Brokar问题的推广

故事

希尔伯特（Hilbert）于1900年在巴黎举行的第二届国际数学家大会上指出了数论的实际重要性。 解决抽象问题通常导致出现一种新的数学仪器。 一个生动的例子就是大费马定理，在其证明中，在20世纪末，对汽车和飞机厂的现代设计工程师以及仿真框架中的IT专家使用的亚纯函数进行了研究。 “美丽数字”的问题-简单的双胞胎和完美的数字，在古希腊被认为几乎没有用，现在为现代密码学提供了稳定的密钥生成算法。

在1913年，拉马努扬推广了不定式：

$$

$$n！+1 = m ^ 2（1）$$

以前，它出现在Henri Brocard的作品中。 根据历史学家的说法，两位数学家开始相互独立地研究该方程。 显然，阶乘的增长快于平方，因此可以通过枚举n的值来快速获得第一个解。 我们得到：

$$

$$4！= 5 ^ 2-1$$

$$

$$5！= 11 ^ 2-1$$

$$

$$7！= 71 ^ 2-1$$

在2000年，通过计算机枚举检查了这些值 $$$n$ 之前 $$$10 ^ 9$ ，并且找不到新的解决方案。 这篇文章提出了我检查Brokar问题特殊情况的方法，还提出了数学问题的广义版本，无论ABC假设如何，该问题的解决方案都可以求解以下形式的方程：

$$

$$n！= P（x）$$

先决条件

模块化算法是功能强大的工具，可用于初步评估问题的复杂性和特殊情况的分配。 例如，很容易证明 $$$m$ Brokar的问题没有解决方案，因为除团结外，任何自然数的阶乘都是偶数。 一对值的前提 $$$（n，m）$ 在Brokard方程中，阶乘除因式为：

$$

$$m ^ 2-1$$

根据定义，阶乘是连续自然数的乘积。 利用自然级数的性质，可以确定阶乘的规范分解中一个或另一个素数的度。 举个例子 $$$16$ 包含16个连续因子。 第二个因子除以2，每4个因子除以4，每8个因子除以8，每16个因子除以16。因此，分解 $$$16$ 因数包含2的幂 $$$1 + 2 + 4 + 8 = 15美$ 。 从这里如果有一对 $$$（16，米）$ 是解决布罗卡问题的方法 $$$m ^ 2$ 除以2的任何乘方之前，必须除以1的余数直到15，包括15。 我们为 $$$m$ 在求解方程式1时：

让 $$$n！$ 不超过一定程度 $$$k$ 质数 $$$p$ 还有一个数字 $$$m$ 在那对 $$$（n，m）$ 是方程式1的解。 $$$m ^ 2-1$ 必须分为所有学位 $$$p$ 之前 $$$F（k）$ 在哪里 $$$F$ -度数计算功能 $$$p$ 在分解中 $$$n！$ 。 （2）

P属性

假设存在一种算法A检查某个素数的必要条件2 $$$p$ 。 我们称这种算法为P检验。 让自然也有 $$$n$ 满足条件： $$$（n-1）！ <m ^ 2 <n！$
那我们说那个数字 $$$m$ 拥有P财产。

考虑任意的​​2测试过程 $$$m$ 介于 $$$1023！$ 和 $$$1024$ 。 对于 $$$m ^ 2$ 以下陈述是正确的：

1. $$$m ^ 2$ 除以2的所有幂时，得到的余数为1 $$$2 ^ {1023-10 = 1013}$ 包括在内
2. $$$m ^ 2-1$ 不除以 $$$2 ^ {1024-10 = 1014}$ 。

实际上， $$$1023！$ 和 $$$1024$ 在前200次迭代中未通过2次测试。 如果数量 $$$m ^ 2$ 从指定的时间间隔开始 $$$m$ 在二元系统中拥有2性质 $$$m ^ 2$ 结束于 $$$100..001$ ，其中零正好是1012。然后，为了验证条件2，我们可以计算 $$$m ^ 2$ 最多后8位，并检查后8位。 如果除了 $$$0000 0001$ 然后2次测试失败。 依次计算每个测试值的精度为8、16、24等。 字符，您可以使用最少的系统资源快速检查条件2是否包含大量值。 现代计算机RAM的字节结构证明了8的倍数的链大小是合理的：整个字节将用于存储较小的链。 对于不是8的倍数的大型链，也将有未使用的内存位。

让有必要验证该语句：
当中 $$$n$ 来自一个细分 $$$[k_1，k_2]$ 对于任何方程式1都没有解 $$$m$ 在哪里 $$$n，m，k_1，k_2$ -自然。

使用斯特林公式，我们定义了差距 $$$（a_1，b_1），（a_2，b_2），..，（a_l，b_1l）$ 在哪里 $$$l = k_2-k_1 + 1$ 。 对于第i个差距：

$$

$$a_i = {（s / e）} ^ s e ^ {1 / / 12s + 1}} {\ sqrt {2 \ pi s}}$$

$$

$$b_i = {（s / e）} ^ s e ^ {1 / / 12s}} {\ sqrt {2 \ pi s}}$$

$$

$$s = k_1 + i-1$$

那么该语句为真：
如果从 $$$（a_1，b_1），（a_2，b_2），..，（a_l，b_1l）$ 没有一项通过2项测试，则等式1在区间上无解 $$$[k_1，k_2]$ 。 反之则不正确。

必要条件下的Brokar问题的推广

通常，具有p属性的平方数在微积分中具有底数 $$$p$ 查看： $$$t00..001$ ，零个数 $$$F（k）-1$ 。 然后，我们可以归纳出P属性的问题：
让我们描述两个函数： $$$F$ 和 $$$G$ 为任何自然参数返回自然值，以及 $$$G$ 不能表示为具有整数系数的多项式。 然后有必要制定一个标准 $$$m$ 介于 $$$G（吨）$ 和 $$$G（t +1）$ 并在计算法中以p为底的形式为：

$$

$$k_100..00k_2（3）$$

您只能选择具有n次自然根的那些，其中记录3中零的数目由该函数给定 $$$F$ 依赖的 $$$t$ 。 这样， $$$k_1$ 可以是参数，任意值或常数，并且 $$$k_2$ -始终不变。 （4）

例如，您可以提出从数字中提取立方根的问题 $$$n$ 具有十六进制表示法 $$$k00..001$ 在哪里 $$$k$ 任何十六进制数大于1，并且特定值的零数 $$$n$ 等于最大 $$$t$ 不平等的原因在于：

$$

$$2 ^ t + 3t-1 <n$$

撰写本文的依据是，用方程式1的左侧值替换当初求根时，任意微积分中记录3中零的数量与该数量之间的直接关系。 $$$n$ 。 如果方程式1恰好具有3个根，则可以通过解决问题4的相应特殊情况来证明这一事实。反之则不成立。

结论

在谈到数论中抽象问题的实际重要性时，作为刺激数学仪器发展的一个因素，值得一提的是一个有趣的整数方程，在上述概括的框架内不可能解决该问题：

$$

$$11 +（{2 ^ {n ^ 2-1} -2 ^ {3n-3}}）/（2 ^ {n-1} -1）\ equiv 0 \ pmod {2 ^ {m + 1} -1 }（5）$$

该公式从逻辑上讲是通过非循环方法逼近卢克数的。 问题5的解决方案将有助于发现梅森数的新属性，并为基于Luc-Lemer检验的大型素数的分布式搜索程序的工作制定必要条件。

通过类似于弱哥德巴赫问题的假设，P检验将有助于为方程式1的整个根求较大的下界，而不是 $$$（4，5），（5，11）$ 和 $$$（7，71）$ ，而问题3的研究将证明等式1在n足够大的情况下的整数不可解性。

资料来源

希尔伯特的问题
布罗卡的挑战