根据平斯克（Pinsker）的“弱假设”的彻底证明，对变化的所有描述都是偶然性和确定性的独特结合。
想象一下一个花园，世界上所有的花都在这里生长-精美的兰花，参天的向日葵，卡耐基仙人掌的蜡花和
泰坦尼克属的臭花序。 现在想象一下，所有这些植物多样性只能归结为两个选择，而通过交叉选择，您可以生产所有其他选择。
这是近年来获得的最根本的证据之一。 它是由加利福尼亚大学洛杉矶分校的数学家
蒂姆·奥斯汀 （
Tim Austin ）制造的。 但是，奥斯丁的作品不是花朵，而是与数学中研究最多的对象之一相关：变化的数学描述。
这些称为
动态系统的描述适用于从行星运动到股票市场波动的所有事物。 无论何时出现动态系统，数学家都希望了解其基本原理。 基本事实之一是，任何任意复杂的动态系统都可以分为随机和确定性元素。
这个问题是Pinsker的“弱假设”的主题，该假说最早是在1970年代提出的。 奥斯丁提出的假设证明提供了一种优雅而直观的方法来思考各种晦涩的现象。 他表明，实质上，每个动态系统都是偶然性和确定性的混合体。
命运与机会
动态系统以一些输入数据（例如，摆的位置）开始，应用某些规则（例如，牛顿运动定律），并产生一定的结果，例如，在一秒内摆的位置。 重要的是，动态系统使您可以重复此过程：您可以摆一个新的摆锤，应用相同的规则，并在另一秒内获得它的位置。
动态系统也是纯数学的。 您可以选择起始数字，应用规则“将数字乘以2”并得到一个新的数字。 该系统还允许您将总数输入回规则处理程序中，并获得更多的数字。
某些类型的动力学系统可以表示为两个简单动力学系统的组合。 这两个系统彼此独立工作，但是可以将它们组合起来以形成更复杂的系统。 例如，想象一个动态系统沿着圆柱体表面移动一个点。 输入点的位置，应用规则，然后获得另一个点。
该系统可以分解为两个简单的系统。 首先是一个动态系统，它围绕一个圆点移动一个点。 第二个是垂直向上和向下移动点的系统。 通过组合两个系统（圆周运动和直线运动），我们可以沿着圆柱体获得更复杂的点运动。
波士顿学院的数学家
凯瑟琳·林赛 （
Catherine Lindsay）表示：“您需要将其分解为有意义的一部分，而不是研究整个动力学系统。”
这些构件的作用有两种自然的选择。 前者是完全确定性的动力学系统，例如我们的钟摆示例。 如果您知道摆锤在某个时间点的位置，则可以在将来的任何时候进行预测。
简·保罗·图文诺（Jean-Paul Tuveno）于1975年，比平克的弱假设更早提出第二种动态系统是完全随机的。 例如，想象一个具有以下规则的动态系统：投掷硬币。 如果有鹰，请向左走一步； 如果有尾巴，对。 最终路径将是完全随机的，也就是说，即使您了解上一条路径的所有内容，此信息也无法帮助您预测下一步。
一些动态系统是完全随机的，其他系统是完全确定性的，并且大多数介于两者之间-它们是两者的混合体。 例如，想象一下我们随机游走的略微修改版本。 我们沿着一条沿其边缘种有花的小路行走，它们的颜色也是随机的。 规则保持不变：如果鹰落下，向左走； 如果有尾巴，对。 花的颜色顺序是什么？
首先，您说随机。 毕竟，颜色本身是随机选择的，您的移动也是随机的。 但是，仅当您通过一朵花之后，将来再通过它的可能性就会增加，这仅仅是因为您距离它不远。 花的颜色顺序不会完全随机。
奥斯汀说：“如果您站在红色旁边，那么您将有更多的机会在两步中再次遇到红色，因为您可能会先向左走，然后向右走，然后返回同一位置。”
这样的“随机遍历随机景观”会产生输出（一系列颜色），部分是随机的，部分不是。 1960年，数学家马克·平斯克（Mark Pinsker）提出，某些大型动力学系统具有以下特性：它们是随机动力学系统与确定性系统的混合。
Pinsker的猜想适用于具有重要共同性质的一类动力学系统。 它们之间的点彼此相距不远，并且在系统开发过程中不会缩小。 更准确地说，如果围绕空间中的一组点绘制一个环（该空间可能像圆柱面一样），则需要很长一段时间开始开发动态系统，然后围绕所得的一组点绘制一个环，然后围绕这些点绘制面积最后，与他们一开始所占据的区域重合。 这种系统称为“措施保留”
普林斯顿大学的数学家
阿萨夫·纳尔 （
Assaf Naor）说：“如果平斯克的原始假设是正确的，那将是对世界的惊人描述。” 但是平斯克错了。 1973年，
唐纳德·奥恩斯坦 （
Donald Ornstein）推翻了他的假设。 西北大学的数学家
Brina Kra说：“措辞过于野心勃勃。”
在数学中，经常会发生这样的情况，即在驳斥了一般假设之后，数学家们试图制定一个更为适度的版本。 1977年，数学家让·保罗·图韦诺提出了弱平克假说。 他软化了最初的表述，暗示平斯克所想到的动态系统是将纯随机系统与几乎完全确定性的系统相结合的结果。
精炼“几乎”将Tuveno的假设与Pinsker的假设区分开来。 他的意思是，简单的确定性系统应该具有一定的机会。 该痕迹可能会消失得很小，但应该在那里。 杜维诺说，虽然他在场，但平斯克的想法会奏效。
Naor说：“它与最初的假设很接近，而Tuveno表明，如果是这样，那么该假设将具有大量出色的应用。”
在接下来的几十年中，数学家在证明平斯克的弱假设方面没有取得太大的成功。 缺乏进步使杜文诺认为，即使是他的措辞减弱，也将证明是错误的。 他说：“在某一时刻，我认为一切都会相反，不会是普遍的。”
然后蒂姆·奥斯丁出现了。
分步解决
为了证明Pinsker的弱假设，有必要找到一种精确的方法来筛选动态系统-允许它分离其随机部分和几乎确定性部分。 先前的工作已经确定，以很少的随机性隔离元素将是最困难的。
Tuveno说：“小型随机因素很难捕获，证据的中心部分是找到一种检测小型随机结构的方法。”
蒂姆·奥斯汀（Tim Austin），加利福尼亚大学洛杉矶分校的数学家奥斯汀设法通过改变观点来处理动态系统中小的随机元素。 动态系统在连续的空间中运行，例如沿着圆柱体表面移动的点或在空间中摆动的摆锤。 在这些空间中，点根据动力学系统的规则沿着连续的弧线移动。 而且，这些系统可以执行无数个步骤-它们可以永远起作用。
但是奥斯汀在证明中放弃了连续的光滑空间，而忘记了动力学系统的永恒工作。 相反，他开始分析如果允许他们不连续地工作（例如一百万步）会发生什么。 因此，他采用了Tuveno发明的方法。
奥斯汀说：“图韦诺的主要贡献是他意识到，只要用长有限线执行正确的数学步骤，就可以证明动力学系统的性质。” “我的主要贡献是，我证明了长线的需求。”
奥斯丁设想了一个动态系统，该系统发出一个由一和零组成的序列。 如果动态系统正在抛硬币，那么很容易想象：尾巴将为1，头将为0。但是任何动态系统都可以通过简单地将其工作空间划分为两个（不一定相等）来生成二进制序列。零件。
返回到圆柱体上动态系统的示例，如果该点在圆柱体的一部分上，则表示系统1的输出值，如果在另一部分上，则表示系统0的输出值。
奥斯丁使用一种称为
Hamming Cubes的
信息理论工具分析了这些二进制序列。 想象一个由边连接的顶点立方体。 二进制数字分配给每个顶点（例如001或101）。每次从一个顶点切换到另一个顶点时，三个数字之一都会更改。
Hamming多维数据集可能比我们的复杂得多，它们在维度上可以具有比三个更多的边和顶点，但是它们都具有属性，因此，任意两个顶点之间的距离-或需要移动的边数从一个顶点到另一个顶点的距离等于区分对应于这些顶点的信息线的位置数。 因此，000位于距001的一个边，距011的两个边和距111的三个边的距离处。
为了隔离组成复杂动态系统的随机和确定性元素，奥斯丁考虑了动态系统多久可以产生给定的零序列和汉明立方体表示的序列。 他证明了这些序列以某种方式分布在一个立方体中。 它们聚集在少量的立方体子区域中-这个集群反映了系统的确定性-但是，它们随机分布在这些集群中的序列之间，这反映了系统的随机性。
这种回旋处对于解决不会屈服于直接攻击的问题是必要的。
德克萨斯大学奥斯汀分校的数学家刘易斯·鲍文（Lewis Bowen）表示：“令我惊讶的不是平斯克（Pinsker）虚假假设的真实性或虚假性，而是事实证明了这一点，因为这项任务似乎非常隐蔽。 “在证据出现之前，我们大体上不知道是否可以做到这一点。”
奥斯丁的结果为各种动力学系统提供了基本结构。 对于经常在似乎相互关联的对象之间旋转的数学家来说，尚不清楚证明如何给出确切的地理位置。 现在，他们为这些动态系统提供了指南，尽管仍然未知会导致什么样的发现。
Lindsay说：“数学家总是对构成任何事物的构建块感兴趣。” “奥斯汀的证明是一个极好的结果，它可能在纯数学中有许多应用，但我不能说它们将会是什么。”