🔤 🔈 🐁 数学最美丽的定理：欧拉的恒等式 🥘 🍟 😅

看了罗宾·威尔逊教授关于欧拉身份的演讲后，我终于能够理解为什么欧拉身份是最美丽的方程式。为了分享我对该主题的钦佩并增强我自己的知识，我将概述在演讲中所做的笔记。在这里，您可以购买他的精彩著作。

没有什么比虚数与实数的相互作用更神秘呢？ 2004年，“ 物理学世界 ”杂志的读者提出了这样一个问题，以强调欧拉方程的美妙性： “ e等于pi的负值 。

图1.0 ：欧拉恒等式-e的度数为i乘以pi，加一为零。

1988年早些时候，为美国数学杂志The Mathematical Intelligencer撰写文章的数学家David Wells编制了24个数学定理的清单，并进行了一项调查，要求其读者选择最美丽的定理。欧拉方程式大获全胜后，它获得了“数学上最美丽的方程式”的称号。

图2.0 ：The Mathematical Intelligencer杂志封面

图3.0 ：David Wells的一本杂志民意调查

莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）被称为历史上生产力最高的数学家。其他杰出的数学家也受到他工作的启发。理查德·费曼（Richard Feynman）是世界上最好的物理学家之一，在他有关物理学的著名演讲中，称欧拉方程为“数学上最杰出的公式”。 另一个了不起的数学家迈克尔·阿提亚（Michael Atiyah）将此公式称为 “……哈姆雷特短语的数学对应形式”，无论是否“很简短，非常简洁，同时又非常深刻” 。

关于欧拉方程，有许多有趣的事实。例如，在《辛普森一家》的某些剧集中都可以找到它。

图4.0 ：在此场景中，可以在最右边堆栈的第二本书中看到Euler方程。

图5.0 ：在此场景中，欧拉方程写在第二角色的T恤上。

而且，欧拉方程式已成为刑事案件的重点。 2003年，加利福尼亚理工学院的研究生比利·科特雷尔（Billy Cottrell）在其他人的跑车上绘制了欧拉方程。在审判中，他说：“ 我从五岁起就知道欧拉定理，每个人都必须知道 。”

图6.0 ：1983年在德国发行的纪念欧拉逝世一百周年的邮票。

图7.0 ：1957年，瑞士为纪念欧拉诞辰250周年而发行的邮票。

为什么欧拉方程式如此重要？

您完全想知道：为什么Billy Cottrell认为每个人都应该了解Euler方程？并对此非常确定，以至于他开始在其他人的机器上编写它？答案很简单：欧拉使用数学的三个基本常数，并应用乘法和乘幂的数学运算来写一个漂亮的公式，得出零或负一。

常数e与幂函数有关。
常数i不是实数，而是一个等于负1的平方根的虚数。
著名的常数π （pi）与圆相连。

1748年，欧拉的身份首次出现在他的《 无限分析》中的《 介绍》中 。后来，其他人看到该公式与正弦和余弦的三角函数相关联，并且这种联系是惊人的，因为幂函数趋于无穷大，并且三角函数的范围从-1到-1。

e乘以i乘以ϕ（phi）= cos ϕ + i * sin ϕ

图8.0 ：指数函数y = e ^x 。

图8.1 ：Euler身份图

图8.2 ：LC电路发射的频率。

上面显示的方程式和图表可能看起来很抽象，但是它们对量子物理学和图像处理计算很重要，并且同时取决于Euler的身份。

1：帐号

1（单位）是我们微积分系统的基础。随着她，我们开始数数。但是我们怎么想呢？为了进行计数，我们使用数字0–9和确定数字值的数字系统。

例如，数字323表示300、2、10和3个单位。在此，数字3扮演两个不同的角色，具体取决于其位置。

323 =（3 * 100）+（2 * 10）+（3 * 1）

还有另一种微积分系统，称为二进制。在此系统中，使用的是2而不是10。它广泛用于计算机和编程中。例如，在二进制系统中：

1001 =（2 ³ ）+（0 ² ）+（0 ¹ ）+（2 ⁰ ）= [在以10为底的系统中为9]

谁创建了微积分系统？第一个人如何计算物体或动物？

我们的微积分系统是如何产生的？最初的文明怎么想？我们肯定知道他们没有使用我们的位系统。例如，4000年前，古埃及人使用带有不同符号的数字系统。但是，他们组合了字符以创建数字的新字符。

图11 ：此处显示的象形文字形成编号4622； 这是在卡纳克神庙（埃及）的寺庙墙上雕刻的数字之一。

图12 ：象形文字是代表单词的图像，在这种情况下，代表数字。

同时，在另一个地方，另一个社会发现了一种计数方法，但是其中也使用了符号。另外，他们的微积分的基础是60，而不是10。我们使用他们的计数方法来确定时间。因此，一分钟要60分钟，一小时要60分钟。

图13 ：十六进制数字系统（以60为底）的巴比伦数字。

一千年后，古罗马人发明了罗马数字。他们用字母表示数字。罗马记号不被视为位系统，因为对于我们的数字系统的许多值，在其中使用了不同的字母。出于这个原因，他们使用算盘进行计数。

图14 ：十六进制（以16为底）数字系统的罗马算盘

图15 ：阿拉伯到罗马的转换表

古希腊人也没有使用数字系统。希腊数学家用字母表示数字。他们使用特殊的字母来表示100到900之间的数字。当时许多人认为希腊数字令人困惑。

图15 ：古希腊字母表。

同时，中国数学家开始使用小竹棍进行计算。这种中文计数方法称为第一个小数位系统。

图16 ：中文计数方式。 至少从公元前400年开始使用。 方形计数板一直使用到大约1500年，之后用算盘代替。

但是，玛雅印第安人使用的是最独特的帐户系统。他们的数字系统以20为底数。为了表示1到19之间的数字，他们使用点和线。他们的号码系统有什么区别？对于每个数字，他们都使用头像和一个单独的零符号0。

图17：以20为底的玛雅数字系统，其中的数字用头表示

图18 ：另一种写玛雅数字的方法。

0：不显示数字

例如，某些文明使用空格来区分数字101和11。一段时间后，一个特殊的数字开始出现-零。例如，在印度城市瓜廖尔的一个山洞里，考古学家在墙上发现了数字270，其中为零。最初记录的零使用可以在Bodleian库中看到。

图19 ：瓜廖尔神庙墙上刻的圆圈表示零。 他大约1,500岁。

图20 ：Bakhshali手稿中的黑点表示零； 这是使用数字的最古老的书面示例，大约有1800年的历史。

大约在1400年前，制定了零计算规则。例如，将负数和零相加会产生相同的负数。不允许除以零，因为如果除以零，我们得到的数字可以等于所需的任何数字，应禁止这样做。

不久之后，许多人出版了有关算术的书籍，这些书籍传播了印度-阿拉伯数字表示法的使用。以下是印度阿拉伯数字的演变。大多数国家使用印度阿拉伯数字系统，但是阿拉伯国家仍然使用阿拉伯数字。

图21 ：此图显示了数字的演变，其起源于梵语的数字，以我们今天使用的数字结尾。

图22 ：来自Gregor Reish的Margarita Philosophica的经典雕刻“算术”，描绘了Boethius之间的竞争，Boethius在发现印度阿拉伯数字和书面计算后微笑，而皱着眉头的Pythagoras仍在尝试使用数字板。

Pi（π）：最著名的无理数

Pi是我们所知道的最受欢迎的非理性数字。 Pi可以通过两种方式找到：通过计算圆的周长与其直径之比，或圆的面积与其半径的平方之比。欧几里得证明，这些关系对于所有圈子都是恒定的，甚至对月亮，便士，轮胎等也是如此。

π=圆/直径或π=圆面积/半径²

图22 ：圆和直径之间相对于pi的动画关系。

由于像pi这样的无理数是无限的并且没有重复，因此我们将永远无法完成pi的编写。它永远持续下去。有人记得许多小数位数pi（当前记录为70,000位！资料来源：吉尼斯世界纪录大全）。

图23 ：对941位受访者的调查数据，以确定能记住小数点后的pi字符的人的百分比。

图24 ：维也纳的Karlsplatz地铁站的墙壁上记录了数百次pi排放。

当前，计算机已经能够计算总计2.7万亿个pi位。看起来可能很多，但实际上这条路是无止境的。

就像我在上面说的那样，数字pi找到了Euclid。但是当人们需要找到一个圆的区域时，人们在欧几里德之前做了什么？历史学家发现了巴比伦泥板，其中记录了六边形的周长与其周围描述的圆的直径之比。经过计算，结果数字为3.125。它非常接近pi。

图24 ：巴比伦粘土片，其六边形的周长与外接圆的长度之比。

图25 ： Numberwarrior

古埃及人也接近pi的含义。历史学家发现了一份文件，显示了古埃及人如何发现数字pi。历史学家翻译文档时，发现以下任务：

例如，要查找直径为9 hat（1 hat = 52.35米）的字段的面积，您需要执行以下计算：

减去直径的1/9，即1。余数为8。乘以8，得到64。因此，面积为64 setjat（面积单位）。

换句话说，直径为2r，半径的1/9为（1/9•2r）。然后，如果我们从初始直径中减去此值，则得到2r-（1/9•2r）= 8/9（2r）。则圆的面积为256/81r²。即，pi几乎为3.16。他们在大约4,000年前发现了这个pi值。

图26 ： Achmes的数学纸莎草纸。

但是，希腊数学家找到了一种更好的计算pi的方法。例如，阿基米德更喜欢使用周界。他开始绘制描述不同尺寸多边形的圆圈。当他绘制六边形时，他绘制了一个直径为1的圆。然后他看到六边形的每边为1/2，六边形的周长为1/2 x 6 =3。然后，他增加了多边形的边数，直到看起来像一个圆。使用96面多边形并应用相同的方法，他在小数点后得到2个十进制数字pi：3和10/71 = 3.14084。多年后，中国数学家刘虎使用了3072边的多边形，并得到了数字3.14159（小数点后pi的5个有效十进制数字）。此后，另一位中国数学家祖春芝的工作更加出色。他使用24000面的多边形，得到3.1415926-小数点后七个有效的十进制数字pi。

一千年后，德国数学家Ludolf Zeilen处理了2个⁶²面的多边形，并获得了35个十进制数字pi。这个数字，称为柳道夫（Lyudolfov），刻在他的墓碑上。

1706年，长期担任天文学教授的英国人约翰·马钦（John Machin）使用加法公式证明pi等于

Macin并不担心此公式的来源，因此开始不断使用它，然后写下了以下所示的系列。这是当时pi位数最大的一步。

图29 ： pi的Machin公式

但是，第一次提到pi是在1706年。数学老师威廉·琼斯（William Jones）写了一本书，首先提出了用于测量圆的圆周率。所以pi首先出现在书中！

图30 ： Juliabloggers

1873年，威廉·香克斯（William Shanks）使用了约翰·马钦（John Machin）公式，并收到707个十进制数字pi。这些数字写在巴黎发现宫的房间里。但是，后来的数学家发现只有527位数字是正确的。

图31 ：pi房间

另一方面，布冯发现了一种发现pi的更有趣的方法。他的实验基于随机散布的针头来评估pi。他在距离D的板上画了几条平行线，并取了长度为L的针。然后，他开始随机将针扔到板上，记下穿过线的针的比例。

图32.0 ：科学星期五

此后，另一名叫拉扎里尼（Lazzarini）的数学家将针拨了3408次，并以355/113的比率接收到六个小数位数pi 。但是，如果一根针没有越过线，则他将只收到2位pi。

图32.1 ：投掷1000针以估计近似圆周率

e：指数增长的历史

e是另一个著名的无理数。分数部分e也像pi一样是无穷大的。我们使用数字e来计算幂（指数）增长。换句话说，当我们看到非常快的增长或下降时，我们使用e 。

伦纳德·欧拉（Leonard Euler）是最伟大的数学家之一，也许也是最好的数学家，他于1736年发现了数字e ，并在他的《 力学》一书中首次提到了这个特殊数字。

图33 ：来源

要了解指数级增长，我们可以使用国际象棋发明家的故事。当他提出这个游戏时，他把它展示给了北方的统治者。国王喜欢这场比赛，他答应给他任何回报。然后，发明人提出了一个非常简单的要求：棋盘的第一个单元2个⁰粒，棋盘的第二个单元2个¹粒，三分之一的2个²粒，依此类推。每次，谷物的数量增加一倍。北方国王认为该请求很容易实现，但他误会了，因为有必要在最后一个单元中放置2 ⁶³粒谷物，即9 223 372 036 854 775 808 。这是指数增长。它从1开始，不断增加一倍，经过64步，它增长了很多！

如果国际象棋发明者选择一个线性方程，例如2n，他将得到2、4、6、8，... 128 ...因此，从长远来看，指数增长通常远远超过多项式。

顺便说一下， 9,223,372,036,854,775,808-1是64位有符号整数的最大值。

图34 ：来源：维基百科

数字e是欧拉发现的。但是，雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）在计算复利时也使用数字e来赚钱。如果您以收入的10％投资$ 100，该金额将如何增长？首先，这取决于银行计算利息的频率。例如，如果他计算一次，那么到年底我们将收到$ 110。如果我们改变主意并每六个月关注一次，那么在这种情况下，我们将获得超过110美元。事实是，在前6个月中收到的百分比也将获得其百分比。总金额为110.25美元。您可以猜测，如果我们每个季度都拿钱，我们可以获得更多的钱。如果我们缩短时间间隔，最终金额将继续增长。这样无限的复利将使我们变得富有！但是，我们的总收入倾向于与e相关联的有限价值。

Bernoulli并未将数字2.71828称为e 。当Euler使用2.71828时，他将指数函数e提升为x的幂。他在“ 无限分析 ”一书中概述了他的发现。

1798年，托马斯·马尔萨斯（Thomas Malthus）在关于未来营养缺乏的论文中使用了指数函数。他创建了显示粮食生产的折线图和显示世界人口的指数图。马尔萨斯总结说，从长远来看，指数级增长将取得成功，世界将面临严重的粮食短缺。这种现象被称为“马尔萨斯灾难”。牛顿还使用此模型来显示一杯茶的冷却方式。

图35 ：牛顿-里希曼定律

图36 ：马尔萨斯灾难

虚数：i，平方根-1

长期以来，数学家有足够的普通数字来解决他们的问题。但是，在他们进一步发展的某个时刻，他们需要发现一些新的和神秘的东西。 , 10 2 , 40. , : x (10-x) = 40. , : 5 √-15 5 √-15, . , , . , . , . , √-1 ( ) i , .

√-1:

复数是神圣精神的美好而美好的庇护所，几乎是两栖动物的虚无。

我们可以对虚数进行加，减，乘和除。加法，减法和乘法很简单，而除法则稍微复杂一些。实部和虚部分别折叠。在乘法的情况下，i ²等于-1。

欧拉之后，数学家卡斯珀·韦塞尔（Caspar Wessel）几何地引入了虚数，并创建了一个复杂的平面。今天，我们将每个复数a + bi表示为具有坐标（a，b）的点。