外，整个复平面的功能zeta方程在这种形式下，我们注意到ψ（s）的下降速度快于x的任何幂次，因此积分收敛到s的所有值。更进一步，Riemann注意到，如果将s替换为1-s，则括号（-1 / s（1- s））中的第一项是不变的（不变）。因此，Riemann通过消除s = 0和s = 1处的两个极点并定义不退化的Riemann xi函数ξ（s），进一步扩展了方程的实用性：Xi-Riemann函数ξ（s）黎曼Zeta函数的零点
当ζ（s）= 0时，zeta函数的根/零可以分为两种类型，分别称为黎曼zeta函数的“平凡”和“非平凡”零。实部Re（s）<0的零的存在
零是易于找到和解释的零。它们在zeta函数的以下函数形式中最引人注意：黎曼函数zeta方程的变体，当正弦变为零时，乘积等于零。这在kπ值处发生。即，对于负的偶数整数s = -2n， zeta函数变为零。但是，对于正偶数s = 2n，零点会被伽马函数Γ（z）的极点抵消。以其原始功能形式更容易看到；如果我们用s = 2n代替，则该术语的第一部分变得不确定。因此，黎曼zeta函数在每个负偶数s = -2n中都为零。这些是琐碎的零，可以在函数图上看到：黎曼zeta函数ζ（s）在s = -2，-4，-6等处为零的图零存在且实部Re（s）> 1
从Euler zeta公式，我们可以立即看到，在s大于1 的区域中，zetaζ（s）不能为零，因为收敛的无限乘积只有在其因子之一等于零时才可以为零。素数无穷大的证明否定了这一点。欧拉公式实部0≤Re（s）≤1的零的存在
当Re（s）<0时，我们在负半平面中发现zeta的琐碎零，并表明在Re（s）> 1区域中没有零。但是，在过去的数百年中，这两个区域之间的区域（称为临界带）一直是解析数论关注的主要焦点。黎曼zeta函数ζ（s）的实部和虚部在-5 <Re <2，0 <Im <60区间中的图。在上图中，我用红色显示了zetaζ（s）的实部，并用蓝色显示了虚部。我们在左下角看到前两个琐碎的零，其中s的实数部分是-2和-4。在0和1之间，我确定了一个临界带，并注意到zetaζ的实部和虚部的交点。这些是黎曼zeta函数的非平凡零。上升到更高的值，我们将看到更多的零和两个看似随机的函数，它们随着虚部s的值增加而变得更密集。黎曼zeta函数ζ（s）的实部和虚部在-5 <Re <2，0 <Im <120希功能里曼
我们定义了黎曼xi函数ξ（s）（其中消除了所有简并性的函数方程的形式，也就是为s的所有值定义了它）：不退化的Riemann Xi函数，该函数满足关系Riemann xi函数的正负值之间的对称关系，这意味着该函数相对于垂直线Re（s）= 1/2 是对称的，即ξ（1）=ξ（0），ξ（2）=ξ（-1 ），等等。这种具有s和1- s对称性的函数关系与Euler乘积相结合，表明Riemann xi函数只能在0≤Re（s）≤1 的区间内具有零。换句话说，Riemann xi函数的零对应于非平凡的zeta零。黎曼函数。在某些方面，黎曼zeta函数ζ（s）的临界线R（s）= 1/2 对应于黎曼xi函数ξ（s）的实线（Im（s）= 0））查看上面显示的两个图，您可以立即注意到，对于Riemann zeta函数ζ（s）的所有非平凡零（Riemann xi函数的零），Re（s）的实部为1/2。黎曼在他的文章中简要提到了此财产，结果他的肤浅笔记被证明是他最大的遗产之一。黎曼假设
对于黎曼Zeta函数ζ（s）的非平凡零点，实部的形式为Re（s）= 1/2。
这是里曼在其著名文章中未经证实的假设的现代表述。它指出，临界条带0≤Re（s）≤1上zeta为零（ζ（s）= 0）的所有点均具有实部Re（s）= 1/2。如果是这样，则zeta的所有非平凡零将具有ζ（1/2 + i t）的形式。一个等效的公式（由黎曼本人表示）是黎曼xi函数ξ（s）的所有根都是实数。在下图中，线Re（s）= 1/2是水平轴。实部Re（小号）ζ电ζ（小号）是红线，和虚部Im（小号） -蓝色。非平凡的零是水平线上红色和蓝色图形之间的交点。Re（s）= 1/2线上的Riemann zeta函数的第一个非平凡零。如果Riemann假设成立，那么该函数的所有非平凡零都将在这条线上作为两个图的交点出现。相信假设的理由
-. , , . , . , , , , , . , , . (2004) — , , Li(
x ) , . , , — , , 34. , ,
. , « » .
黎曼zeta函数和素数
基于黎曼假设的真相，黎曼本人开始研究其后果。 在他的文章中，他写道：
“ ...所有根源都有很大的可能性。当然，这里需要严格的证明；在进行了几次不成功的尝试之后，我将推迟其搜索，因为它对于我的下一个研究目的而言似乎是可选的 。
” 他的下一个目标是将zeta函数的零与素数相关联。
回忆素数π（
x ）的分布函数，该函数计算素数到实数
x的数量。 黎曼使用π（
x ）来确定素数分布的本征函数，即黎曼素数J（
x ）的分布函数。 定义如下：
黎曼素数的分布函数您可以在此函数中注意到的第一件事是它不是无限的。 对于某项，分布函数将为零，因为
x <2没有素数。也就是说，以J（100）为例，我们得到该函数由七个成员组成，因为第八项将包含第八个根100，大约等于1.778279 ..即，素数分布的该成员等于0，并且总和等于J（100）= 28.5333 ...
像素数的分布函数一样，黎曼函数J（
x ）是阶跃函数，其值增加如下：
黎曼素数分布函数的可能值要将J（
x ）的值与
x的质数个数（包括
x ）联系起来，我们将使用称为Mobius求逆的过程返回质数π（
x ）的分布函数（在此不再显示）。 结果表达式将如下所示
素数π（x）的分布函数及其与黎曼素数和Mobius函数μ（n）的分布函数的关系回想一下Mobius函数的可能值的形式为
Mobius函数μ（n）的三个可能值这意味着现在我们可以将素数的任何分布函数写为黎曼素数的分布函数，这将使我们
素数的分布函数，写为n的前七个值的黎曼素数的分布函数这个新表达式仍然是最终总和，因为对于
x <2，J（
x ）等于零，因为没有质数小于2。
如果现在再次考虑具有J（100）的示例，则得出总和
x = 100的素数分布函数我们知道，这是小于100的素数。
转变欧拉积公式
然后黎曼以欧拉积为起点，并以一种不可计算的矩阵分析语言获得了素数的解析估计方法。 从欧拉开始：
欧拉前五个素的产品首先，取两边的对数，然后在方括号中重写分母，得出关系
欧拉乘积的重写公式的对数然后，他使用著名的Taylor-Maclaurin级数，在右侧扩展了每个对数项，从而创建了无限和的无限和，对于一系列素数中的每个项都有一个。
欧拉积对数的前四个项的泰勒展开考虑以下成员之一，例如：
第二项是Maclaurin分解1/3 ^ s与计算中的每个其他成员一样，该成员表示函数J（
x ）下的部分区域。 以积分形式：
Maclaurin扩展第二项的整数形式，持续1/3 ^ s换句话说，使用欧拉乘积，黎曼证明有可能以连续的积分和的形式表示素数的离散的逐步分布函数。 在下图中，我们采取的术语的示例显示为黎曼素数分布函数图下面积的一部分。
黎曼素数J（x）直至x = 50的分布函数，其中区分两个积分因此，一个有限总和中的每个表达式组成了一系列与欧拉积的质数成反比的量，可以表示为组成无穷积分之和的积分，这些积分对应于黎曼素数分布函数下的面积。 对于素数3，此无穷整数积分的形式为：
整数的无穷乘积，该整数构成质数分布函数下的面积，由整数3表示如果我们将所有这些无限大的和合在一起成为一个整数，那么可以用简单的形式写出黎曼素数J（
x ）的分布函数下的积分：
zeta的对数，表示为无穷整数或更知名
欧拉产品的现代等同物，将zeta函数与黎曼素数的分布函数联系起来由于这个原因，黎曼成功地用matanalysis语言将他的zeta函数ζ（
s ）与黎曼素数J（
x ）的分布函数连接起来，等效于欧拉积的公式。
失误
获得了欧拉积的这种分析形式后，黎曼开始着手针对素数分布制定自己的定理。 他以以下明确的形式介绍了它：
“黎曼引物分布定理”，它预测少于给定数量x的素数这是一个明确的黎曼公式。 它成为素数分布定理的改进，更精确地估计了素数到
x的数量。 该公式由四个成员组成：
- 第一项或“主要”项是Li（ x ）的积分对数，它是根据素数分布定理改进素数π（ x ）分布函数的近似值。 这是最大的项，并且正如我们所看到的，它将素数增加到给定的x值。
- 第二项或“周期”项是x乘以ρ的幂的对数的x的对数之和，这是Riemann zeta函数的非平凡零。 该成员控制核心成员的高估。
- 第三个成员是常数-log（2）= -0.6993147 ...
- 第四项也是最后一项是积分，对于x <2，因为没有质数小于2，所以等于零。当积分约为0.1400101 ...时，最大值为2。
随着
x的增加，后两项对函数值的影响变得很小。 对大数的主要“贡献”是由对数积分函数和周期和构成。 在图表上查看其效果：
质数π（x）的分布的阶跃函数，使用ρ黎曼zeta函数的前35个非平凡零点，通过用于黎曼素数J（x）的分布函数的显式公式进行近似。在上图中，我使用黎曼素数分布函数J（
x ）的显式公式对素数分布函数π（
x ）进行了近似，并对黎曼zeta函数ζ（s）的前35个非平凡零点求和。 我们看到，周期项使函数“共振”并开始接近素数π（
x ）的分布函数的形状。
以下是使用更多非平凡零的同一图。
使用ρRiemann zeta函数的前100个非平凡零，通过显式公式为Riemann素数J（x）进行分布的素数分布pi（x）的阶跃函数。使用显式黎曼函数，我们可以非常精确地近似素数到给定数
x的数量。 实际上，1901年，尼尔斯·科赫（Niels Koch）证明，使用黎曼zeta函数的非平凡零点来校正积分对数函数的误差等于质数分布定理中误差的“最佳”边界。
“ ...这些零的行为就像电报极，而黎曼zeta函数的特殊性质恰好决定了导线（其图形）应如何在它们之间悬挂...”，-Dan Rockmore
结语
黎曼（Riemann）于1866年去世，享年39岁，他的开创性文章继续是解析数论和质数论领域的指南。 直到今天，尽管许多伟大的数学家都进行了积极的研究，但黎曼zeta函数的非平凡零的黎曼假设仍未解决。 每年，都会发布与该假设相关的各种新结果和猜想，以期有一天这些证据能够成为现实。