集合论导论

无限的概念在意识形态上与通常的数学术语相去甚远-没有其他话题超出数学范畴，以至于它从实用的分析工具转变为神话现象。 无限概念与宗教和哲学等文化主题相距不远，并且笼罩在神秘的神性氛围中。

曾几何时，所有学术学科都建立了基本信念- 只有一个 无限 。

但是在1874年，一位鲜为人知的数学家进行了一系列革命性的观察，使人们对该普遍接受并根深蒂固的信念产生了怀疑。 乔治·康托尔（Georg Cantor）在他的（现在具有传奇色彩的）出版物《所有实数代数集合的性质》中，证明了许多实数比许多代数“更多”。 因此，他首先展示了无数大小不同的集合（不用担心-为了澄清这一点，我们将很快详细研究他的文章）。


“很多东西能让您将自己视为一个整体”-Georg Cantor

从1874年到1897年，康托尔激烈地发表文章，将他的抽象理论发展成为一门蓬勃发展的学科。 但是，她遭到了顽固的抵抗和批评。 许多学徒认为他的理论进入了哲学领域，并且违反了宗教原则。

但是，当开始发现数学分析的实际应用时，对理论的态度发生了变化，康托尔的思想和结果开始获得认可。 到20世纪前十年，他的观察，理论和出版物达到了顶峰-将现代集合论作为一种崭新的，完全独特的数学领域得到认可：

集合论 是一种数学理论，它涉及称为对象的成员或元素的单个对象的精确定义的集合（集合）。

0和1之间有多少个数字？

康托尔的第一本四页半的出版物是简洁的一个很好的例子。 它分为两个独立的证据，共同得出结论，至少有两种独特的集合。

在理论的第一部分中，我们研究了实代数数的集合，并证明它是一个无限可数的集合 。 请勿混淆-“计数”并不一定意味着该帐户严格按照整数保留； 在集合论的上下文中，“可数”是指一个集合（即使它由无限数量的元素组成）也可以通过重复序列（例如有序多项式函数）来描述 。 康托尔称其为无穷的一对一的对应数的性质，该数具有一系列，存在一对一的对应关系 。

简而言之，可以使用一些具有不同度数和系数的多项式的理论系列来推导所有实数代数的集合。 因此，所有实数代数的集合都是一个无限可数的集合 。

在Cantor工作的第二部分中，分析了实复数 （也称为先验数）的作用 。 超越数（最好的例子是pi和e）具有一个奇怪的性质：从数学上讲，不可能使用多项式函数来推导它们-它们不是代数的。 无论大小，零件数，度数或系数如何，任何序列都无法在其无限可数集合的集合中计算pi。

然后，Kantor指出，在任何闭合间隔[ a ， b ]中，至少存在一个永远无法在无限可数集合中计数的先验数。 由于存在一个这样的数字，因此假设在实数族中有无限多个先验数。

因此，他证明了连续的，流动的不可数的集合与可数的集合之间有非常明显的区别，它们可以表示为例如所有实代数的序列。

下一步：记录和操作

康托尔的第一本出版物以令人震惊的方式证实了至少两种不同类型的无穷大的存在。 在他的第一篇文章之后，出现了一系列的补充内容，缓慢但肯定地为现代集合论铺平了道路。


值得分享一个有趣的观察结果：大多数人在实践中使用集合论而不是看重这个特定定理，而是它所设定的广义语言 。 由于其抽象性质，集合论秘密地影响了数学的许多领域。 在需要微分和积分计算的数学分析中，有必要了解函数的极限和连续性，并最终用集合论加以确定。 在逻辑代数中，逻辑运算“与”，“或”和“非”对应于集合论中的交，合和差运算。 最后但并非最不重要的一点是，集合论奠定了拓扑的基础-几何特性和空间关系的研究。

有了对集合历史的基本了解，并深入探讨了它的影响深处，我们就可以开始熟悉集合理论符号系统的基础知识。

第二部分 操作，符号和维恩图的简要概述。

如前一部分所述，集合论的基本优点之一不是从任何特定的理论中获得，而是从它所创造的语言中获得的 。 这就是为什么本节的主要部分将专门介绍集合论的概念，操作和视觉表示。 让我们开始解释集合符号的基本符号-与之相对应的元素。 下表显示了具有三个元素的一组A的示例：


A是一个包含元素“ 1”，“ 2”和“ 3”的集合

“ 1”是集合A的元素

第一行显示具有三个独立元素的集合A （ A = {1,2,3} ）； 第二行显示了指定属于组A的单个混凝土元素1的正确方法。 到目前为止，一切都非常简单，但是当我们添加第二个集合时，集合论将变得更加有趣-开始进行标准操作的旅程。

对于上表，让我们介绍另外两个包含以下元素的集合B和C ： B = {3，A，B，C，D，E} ， C = {1,2} 。 尽管我们创建了三个集合（A，B和C），但是在下面的示例中，仅使用两个集合同时执行操作，因此请注意最左边一栏中指示的集合。 下表显示了集合的五个最常见的操作数：


操作：相交-属于集合A 和集合B的元素集合；

并集-属于集合A 或集合B的一组元素；

子集-C是A的子集，集合C包含在集合A中；

拥有（真实）子集-C是A的子集，但C 不等于 A；

相对补码-属于A 而不属于B的一组元素。

这是集合论中最常见的运算。 在纯数学以外的领域，它们非常受欢迎。 实际上，您过去很可能已经看到过类似类型的操作，尽管对这种术语了解甚少，甚至使用过它们。 很好的例证：让任何学生从两个相交的组中描述维恩图，他将直观地得出正确的结果。

再看最后一行， 相对加法-是一个不寻常的单词组合吗？ 相对于什么？ 如果相对补语A-B被定义为A而不是B ，那么我们如何表示不是B的所有东西呢？

通用套-空套

事实证明，如果我们想获得有意义的答案，那么首先我们需要提供整个集合问题的上下文。 通常，在任务开始时明确定义一个集合，当集合的可接收元素仅限于某个固定的对象类时，其中存在一个通用集合 ，该集合是包含该特定任务的所有元素的通用集合。 例如，如果我们只想使用英语字母中的集合，那么我们的通用集合U将由26个字母组成。

对于集合U的任何子集A，集合A 的 补数 （用A或U - A表示 ）定义为总体总体U中不在 A中的所有元素的集合。 如果我们回到上面提出的问题，那么集合B的补集就是通用集合中不属于B的所有事物，包括A。

在继续之前，我们需要提到一个以上的原则集，这对于基本理解而言足够重要： 零或空集。 请记住，只有一个空集；因此，他们从不说“空集”。 尽管我们不会在本文中考虑等效性，但基本理论是，如果两个集合具有相同的元素，则它们是等效的。 因此，只有一组没有元素。 因此，只有一个空集。

维恩图和其他

尽管维恩图的科学定义听起来像这样，但约翰·维恩（John Venn）于1880年正式发明了维恩图。

几组所有可能关系的示意图

下面是六个最常见的维恩图的图像，几乎所有它们都显示了最近研究的操作数：


并集，交集，相对补码，对称差，适当子集，绝对补码。

从非常简单的集合及其元素的表示法开始，然后我们了解了允许我们绘制此视觉提示的基本操作。 我们检查了除对称差异 （左下）以外的所有操作。 为了不致于在知识上留下空白，我们说对称差异（也称为析取联合 ）只是一组元素， 这些元素位于任何集合中，但不进入它们的交集 。

我们通过介绍幂（基数）的概念来结束本节。 集合的幂用绝对值的符号表示，仅是特定集合中包含的唯一元素的数量。 对于上面显示的示例，三组的幂等于：| A | = 3，| B | = 6 | C | = 2。

在继续之前，我会给您一些思考-力量和可能的子集数量之间的关系是什么？

第3部分。幂和指数集

在前两部分中，我们了解了集合论的基础。 在第三部分中，我们将通过关注任何集合的最重要属性（ 其中包含的唯一元素的总数）来加深我们的理解。

一组中唯一元素的数量（也称为power ）为我们提供了一个基础参考点，可以对该组进一步进行更深入的分析。 首先，幂是我们正在考虑的独特属性中的第一个，它使我们能够客观地比较不同类型的集合，并检查一个集合与另一个集合之间是否存在双射 （这有一些警告，只是对功能的更精确的定义 ）。 使用幂的另一种方法以及本文这一部分的主题，幂使我们能够评估此集中存在的所有可能子集 。 从字面上讲，这可以用于决策分配的日常问题，例如杂货店旅行的预算计划或库存组合的优化。


基数的例子

例如，上表显示了五个单独的组，其功率显示在右侧。 正如我们已经说过的那样，功率的符号类似于绝对值的符号-包含在两条垂直线之间的值。 所有示例都是可以理解的，最后一行可能是例外，它强调了一个事实，即集合中唯一的元素会影响功效。

还记得本文前面部分的子集吗？ 事实证明，某些集合A的基数和A的可能子集的数量有着惊人的联系。 如下所示，可以由某个子集组成的子集的数量随幂级数的增加而增加一个可预测的值：

C中可能的子集数= 2 ^{| C |}

让我们仔细看看下面的例子。 但是，首先，让我们考虑一下公式。 让我们将力量想象为“位置”的总数，它是一个集合。 当为每个可能的位置创建一个子集时，将做出布尔决策（是/否） 。 这意味着添加到集合中的每个唯一元素（即，幂增加一）会将可能子集的数量增加两倍。 如果您是程序员或科学家，并且了解该集合的所有子集都可以使用二进制数字表来计算，则可以更深入地了解此逻辑。

指数集（buile）

在为集合C的示例计算所有子集之前，我想介绍最后一个概念- 布尔值 。

buule用大写字母S表示，后跟方括号中的初始集合S （C） 。 布尔值是C的所有子集的集合，包括空集和集合C本身，下表显示了布尔S（C） ，其中一个大集合中包含集合C的所有可能子集的所有排列。


为了便于格式化，我删除了各组之间的逗号***

布尔人如何有用？ 实际上，您很可能在没有意识到的情况下多次直观地使用了布尔值。 每次从较大的集合中选择元素的子集时，都会选择一个布尔元素。 例如，一个孩子仔细地学习着一家面值为5美元的糕点店，他会选择所有可用糖果中的哪一个？ 或者，如果您举一个更具技术性的示例：作为软件开发人员，您可能需要请求同时具有X和Y属性的所有可能的数据库用户-另一种情况是，从所有可能的子集中选择一个子集。

等价和双射函数

现在，我们了解了集合的力量是什么，为什么它很重要，以及它与布尔值的关系。 因此，让我们简短地回到开始时提到的内容： 是什么具体定义了集合论中的等价关系？

显然，具有相同功效的两个集合具有某些共同的属性，但相似之处到此为止—如果其中一个集合中存在多个元素，该怎么办？ 如果两组具有相同的功效和元素数量怎么办？ 不能否认它们在某种程度上是“等效的”，但是即使在这种情况下， 仍然存在差异的可能性，因为每个集合可以具有重复相同次数的不同元素。 这里的重点是，集合论中的等价概念与其他数学领域有些不同。 在这个世界上建立对等关系需要熟悉这个概念和一种新的语言。 在本文的最后一部分，我们介绍了等价概念以及诸如内射，双射和外射函数的基本属性。

第4部分。功能。

在这一部分中，我们将更多地讨论集合论中的功能 。 与以前的概念一样，集合论中标准函数的术语与其他数学领域略有不同，因此需要进行解释。 有很多术语，所以让我们立即开始工作吧！ 下表的第一个表反映了定义域，值域和函数值的概念：


集合论世界中的一个函数就是集合A中某些（或所有）元素与集合B中某些（或所有）元素的对应关系。在上面的示例中，集合A中所有可能元素的集合称为定义域 。 用作输入值的A元素尤其称为参数 。 在右边，所有可能的输出值的集合（在数学的其他领域称为“值的域”）被称为共区域 。 对应于A的一组实际输出元素B称为图像 。

到目前为止，没有什么真正复杂的，只是一种设置函数参数的新方法。 接下来，我们将讨论如何使用常见的函数类型来描述这些匹配函数的行为。

注射，排斥和双射

在集合论中，通常使用三个概念对集合的对应关系进行分类：注入，排斥和双射。不幸的是，这些概念有几个不同的名称，加剧了混淆，因此我们将首先查看每个定义，然后查看可视示例。这三个术语都描述了参数映射到图像的方式：

• 如果将共同区域中的每个元素映射到定义区域中的不超过一个元素，则该函数是单射的（或“一对一”）。
• , . ( .)
• , .

这些复杂定义的重中之重是“内射”，“外射”和“双射”这两个词的可能附加含义。当使用它们来描述一个功能（对应）时，上述值将为真；但是，仅通过这些特征来识别功能（对应）也是正确的。这是被称为射行为的功能注入功能与满射行为- 满射与行为和双射功能- 双射。

再次阅读上面的要点列表。双射只是满足上述两个要求的函数；即射函数和形容词。形容词功能不应是形容词，并且该形容词也不应是形容词。下面是一个直观的示例，其中这三种分类导致创建由内射和外射属性的四种可能组合定义的集合函数：


双射（注入+注入），注入（注入+非注入），注入（非注入+注入），无分类（非注入+非注入）就

这些！现在，我们对集合世界中最常见的关系有了基本的了解。但是，这绝不是我们旅程的终点​​：相反，这只是开始。

集合论的基础是理解更高层次的数学领域的关键。为了继续朝着这些领域前进，我们将需要利用集合论的知识来阐明数学史上最革命的理论之一：Zermelo-Frenkel公理系统。