没有交通拥堵的城市

第二章
（ 链接到第一章 ）

道路网络设计的艺术

通过计算机科学的人眼中的城市交通问题

如果被推荐给我一篇标题为“设计道路网络的艺术”的文章，我将立即询问在其作者的参与下建造了多少个道路网络。 我必须承认，我的专业活动远非道路建设，而且最近与微处理器的设计有关，除其他事项外，我还从事数据交换的资源消耗。 碰巧的是，我的桌子当时正好站在全景窗户的对面，从早晨到傍晚，从地平线到地平线的无休止的交通拥堵，打开了伏尔加格勒高速公路和第三运输环的一部分的美景。 然后，有一天，它突然降临在我身上：“该死，因为我在芯片上处理的数据交换过程的复杂性应该与车流在街道道路网中遇到的困难完全相似。”
可能只是从外部来看，对于研究区域而言不是传统方法的应用，这使我有机会了解交通拥堵的原因，并就如何在实践中解决问题提出了建议。

那么，这种方法的新颖性是什么？

从历史上看，道路的主要目的被认为是道路提供了长途行驶（罗马和各省之间）的机会。 对于联邦一级的城际公路网，这样的判断是合理的：它们连接的城市看起来像地图集上的稀有小点，而且在这些城市之间行驶的大多数汽车都通过了自己的路，却没有转弯。

但是，只需要翻开几页并打开某个大城市的详细地图，就可以立即更改图片：可以开始或完成旅程的地址已经有大约一万个，而且都相对密集和相对体积小。 同时，成千上万辆汽车可以立即在这样的城市的街道上行驶，而且，每个汽车的目标不仅是填补已经空旷的道路，而且还要将人或货物从具有特定地址“ X ”的点移动到具有特定地址“ Y ”。 总之，这意味着必须调整城市交通系统，以有效解决多重并行寻址的问题 。 因此，与城市间道路网络相比，城市交通系统的功能与电话或计算机网络更加相似。

在信息传输技术领域，将路网视为硬件开发人员或工程师的交换电路是讨论问题的完全自然的方式，但是据我所知，在交通问题研究人员中，这种观点是新的。

信号交换理论是一门狭窄的工程科学，当然，仅凭信号交换理论不足以规划单独的街道，路口或预测高速公路直行隔离路段的交通流行为。 幸运的是，上面列出的问题已经得到了很好的研究，解决这些问题的方法已经成功地投入使用。 反过来，转换理论使建筑师能够在道路网络的所有要素均得到完美执行且城市仍处于交通崩溃状态时摆脱风险。 由于执行多个并发寻址会占用大量资源，因此存在此风险。
一项耗时的任务，有效解决方案的关键不在于街道的宽度和交通枢纽的便利，而是对拟议道路网络将实施哪种特定交换方案的有效选择。

例如，从这项工作中，您将发现为什么仍然在现代城市中经常使用的“动脉”型交通网络“不好”，并且随着人口的增长必然会导致交通拥堵。 另一个有趣的结果与观察结果非常吻合，这解释了为什么即使在所有交通拥堵完全发生在立交桥附近之前，仅道路扩展也不可能以某种方式改善这种状况，即使城市中的汽车数量保持不变。

当我写这篇文章时，对我来说很重要的一点是，对于大多数普通的建筑师来说，这是可以理解的，并且可以通过他的工作而变得有用。 我尝试使用模型示例向我展示了如何在实践中使用这些知识，以简单的语言向读者介绍了切换问题的方法，以开发标准来评估特定道路网络对并行寻址任务的处理能力。

本文面向的读者群是一些对大学范围内的数学，算法理论稍有熟悉的读者，他们准备花1至5天的时间。

汽车流的分离与合并

对于许多驾驶员来说，显而易见的是，交通困难主要发生在那些由于某种原因而不得不改道的道路上。 例子包括货叉，变窄，交叉路口和通往高速公路的道路，高速公路的某些路段（由于事故或道路维修而被阻塞）。
在本节中，将尝试对这种情况下发生的过程进行定量描述，我们将从了解如何将汽车从一个车道重建到另一个车道开始。

在相邻行中重建的两种策略

沿高速公路的交通流量具有自然的不平衡性：有人喜欢开快一点，有人慢一点，有些车之间的距离减小并且几乎不能舒适驾驶，而其他车之间的距离增加得太多，以至于汽车可以容纳在那里从相邻的车道。 直接在随机驾驶员一侧的相邻车道的气流中这种间隙的出现可能是频繁的或不是很频繁。 如果在需要进行调整时没有间隙，驾驶员可以采取至少两种行为策略：

策略一
几个合适的间隙可以简单地位于其位置附近。 如果运动足够密集，那么驾驶员不太可能能够提高速度并赶上必要的间隙，但要稍微降低运动速度并让相邻的溪流超越自身，以使其与原来的间隙相等，这样就不会有大麻烦了。 这种策略的成本显而易见：由于需要降低速度，驾驶员本人和在自己车道上落后的汽车会浪费一些时间。

策略二
要等待，您需要有耐心并有足够的时间进行此操作。 另一种可能是尝试在“此处”和“现在”执行必要的操作。 根据这个想法，驾驶员在他将要行驶的地带上向他身后的汽车发出信号。 反过来，那些响应他的信号应该放慢一点，然后“放开”向前，在它们前面移动的汽车，从而为间隙提供必要的尺寸，将在它们的流动中形成。 在这种情况下，时间成本在驾驶员最终重建的车道的车厢之间分配。

在现实生活中，这两种策略是同时涉及的：首先，驾驶员放慢速度，等待相邻车道流中较大的间隙，然后才向行驶中的汽车发出信号，告知他们打算进行翻新动作。

当然，入口，坡道和收窄不是车道到车道变化的唯一原因，这在设计道路时值得记住。 高速行驶的汽车具有超越不繁忙交通的能力是必要的，这样高速公路上的情况就不会恶化为以最慢的拖拉机速度爬行的一大排。 但是，在道路上以不同速度行驶的车辆并存的问题的性质稍有不同，可以与本文中讨论的问题区分开，因为超车过程和相关的重新安排不是针对驾驶员要求他急忙采取的强迫行动。 。 如果有时间等待，则根据概率论，这是一个方便的机会，可以让驾驶员自己进行操纵，因此完全不需要干扰其他驾驶者的活动。

一站式服务
现实中的驾驶员行为可能非常困难，但对我们而言重要的是，在模型条件下获得的结果仍然是合理的：每辆汽车从一个车道到另一个车道的强制移动都会对交通参与者造成暂时性的处罚。

现在让我们评估损失的时间量如何取决于道路上汽车的密度。

我们将沿每个车道的运动视为单独的流。 为了与同一车道上的汽车保持一段舒适的距离，驾驶员因此在车流中保留了特定特征长度d的一部分。 让ρ车每单位长度落入一条小溪中。 我们同意称通量密度小 ，或者，如果乘积ρ × d远小于1，则说ρ小。

在驾驶员意识到需要移至下一行时，他要占据的那部分d不会自由的概率很小，即ρ大约与ρ本身成正比。 如果所描述的事件确实发生，那么由于平均常数δ的一些延迟，总共将有两辆争夺一席位的赛车。

假设ρ很小，则此时它们的动作会影响其他汽车的运动的可能性可以忽略。 因此，以相对于ρ的一小阶而言，一次运动造成的时间损失将为α⋅ρ ，其中系数α是根据经验可测量的量，具体取决于文化，天气，速度限制（等等），但在时间和范围内在本地保持近似恒定整个城市。

出口前现场损失的强度
驶入会议厅的汽车在到达坡道（图2）之前，有时甚至必须在右侧的相邻行中进行几次改装。 每个这样的操纵都会使移动变得困难，因此，出口之前的区域中的平均速度明显低于高速公路的“过境”区域（没有出口，“入口”和前叉）区域的平均速度。


无花果 2

要以较低的速度通过道路的某些部分-驾驶员（及其乘客）要转身，花费额外的时间。 换句话说，高速公路直接邻近坡道的区域是不断产生临时损失的因素。

假设该区域的前边界处的平均机器速度ν和通量密度ρ对于所有频带都是相同的。

此外，假设密度ρ和离开出口的流量q （每单位时间驶入匝道的平均车辆数量）同时较小，并且s是高速公路上的车道数量。 要到达出口，驾驶员将进行1至s的重建动作。 如果坡道上的磁通密度远低于ρ ，则只有最后一次操作实际上会“免费”花费他，而其余的则无论如何都会造成α⋅ρ的损失。 平均而言，您将必须执行（0 +1 + 2 + ... + s -1）/ s =（ s -1）/ 2个“昂贵”的操作。

考虑到所有汽车驶离国会所造成的困难，我们可以写出临时损失强度的公式：

I _out = q⋅αρ⋅ （ s -1）/ 2 =（ α / 2ν ） ⋅q⋅ （ sρν ） ⋅ （1-1 / s ）

值p =（ sρν ）只不过是沿着该方向在高速公路上行驶的所有车辆的流量（每单位时间经过该列的平均车辆数量）。 最后一句话使我们有机会以更对称的形式重写I的公式：

I _out =（ α / 2ν ） ⋅pq⋅ （1-1 / s ）

通路附近的损失率
尽管有一些差异，但在连接道路所连接的地方后面的高速公路上出现的情况在很大程度上重复了会议前现场的情况。
让一小股功率为q的汽车通过侧向坡道倾倒在高速公路的主要交通中（图3）。


无花果 3

坡道只有有限的长度，因此所有新到的汽车都会在高速公路的最右边车道上建造。 结果，最右边车道的交通密度局部高于道路上的平均交通密度，因此其中的一些驾驶员决定将车道更改为左侧较不繁忙的相邻行，这又导致第二个路段的局部密度增加了。脱衣舞。 带间迁移的过程将继续进行，直到在高速公路的整个宽度上达到流密度水平为止。 假设所有n个频段的平均速度ν相同，我们可以预期，在完成迁移过程后，每个迁移过程中的流功率将精确地增加（1 / s ） ⋅q 。

为了了解这些“成本”对驱动程序造成的成本，我们首先计算所有迁移流程的功能。 我们已经知道从坡道到高速公路第一车道的流量：等于q 。 为了获得（1 / s ） ⋅q增加的形式的平衡，从第一个车道侧面流入第二个车道的流量应该已经是（1-1- s ） ⋅q ，从第二个车道进入第三车道-（1-2 / s ） ⋅q ，从第k边到第（ k + 1）-（1- k / s ） ⋅q 。 根据最后一个公式，按照常识，到最左侧车道的迁移流量为（1- （ s -1） / s ） ⋅q =（1 / s ） ⋅q 。

既然我们知道了一次重建的时间损失和所有迁移流的力量，我们现在就可以计算出它们造成的损失的总强度：

I _in = αρ⋅q + αρ⋅ （1-1- s ） ⋅q + αρ⋅ （1-2- s ） ⋅q + ... + αρ⋅ （1 / s ） ⋅q =

αρq （1 + 2 + ... + s ）/ s =

αρq （ s +1）/ 2 =

（ α / 2ν ） ⋅q⋅ （ sρν ） ⋅ （1 +1 / s ）。

再次记住sρν是高速公路上所有汽车的流量的功率p ，我们得到了最终形式的成本公式：

I _in =（ α / 2ν ） ⋅pq⋅ （1 +1 / s ）。

对称货叉损失率
在前面的段落中，我们发现了流相互作用带来的损失，其中之一必然很大，而另一必然很小。 为了演示在两种流量的大小可比较时解决问题的方法，让我们考虑另一个极端：其中两个“女儿”方向同样受驾驶员欢迎的叉子（图4）。


无花果 4

为了方便起见，在前叉处向右行驶的汽车将被称为“蓝色”，在左侧向左行驶的汽车将被称为“红色”。 最初，两种“颜色”的汽车混合行驶，分散在高速公路的所有2 条车道之间。 当它们接近交叉路口时，红色的汽车开始缓慢向左n个车道漂移，蓝色的汽车向s右侧的车道漂移：迁移在相邻车道之间双向流动。 与通行道路示例不同，这些流量不再“相对较小”。 顺便说一下，仅在两个中央车道之间才进行强制性交通交换，在任何方向（从左到右，或从右到左）的强度都等于沿着汽车高速公路行驶的整个河流的四分之一功率。 幸运的是，在这种情况下，有足够好的方法来估算产生的成本。 首先，我们注意到将汽车分为“红色”和“蓝色”的过程很可能早于前叉开始并缓慢进行，因此，一方面，它对单独一行中的交通密度几乎没有影响，另一方面，使迁移流量延伸很长的距离，因此有机会将它们中的每一个表示为大量低功率流量的组合（图5）。


无花果 5

从现在开始，我们谈论的是小流量，尽管数量很多，但没有什么能阻止我们将考虑中的问题减少到已经解决的问题上。 将中心的高速公路分为两等分，然后将它们与大量的单车道跳线连接在一起，从而使红色的汽车驶向左侧，蓝色的汽车驶向右侧（图6）。 由于明显的对称性，在计算产生的损耗时，我们可以专注于任何一种颜色的机器，例如蓝色，最后仅是结果的两倍。


无花果 6

因此，让速度ν和密度ρ在所有车道上都相同，并且在汽车被颜色分隔的整个区域中保持恒定。在这种情况下，沿高速公路行驶的所有汽车的流量为：

p = 2sρv。

令q ₁，q ₂，... q _m表示蓝色汽车沿假想跳线移动到高速公路的右半部分的流量。假设在高速公路每条车道的分离点前不久，两种颜色均以50％的相等比例表示，这意味着在总
q ₁ + q ₂ + ... + q _m中等于sρv / 2，即p / 4。

流q产生的损失_我，由于其面积小，就可以计算公式：

我 _我 =我 _出 +我 _在 =（α/ 2ν）⋅（p/ 2）⋅ q_我（1 - 1 /小号）+（α/ 2ν）⋅（p/ 2）⋅ q_我（1 + 1 /小号）=（α/ 2ν）p q_我

求和所有此表达我，查找产生的损耗只是蓝色汽车：

我 _蓝色 =（α / 2 ν）⋅ p ⋅（q ₁ + q ₂ + ... + q _米）=（α / 2 ν）p ² /4中。

完全丧失，如已经提到的，将增加一倍和两倍的量为：

我 _的div =（α / 2 ν）p ² /2。

所得公式的分析
如果我们将强度I分开也就是说，每秒总参与者损失的时间等于侧向流量q，根据定义，其等于一秒钟内在高速公路上连接或离开高速公路的车辆的数量，我们得到了一辆这样的汽车产生的平均损失：

i _in = I _在 / q =（α / 2 ν）⋅ p ⋅（1 + 1 / 小号）

我 _出来 = 我_出 / q =（α / 2 ν）⋅ p ⋅（1 - 1 /s）

也许这些公式中最重要的事情是高速公路p上的汽车的动力流量与单位成本i之间的直接比例关系。一切似乎都像是一辆试图加入的汽车，反之亦然-离开主要运动的流程，从而对附近的每个驾驶员造成持续的损害。

第二个有趣且非常出乎意料的观察结果是，对紧邻路口的高速公路附近车道数产生的损失强度的影响极弱。如您所见，查看I _out的公式，对于单车道公路（s = 1，i _out = 0），而由三车道和六车道的公路相邻的通行道路造成的困难仅相差

100％ ⋅ [（（1 + 1/3）-（1 + 1/6）] /（1 + 1/3）= 12.5％。

如果我们考虑到曾经参与高速公路交通的每辆汽车最终都将不得不离开，那么使用统一值 i _av =（ i _in + i _in而不是 i _in and i _out）/ 2 =（ α / 2 ν） ⋅ p。



尽管i _av公式_中没有明确依赖车道数，但必须记住，其结论（请参阅I _in和I _out的假设）在很大程度上取决于道路上车辆密度低的假设，因此，不太可能给出令人满意的结果。适用于交通流量太大的狭窄公路。

初步发现
在交叉路口附近的地区，不可避免地会发生交通，使驾驶员远离时间，降低了平均速度，平均速度导致了汽车密度的增加，因此可能发生交通拥堵。与汽车流的分离和合并相关的时间成本将被称为转换。

在任何交换方案中，类似的丢失都会以一种方式或另一种方式出现：电话或计算机网络，多核微处理器或邮件传递服务。

当驾驶员加入或相反在高速公路上离开交通时，他的行为所产生的转换成本与当时在高速公路上观察到的车流功率成正比。

为了减少整个城市的开关损耗，有必要在设计阶段仔细考虑其中实施的道路网络。稍后，我们将详细分析此任务，但现在可以列出一些明显的建议：

1. 转换损耗与高速公路上的流量成正比-无需扩大道路，而无需，两条小高速公路是一条大高速公路的两倍。
2. 开关损耗与旁流功率成正比-值得设计网络，以便驾驶员在行驶过程中必须尽可能少转弯。
3. 如果您尝试防止一条河流中仅在轨道的一小段上重叠的路线，则在整个城市范围内，由主流流和支流流驱动程序引起的相互干扰应变小。

城市生存的经济前提。
统一访问城市模型

启动任何计划（或重新计划）城市交通系统项目的第一件事，可能是试图确定城市现在真正需要的移民类型以及未来需求的变化。

如果您先将城市划分为不太大但不太小的领土区域，然后针对每对这样的区域指示居民在一个或另一个时间需要到达一侧或另一侧的大概旅行次数，则可以进行这种分析。的一天。 通过将预测结果放在一个正方形表中，您将获得一个城市居民迁徙需求的矩阵 。

正是基于此矩阵，值得寻找一个网络，该网络可以使驾驶员和乘客在单独的旅行中花费尽可能少的时间，并且需要城市当局为他们的建设提供尽可能少的资源。

当谈到现有城市时，在这里很重要的一点是不要犯错误，也不要用在设计工作时受某些障碍或困难影响的历史上已经确定的出行次数来代替人们真正需要的出行次数。 柏林隔离墙倒塌之前和之后的运输网络可能可以最清楚地说明上述观点。

本部分将主要处理我不是专家的人道主义问题，但我认为，以业余人员的身份进行讨论比仅仅避免问题更为正确。

为了更好地反映人口的迁徙需求，值得从以下基本问题开始： “为什么城市真正需要和它们发挥什么有用的作用？” 。

让我们尝试不以城市（和村庄）的普通居民的身份来回答这个问题，而是从负责某个大型发达国家的城市化进程的人的角度来回答。 从这个角度来看，历史动机曾经使这么多人挤在一块很小的土地上，或者他们为什么现在继续这样做的原因，不再重要，重要的是，什么经济效应创造了一个大小不同的城市，并且由于采用了什么机制，所以可以达到这种效果。

我认为，大城市的存在一方面是因为技术公司有机会找到稀有职业的雇员，另一方面是那些掌握了稀有职业的人有机会以竞争性条件向对他们感兴趣的公司出售服务的机会。 在一个小城市（非专业化）中，根本不可能生产许多商品和服务，或者使实施该产品和服务的技术公司及其员工处于相互为人质的位置，而彼此之间没有任何选择。

例如，以学校文学老师的不太专业为例。 据统计，他们的需求是：每千人口中大约有1名教师。 在正规学校中，有3-4人教文学。 如果他所在的城市至少有4-5所中学，就人口而言，大约有1.5万人，那么文学老师的工作选择就可以称为竞争性的。

显然，具有工程专业的人们在人口至少十万的城市的劳动力市场上感到自在。 当然，也有这样的职业，仅在拥有一百万人口的城市中才有这种需求，但是对数百万个城市的经济意义对我来说仍然是个谜。

经过以上所有这些，两个假设看起来很有根据（但是其有效性并不影响本文主要内容的真实性）：

1. 一般成年人最频繁的旅行需要长途跋涉，才能为他争取4-5个最有前途的工作；
2. 对于拥有稀有且最具经济价值的职业的很大一部分人口来说，最频繁出行的距离很可能与城市半径相当。

为了更好地反映假设1）和2），在我的示例中，我将经常使用具有“统一访问权”的城市模型，假设需求旅行的流量的力量在它的任何四分之二之间，或者换句话说，在矩阵的所有单元中都相同迁移需求价值相同的正数。 如果您随机查看白天在这样一个城市进行的旅行记录，那么对于下一个标记的旅行，所有季度都有相同的机会成为此旅行的起点并将其作为终点，并且“初始”和“最终”的位置之间没有关系。 »不应遵守四分之一。

简单网络拓扑网络

让我们尝试将前几段中描述的思想应用于从生活中获取的某些类型的城市规划。

线性城市
最初的大型定居点主要起源于沿海地区，介于海洋和悬崖之间的一小片土地上，或沿繁忙的道路，因此在发展过程中，它们获得了狭窄的细长边界。 这些定居点中的许多都存活到了今天，保留了其细长的形状并变成了现代城市（下图）。


（里约热内卢的禁区，作者不详）

在这样的城市中，通常只有一条宽阔的道路可以建造。 假设每个季度（领土划分区域）在所有这些季度-n中生成单一容量的旅行流，并且城市本身遵循“统一访问”迁移模型。


无花果 7

让我们尝试针对上面列出的条件找到平均行驶时间和所需道路面积随n的增加而变化的情况。

因此，让所有四分之一具有相同的形状和大小，并且它们的数量增加λ （λ）倍。 显然，

• 主干道的长度增加了λ倍。

通过采用“统一访问”的模型，从城市的右半部分开始的旅程的50％结束于城市的左半部分（正好相反），因此，随着四分之一的数目增加λ倍，流经城市中心的水流的功率也将增加λ次 如果我们用任意一点将城市划分为给定比例（1：3，2：5），而不是中间，则具有相同结论的类似推理将是正确的。

• 汽车沿主干道的动力流增加了λ倍。
• 每段所需的主要道路的车道数量增加λ倍。

平均行程的长度或多或少很明显

• 用于覆盖距离的净旅行时间增加了λ倍。

我们剩下的就是计算由于一次旅行的转换成本而导致的时间损失将增加多少倍。 在每个季度中，单位功率的旁流进入和离开，这共同产生暂时的强度损失：

I = I _输入 + I _输出 =（ α / 2ν ） p⋅2 ，

其中p是主要道路上的流量。 我们已经知道，主要道路上的路口数量和流量随着λ的增长而增长，因此，网络产生的总时间损失增加了²倍。 另一方面，由网络产生的旅行次数（其结果是所有这些损失均分布在旅行之间）增加了λ倍，由此得出：

• 由于转换成本而导致的净旅行时间损失增加了λ倍。

让我们在一盘中收集所有结果：

线性拓扑
单位容量的地址点数（四分之一）.................. n
道路总面积............................................... ................................................. O（ n ² ）
纯旅行时间
花费在距离上.............................................. ..... O（ n ）
纯旅行时间
由于转换成本而损失.................................................... ......... O（ n ）
交换节点数............................................... .................................... O（ n ）
考虑到旁流的功率，交换节点的数量....................... O（ n ）

使用的表示法：“ y = O（ x ）”，表示数量x和y在功能上相关，并且当x无限增长时，比率x / y趋于有限的非零数。

细胞城
第二种相当普遍的计划方法是将矩形块形式的块排列，类似于将分块放置在巧克力棒中的方式。

我们同意将此类城市称为“蜂窝”。


（洛杉矶，照片：Stepanov Glory）

图8显示了一个蜂窝城市的示意图，该蜂窝城市由n个季度（考虑到“一半”）组成，共同构成一个规则正方形。 宿舍之间相互隔开，共有√n条道路，有条件地从西到东，另有√n条道路，从南到北。 总体而言，这些道路形成√n×√n 个交叉路口，每个交叉口都可以做成交通灯交叉路口，也可以通过路桥和立交桥来实现。


无花果 8

无论街道上的交通是单向还是双向，在方格城市中从“ A”点到“ B”点的任何旅程都可以沿着不超过两条街道且在交叉路口不超过一弯的路线进行亲爱的

假设像前面的示例一样，每个季度生成单位容量的旅行流，并且通过“统一访问”模型描述人口的迁移需求。 现在，让我们为蜂窝城市计算那些定律，这些定律将随着房屋数量的增加而构建道路网络的平均旅行时间和资源消耗发生变化。

如果四分之一的数量增加λ ，则：

• 该城市的面积增加了λ倍，其线性尺寸在保持比例的同时-
  在√λ中
• 平均行程长度和覆盖该距离的净时间与线性尺寸成正比，增加√λ倍，
• 街道的数量和与一条街道相邻的社区的数量增加√λ倍，
• 流量的力量与“接触”的季度数成正比（稍后将对此事实进行解释）增加√λ倍，
• 所有道路的所需面积随着（街道数量）×（一条街道的长度）×（街道流量的力量）=√λ⋅√λ⋅√λ= λ√λ

横向流量分为从四分之一处或向四分之一处进出的流量，以及在一条路口从一条街道转向另一条街道的交通流量。 根据条件，第一个始终保持统一，第二个之后，如果考虑到城市中的住所比单个街道上的住所要多得多，几乎所有沿其行驶的交通都会来往或离开街道高速公路。 结果，可以通过公式（街道流量的变化）/（单个街道上的交叉路口数量的增加）=√λ / √λ= 1来估算第二次侧向流量的大小变化。等式的最后一个比率相等，表明这些流量在季度数的增加，因此，整个网络所产生的交换成本的增加将是：（季度数总数+交叉路口总数）×（单个街道上的流量值变化）= λ√λ 。 由于所有四分之一点产生的旅行流的功率都增加了λ ，因此

• 转换成本导致的净旅行时间损失增加√λ

想象一下平板电脑的结果：

“单元拓扑”
单位容量的地址点数（四分之一）.................. n
道路总面积............................................... .................................... O（n√n）
纯旅行时间
花费在距离上.............................................. ... O（√n）
纯旅行时间
由于转换成本而损失.................................................... ....... O（√n）
交换节点数............................................... .................................... O（ n ）
考虑到旁流的功率，交换节点的数量.............. O（ n ）

比较线性网络和蜂窝网络，很难不注意到，第一个网络的建设所需的资源的增加以及随着城市的发展，一次旅行所花费的时间要比第二个要快得多。 例如，一个蜂窝城市中有100个四分之一的城市所需的沥青减少了10倍，而穿越城市所需的时间平均比同等规模的线性城市所需的时间少10倍。 因此，仅在非常小的城镇中使用具有线性拓扑的道路网络才有意义。

如果您暂时忘记了交换成本的存在，则可以将蜂窝拓扑视为设计道路网络的理想方法，因为它为平均行程长度和所需道路面积提供了渐近最优的O估计。 确实，对于城市的任何“紧凑”位置（具有统一的通道），行程的长度将不会比其面积的平方根增长慢，而平方根通常与人口成正比。 结果，我们得到所有相同的O（√n）。

原则上，蜂窝城市中的一条典型路线沿一条“拐角”而不是一条直线的事实，使人们有权寻求更好的城市规划方法，但是节省20％的费用（如果汽车学习骑行，您将在极限中获胜）有一天，他们将迫使建筑师放弃街道和道路的矩形布置。

通过记住每辆车保留部分车道以供其移动，可以降低网络的构建（和维护）成本的最低限度，因此，道路的总面积与平均行驶时间（平均行进长度）乘以城市内车辆数量的乘积成比例：O（√n）×O（ n ）= O（n√n）（与Cell City的表格比较）。

如果我们谈论由于转换成本而导致的旅行损失的时间，那么令人惊讶的是，它与覆盖距离所花费的时间的关系并不渐近地取决于蜂窝或线性城市中各个季度的数量（O（√n） / O（√n）= O（1），O（ n ）/ O（ n ）= O（1））。 换句话说，由于大城市和小城市发生切换事件而造成的旅行时间损失百分比将是相同的。 由此我们可以得出结论，如果在一个小城市中转换成本没有严重问题（例如，占10-20％），那么在大城市中，它们仍然不应该被观察到；如果是，那么它们自己无论城市如何发展和扩大，他们都不会去任何地方。

由于我们不知道哪种选择是正确的（或者更确切地说，我们知道大城市中的汽车交通确实存在问题），因此值得尝试改善蜂窝城市的拓扑结构，以使其中的转换成本至少在固定时间内降低。

不切实际的网络的有用示例

让我们看看“蜂窝拓扑”是否遵循我们通过分析高速公路上的流量切换而提出的建议。

1）不要在没有必要的情况下扩大道路。
-是的 交通流量分布在许多道路上（与线性城市相比）。

2）当您需要在一次行程中进行大量转弯时，避免创造条件。
-是的 任何旅程极有可能沿着仅需在城市街道上转一圈的路线进行。

3）避免在道路的某一部分行驶时遇到这种情况，该道路的路线只有公共路径的一小部分。
-也许这里有些工作要做。 尽管每次行程的转弯次数最少，但作为主要高速公路流量一部分的路线却经过大量的交换节点（O（ n ）），在每个交换节点中都浪费了宝贵的时间。

最后一句话是为了研究以下问题：“在连接n个街区的道路网络中，行程必须经过的平均交换节点的最小值是多少？”

当然，仅在任何交换节点合并或共享的流的数量被从上方初步限制为某个固定值的条件下，搜索这种网络的任务才有意义。 否则，您始终可以提供具有n个地址点和单个巨型路口的道路网络。


（作者不明）

如果以前可以使用一些简单的（即使根本不现实的）模型示例来揭示至少一部分模式，则调查实际问题要容易得多。 遵循这种逻辑，我们将暂时忘记为旅行者建立距离行驶的道路的几何限制，将所有注意力都集中在抽象网络如何解决并行寻址问题上。 关于交换节点，我们现在假设它们中的每一个或者将流分成两部分（分割节点），或者将两个流合并为一个。


无花果 9

地址树
假设我们有一个起始地址，在这一切开始的地方，无一例外，旅游，甚至ñ 整理的概率相同地址在他们结束点（图9）。

需要建立一个传输网络，以允许旅行通过尽可能少的交换节点。

在程序员看来，显而易见的解决方案（对于程序员而言）是使用平衡的二叉树，在这种情况下，您需要在树的顶部放置一个起点，并将其余的n个终点在其每张纸上放置一个（图10）。以所述方式构造的网络将被称为直接地址树。


无花果 10

在直接地址树中将所有流的方向更改为相反方向，从而获得反向地址树，其目的是将n个起点连接到一个终点。

在那些情况下Ñ是二的幂，地址树内的任何路线延伸恰好登录_2个 Ñ交换节点，这无疑（渐近）比从与格子网络的相同参数（O（√较小Ñ）），或线性的（ O（n））拓扑。

两种最简单的对数网络
使用“树状”网络作为构建块，可以很容易地将先前的解决方案推广到存在多个起点的情况，但是-k。有两种简单的方法可以做到这一点。

第一种方法是使用反向地址树首先将所有行程的路由收集到一个公共流中，然后使用直接地址树将该流分成子流，每个子流都寻址到其目的地（图11顶部的网络） ）


无花果 11

如果k和n为2的幂，那么最后，任何路由都将精确地通过log ₂ k + log ₂ n个交换节点。根据刚刚描述的算法构建的网络，我们同意通过初步合并将（单向）对数称为。

解决同一问题的第二种方法可以通过在第一种解决方案中颠倒合并和分离操作的顺序来获得。它的实现如下：对于每个起点，创建所有结束地址点的一组唯一的虚构副本，然后使用直接的地址树将其连接到这些副本（完全不虚构）。

为了完成网络的构建，现在仅需将每个结束点与具有k个虚构副本的反向地址树连接即可（图11底部的网络）。

每当n和k为2的幂时，新建网络内任何路由的路径上的交换节点数将再次等于log ₂ k + log ₂ n。我们同意将这种（单向）对数网络称为初步分离。

从单向网络到对称网络的转换
通常，单向网络如果将由其连接的地址点严格划分为开始和结束，我们将称之为任何网络。默认情况下，对于单向网络，将假定它提供了从任何起点到任何终点的至少一条可能的移动路线。

除了终生的旅程外，很难举一个例子，其中某些地址只能作为起点，而另一些地址只能作为终点。如果我们还包括通过两个方向上的路由将任意两个地址点连接在一起的网络，我们将使推理更接近现实。我们同意将这种网络称为对称。

实际上，单向网络和对称网络之间没有意识形态上的差距：每个对称网络也可以用作单向网络，并且最初连接相等数量的起点和终点的每个单向网络可以转换为对称的网络（图12）。


无花果 12

图13a和13b示出了具有初步合并的对数网络和具有初步分离的对数网络的“对称”形式。他们的示例显示了用这种类型的网络连接n个区块的基本可能性，在此范围内，任何行程中访问的交换节点的数量将与城市中区块数量的对数成正比。


无花果 13个


无花果 13 b

准确的最低估值
到目前为止，根据旅行期间访问的平均节点数（城市中的地址点数），已经积累了具有各种功能的丰富网络。然而，我们仍然不知道在给定的季度数中，这个数字原则上可以有多小。可以使用信息方法获得其值的下限。

实际上，即使某个道路网络连接了n个地址点，而且人口的迁移需求也是如此，无论旅程从何处开始，都有同等机会在城市中的任何地方结束。

为了解决预期的问题，我们将按照此配方生成一条辅助信息消息：很长一段时间，我们将收集所有行程起点都固定的行程记录，并随机写下这些行程结束的地址。结果消息将是一个随机序列，由城市的n个地址点的名称组成。

将该消息发送到火星的一种方法是，首先使用相同长度的二进制字对所有名称进行编码，从而将原始消息转换为零和一的序列，然后才通过数字通信通道发送结果序列。因为对于可区分的编码，集合n如果需要长度为log ₂ n的二进制名称，则数字消息的长度为：（

记录数）×log ₂ n个字符。

最有趣的是，根据信息理论，无论使用哪种编码算法，都几乎不可能平均发送带有较少数量的二进制字符的相同消息。

直接传输端点的编码名称的一种替代方法是一种方法，其中针对每次行程指示在道路的下一个岔路口中哪个可能的方向转向了其路线。根据我们的假设，网络中的所有分叉只能加倍，因此，在每种情况下要指示方向，只需要1位即可。任何拥有城市地图并知道起点的人，所采用的位链就足以跟踪每条路线并恢复其目的地的原始顺序。如果在一次旅行中访问的叉子（分区节点）的平均数量为x，则采用新编码方法的二进制消息的长度将为：（记录数）× x。

如前面提到的，一种新的编码方法不能是二进制地址的直接转移的有效的方法，但是：（记录数）× X ≥（条目数）×登录₂ Ñ，其中：

X ≥日志₂ Ñ。

尽管最初的不等式最初是针对一组具有相同固定起点的旅行得出的，但其出现却与该点的具体选择无关，因此我们有权将结果立即扩展到城市中的所有旅行，从而获得所需估计的第一部分：

P1）前提是每个新旅程都有相等的机会以n中的任何一个结束城市的地址点，每条路线的平均分割节点数不得小于log ₂ n。

轻轻地将时间倒转，您将使每个旅行端点成为起点，并使每个二进制网络划分节点成为二进制合并节点。这个小技巧可以让您自动从P1：

P2中获得估算的第二个缺失部分。）如果每次完成的行程都有相等的机会从城市的n个地址中的任意一个开始，则每条路线的合并节点的平均数量不得少于log ₂ ñ。

如果我们回想起存在具有初步合并的对数网络和具有初步分离的对数网络的情况，那么我们立即得到两个交换节点数量最佳的网络示例，这些节点平均在一次旅行中在交换节点内部被访问。让我们看看这种质量是否有助于他们降低产生的开关损耗的强度。

对数网络中的转换成本

如果我们将网络与初步合并和初步分离进行比较，那么第一个网络由于其简单性而显得更具吸引力。不幸的是，这种简化也给硬币带来了不利的一面：将所有路线合并为一条流与建议i1相矛盾，从而成为造成大量时间损失的潜在原因。初步隔离的网络似乎遵循建议i1 - i3，但是，从图13b 可以看出，它倾向于迅速增加所使用的道路边缘和交换节点的数量。后者的质量会使这种类型的网络对于实际使用而言过于昂贵。

我们将更详细地分析这些问题。首先，我们同意该城市遵循统一访问的迁移模型，并且其任何地址点产生的旅行流量都具有单位容量。

进行初步合并的网络中的损失
在图14中，您可以看到由进行初步合并的网络中指示的安排产生的流量图。


无花果 14

在我看来，以单向形式描述网络很方便，这意味着每个起点和终点都没有用相同的数字签名，实际上意味着城市中的相同地址点。

根据该图，我们计算网络中产生的交换成本的强度。让我们从左半部分开始，通过反向地址树，所有路由都收集在一个流中。网络此部分中的每个交换节点代表两个单向高速公路合并为一个的地方（图15）。


无花果 15

如果最初对每条道路进行有效装载，则在统一后无需减少车道数量，因此，连接成本也不会因此而减少。

假设单位动力流已经足以有效填充至少两条车道的道路。在这种情况下，我们得出一个相当意外的结论：对数网络内部的车流与初步合并的结合是绝对“免费”发生的，而不会造成任何暂时的损失。

计算右边右边一半中产生的成本并不难。网络的这一部分是直接的地址树，在我们已经研究过的道路上，它的每个节点都是对称的分支。当入射流的功率p强度新兴在叉损失等于（α / 2 ν）⋅ p ² /2。进入根结能流：Ñ，因此在根节点的强度损失是：（α / 2 ν）⋅ Ñ ²/ 2。在下一代的地址树中，分支的数量加倍，并且在分支上运行的流的功率减半。由于整个树内式损失而采用以下形式：

我_{t_div1} =（α / 2 ν）⋅（1/2）⋅ [ Ñ ² + 2（Ñ / 2）² + 4（Ñ / 4）² + ... +（Ñ / 2）⋅ 2 ² ] =

（α / 2 ν）⋅（ñ / 2）² [1 + 1/2 1/4 + + ... + 2 /Ñ ]≈（α / 2 ν）⋅ Ñ ²

由于功率通量行进通过所有可寻址点是一起产生Ñ，每一个行程的时间成本平均（α / 2 ν）⋅ Ñ，从而显示线性对城市规模的依赖。

当涉及抽象网络时，很难对它们使用的道路面积进行有意义的估算。作为结构复杂性的一种替代度量，可以计算所有侧流的总功率。按照计划，结果值应反映出建立网络所需的所有交换的资源成本。我不能说在实践中这种方法总是有很好的解释，但是我大概可以对未来的工作量有一个大概的了解。

在具有初步合并的对数网络内部，边流仅存在于直接地址树中，并且它们每一代节点的总功率相同：n / 2。树日志总数₂ n因此，一种评估复杂度的新方法可以估算复杂度：O（n log ₂ n）。

具有初步合并功能的对数网络
... ..................... n 由于转换成本而
浪费的平均旅行时间
：
渐近行为.................................... ................................................... ............................ O（n）
精确值................ ................................................... ...........................（α / 2 ν）⋅ ñ
交换节点数............................................... O（n）
考虑侧流功率的交换节点的数量。 ............... O（n log ₂ n）

初步分离的网络中的损耗
现在让我们继续进行初步分离的对数网络的分析，再次假设该网络用于连接单位功率的地址点在“统一访问”城市。

图16显示了它的一部分，由一个地址点以及与该点相邻的直接和反向地址树组成。


无花果 16

首先，我们估算碎片产生的开关损耗的强度。
由流动的分离而产生的成本的大小可以由下式中代找到我_{t_div1} =（α / 2 ν）⋅ Ñ ²在前面的例子中推导出直接地址树，而不是ñ -单元。实际上，在图16和14中的直接地址树具有相同的深度和类似功率（流行事沿_{约相似性是指通过将另一组中的值乘以某个固定数来获得一组值的能力，以说明，可以使用其两侧的三角形之间的相似性}）。因为开关在一个单独的叉所产生的费用的幅度和向其提供的流中的所有流的同时减少功率之间的二次方关系的 Ñ时间将在整个树中的损失减少到 Ñ ²然而倍，而不是过去的（ α / 2 ν） ⋅ Ñ ²我们我们获得的一个值：

我_{t_div2} =（ α / 2 ν）。

现在，我们在片段的左半部分中计算成本值。
由于反向地址树中道路的合并流较小，因此这次构建超过两个车道的宽度是不合理的。在这种情况下的合并不再是免费的：与前面的示例相比，高速公路上的狭窄点（图17）将需要转换成本。


无花果 17

假设驾驶员提前意识到即将出现的收窄情况，我们可以假设从死胡同车道上行驶汽车的过程很慢，沿着高速公路延伸了数百米。在这种情况下，我们有权诉诸我们先前使用的技巧来计算对称叉处的损失-将总迁移流量q分成许多小部分q _i，然后将它们中的每一个解释为来自坡道的侧流。通过由下式计算每个这样的子流中产生的损失：
我 _我 =（α / 2 ν）⋅ p q _我 ⋅（1 + 1 / 小号），但有两个微妙之处。

首先是汽车不会比下一行迁移得更多。
实际上：由于明显的对称性，两个中央车道中的流量应始终具有大致相同的密度，因此驾驶员将没有太多理由越过中线。从观察中可以看出，在由部分侧向流动引起的损失的公式中，s等于1。

随着机器离开极限车道，重新排列成两个中心行，中心带内的流动功率逐渐增大，在每种情况下都从P / 2至P。因此，第二个微妙之处是对p的显着依赖从室温子我，这使得编写我们：

我 _我 =（α / 2 ν）⋅ p q _我 ⋅（1 + 1 / 小号），
如：
我 _我 =（α / 2 ν）p（我）⋅ q _我 ⋅（1 + 1 / 小号）。
当迁移流被划分为许多小部分的大小都相等时，相关性p（i）由线性图表示（图18）。


无花果 18岁

要计算总损失的强度，必须要么求积分，要么（可以用一种特别简单的形式表示可积函数），因为p（i）取图上的平均值等于3 P / 4。由于从每个极端带状区域的侧面迁移的总流量为P / 2，因此，单独合并的损失强度为：

I _merge = 2⋅（α / 2ν）⋅（3 P / 4）⋅（P / 2）

=（α / 2ν）3 P ²/ 4。

为了找到在地址反向树的轨道生成的临时损失是适用于式我 _合并到每个节点它：

我 _{t_merge} =（3/4）⋅（α / 2 ν）[1 ⋅（1/2）² + 2 ⋅（1/4）² + 4⋅（1/8）² + ... +（n / 2）⋅（1 / n）² ]

≈≈（3/4）⋅（α / 2ν）[1/4 + 1/8 + 1/16 + ...] =

=（3/8）⋅（α / 2ν）[1/2 + 1/4 + 1/8 + ...] =

=（3/8）⋅（α / 2ν）。

在由于融合和分离流的轨道所产生的总成本使得：

我 _{t_merge} + 我_{t_div2} =（α / 2 ν）[1 3/8 +] = 11/8（α / 2 ν）。

初步的分裂对数网络仅包含n个这样的片段，而恰好n单位流量是由其地址点生成的，因此，我们刚发现的值等于平均每次行程产生的开关损耗。

实际上，对于我们来说甚至更重要的是，甚至不等于一个特定的转换成本，而是一个特定的数字，但是随着n的增加，这些成本保持不变。在较早研究的所有类型的网络中，后一种情况使具有预分离的对数网络在切换损耗方面渐近渐近，最经济。

不幸的是，领导力不是“免费”的。尽管绝大多数流量的规模都在逐渐减少，但网络中包含的每个地址树仍包含约2 个两车道的路肋和大约n个全尺寸交换节点。该网络中有2 n棵树，这意味着O（n ²）个边缘和节点，这不仅使它在时间上最经济，而且在构建的所有示例中，它也是构建成本最高的网络。

至于横向流量之和，它的值很容易计算，随速度O（n log2 n）增长，在这种情况下意义不大。

初步分离的对数网络
单位功率地址点的数量............................................... ............ n
平均旅行时间，
由于转换成本而丢失：
无症状................................................... ................................................... .......... O（1）
精确值................................ ................................................... ........... 11/8（α / 2ν）。
交换节点数............................................... ................................... O（n ²）
考虑侧流功率的交换节点的数量... ................ O（n log ₂ n）

对数平衡网络

极小的开关损耗，可能会使用具有初步分离功能的对数网络，但同时其建设资源过于密集，因此人们希望找到某种方法来更改其设计，从而显着减少资源消耗，并且开关成本不会显着增加。

显然，网络中道路数量过多的主要原因是其使用效率极低。在图19中可以清楚地看到后者，该图显示了与第i个地址点相邻的直接地址树中的流的详细图。


无花果 19

在该图中，树边缘上方的数字表示行进流沿边缘的功率，下面的间隔是该流最终将在其间分配的一组地址点。可以相信，图中所有边缘都是两车道的高速公路，每代树木的边缘数量都在图的底部显示。

在仔细检查时，您可能会注意到，将旅行流划分到特定节点中的规则仅由该节点在地址树中的位置确定，而不取决于引起这些行程的地址点的数量。

如果有多个流指向同一组点，但每个流的功能都不足以填充其分配的路径，那么为什么不将它们合并在一条高速公路上。实际上，这种本质上简单的想法使得有可能建立一个良好的抽象网络，产生相对较小的交换损耗，并且在使用的道路数量上经济。

回到第i点的地址树，我们看到进入根节点的流被分为两个子流，每个子流的容量为1/2。第一个继子流由指向间隔[1; n / 2]，第二个-从间隔[（n / 2）+1开始寻址到点；n ]。
按照上面概述的思想，我们在每个奇数点和下一个地址点处依次使用相同类型的继子流和偶数。这种技术允许每个选定的点对具有四个单位大小的流而不是四个具有1/2幂的流（图20）。我们将缩写BN ₂ [i;我+1]。


无花果 20

如果继子流程没有合并，但仍位于地址树中，则在到达下一代节点时，每个节点将再次分为两部分，即幂和大小与这些点集相等旅行的组成部分。

为什么要打破既定的传统，因为在统一之后，我们仍然拥有与以前相同的流类型集，但是每种类型的代表都更少了？ -适用于每个输出流BN ₂ [i; [i +1]完全相同的分隔规则，适用于“地址”树中其类型的流。

没有理由为什么不能归纳地重复上述用于将相同流组合-分离的逻辑结构。图21显示了将
BN _2的两个片段合并为BN _4的一个片段的图，图22显示了该算法在一般情况下的外观。


无花果 21


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最后，放大片段的过程将完成，并将我们引向唯一元素BN _n [1; n ]，我们将其称为对数类型的平衡网络（图23）。


无花果 23

让我们检查该网络的复杂性和所产生开关损耗的大小。
基于平衡网络构造过程的归纳性质，其结构中包含的交换节点数可以由以下返回方程式描述：

节点 （BN _k ）= 2个节点 （BN _{k / 2} ）+ 2 k ，

有边界条件：

节点 （BN ₁ ）= 0。

此方程组的解决方案是函数：

节点 （BN _n ）= 2 n log ₂ n 。

由于BN _n的构造需要log ₂ n的归纳步骤，因此每个行程将经过log ₂ n分离节点和相同数量的合并节点，并在其路径上交替变化（图24）。


无花果 24

每个分离节点内产生的损失：
（ α / 2ν ） ⋅ （1） 2/2 。

每个合并节点内产生的损失：
（ α / 2ν ） ⋅3⋅ （1/2）2/4 = 3/16（ α / 2ν ）。

假设它们在平衡网络中均为n log ₂ n ，则可以得出总开关损耗的准确值：
11/16（ α / 2ν ） n log ₂ n ，

每一趟是：
11/16（ α / 2ν ）log ₂ n

对数平衡网络
单位电源的地址点数............................................. ....... n
平均旅行时间
因转换成本而损失：
渐进性................................................. ................................................... ... O（log ₂ n ）
准确值................................................ ............................................... 11/16 （ α / 2ν ）log ₂ n
交换节点数............................................... ................................... O（ n log ₂ n ）
考虑到旁流的功率，交换节点的数量....................... O（ n log ₂ n ）

上面发现的数字使平衡网络被视为引入的时间损失量与总体结构复杂度之间的良好折衷。 原则上可以将其用作真实城市的道路网络，但在经济上几乎不可行。 在我看来，使用平衡网络实际上可以带来很多好处，这是对信号延迟量有严格要求的大规模信息系统，例如蜂窝通信，互联网，分布式计算，多处理器计算机。 对我们而言，平衡网络的主要价值在于构建网络的方法。 再过一会儿，使用此方法的修改，我们将能够改善实际上对线性和蜂窝中心非常重要的网络。

为什么历史城市注定要塞车

我的发言似乎有些出乎意料，但是在前面的段落中，我们已经找到了为什么自然发展的城市通常遭受交通拥堵的答案。 那么它由什么组成呢？

事实是，许多幸存下来的中世纪堡垒（例如，几乎所有“旧世界”的首都）都从这个时代继承了放射状的街道结构。 不幸的是（对于他们的现代居民），具有类似拓扑结构的路网无法很好地扩展：靠近中心的径向道路的密集位置在外围地区变得越来越少。 结果，在人口增长的过程中，最初位于通往要塞的几条道路的边上的街道变大了，而出现在外围的街道却变短了，没有足够的过境意义来发展其宽度。 结果，我们现在在历史悠久的大城市中看到的道路网络现在最常指的是动脉型运输系统，在我们的术语中，是指具有（不完全）初步合并的对数网络的类型。


（莫斯科道路，照片：Stepanov Slava）

如果我们谈论驾驶员应沿着道路行驶的路径长度，则这种网络的实施情况还不错：行驶的距离通常与直线距离及其在城市中的平均值相差不大，就像“体面”的运输系统一样，以O（√n）的速度增长。 问题在于，随着对数网络在初步合并中城市的扩大，其产生的转换成本增长得太快：平均而言，由于旅行而延长的旅行时间取决于在城市中居住的人数O（ n ） 显然，从n开始，这个时间将胜过晴朗的距离，以克服距离，换句话说，交通堵塞将出现在城市中。

毫无疑问，历史悠久的大城市中交通运输系统的重组是可以解决的任务。 但是，重要的是要在这里了解到，尽管稍微改善了城市状况，但又要建设另外的，两个或五个大型交通干线，但无法消除交通拥堵的根本原因。 显然，通过初步合并来克服对数网络的缺点的唯一方法是使用另一个网络。 这里的一个很好的候选者可能是具有蜂窝拓扑的网络，其覆盖距离的时间增长率至少与开关损耗的增长率一致。


（柏林之夜，照片：文森特·拉福雷特）

也许这就是为什么现代柏林虽然有大动脉公路，但已经以清晰可见的网状结构为特征。

关于如何使历史名城的居民更加机动，世界上有许多有趣的解决方案，但是在交通可及性方面的斗争中，主要的奖项可能应该交给巴塞罗那的工程师。


（巴塞罗那更新了道路网络，照片：Vincent Laforet）

详细了解线性和蜂窝城市网络

在抽象网络上找到并完善分析方法之后，是时候将其应用于具有线性和单元拓扑的城市的更实际案例了。 在本节中，我们将尝试详细分析其传输链路的特征，确定开关损耗强度的数值，找出其值如何取决于四分之一面积的大小，并讨论可能的变化和改进。

线性城市
这次，以一个有两条单向街道的城市为例：西边向北移动，东边向南移动（图25）。


无花果 25

让每个四分之一生成单位功率的旅行流。 在这种情况下，从一个街区到另一个街区的一条旅行路线占了1 / n的交通流量。

我们为初学者定义了街道高速公路上侧向流动的力量。 西方的
这条街是唯一一个从i到达四分之一的方法
（ n - i ）个位于其南部的宿舍，而从i季度开始的唯一方法是到达位于其北部的（ i -1）个宿舍。 因此，扎帕德纳亚街与第i季度之间的流量交换流量等于：

q _{W_out} =（ n - i ）/ n-对于离开西街的支流，
_{W_in} =（ i -1）/ n-对于与其运动相邻的支流。 显然，在东方大街上的人流力量以对称的方式取决于我 ：
q _{E_out} =（ i -1）/ n是一个离开者的力量，
_{E_in} =（ n - i ）/ n是与东大街上的交通相邻的支流的功率。

当然，离开第i个季度的流量总和为：

q _{E_in} + q _{W_in} =（ n -1）/ n ，
匹配进入它的流的总和：
q _{E_out} + q _{E_out} =（ n -1）/ n ，
并且这两个值都不以任何方式依赖于i （每个四分之一的旅行流为1 / n量级，都在自身内部开始和结束）。

为了找到主要流量的力量，我们在与第i季度相同高度的西部高速公路上绘制了一条假想线。 总的来说，这条线将交叉：
（从下方开始的四分之一的数量）×（从上方开始的四分之一的数量）=（ n - i ）（ i -1）条路线，这些路线共同创建了具有以下值的流：

_PW （ i ）=（ n - i ）（ i -1）/ n 。

相同的公式：
（从下方开始的四分之一数量）×（从上方开始的四分之一数量）/ n ，
应该表示和东街上的功率P _E交通流，换句话说：

P _E （ i ）= P _W （ i ）= P （ i ）。

知道所有主流和旁流的力量，我们可以计算在第i个四分之一区域附近网络中发生的损耗强度：

I （ i ）=（ α / _2ν ） _⋅P （ i ） ⋅ [（ q _{E_in} + q _{W_in} ） ⋅ （1 + 1 / s ）+（ q _{E_out} + q _{E_out} ） ⋅ （1-1- s ）] =
=（ α / 2ν ） ⋅P （ i ） ⋅ [（1-1 / n ） ⋅ （1 +1 / s ）+（1-1 / n ） ⋅ （1-1 / s ）] =
=（ α / 2ν ） ⋅2 P （ i ） ⋅ （1-1 / n ）=
= 2（ α / 2ν ） ⋅ （1-1 / n ） ⋅ （ n - i ）（ i -1）/ n =
= 2（ α / 2ν ） ⋅ （1-1 / n ） ⋅ （ n - i ） ⋅ （ i -1） ⋅ （1 / n ）。

如果我们对i上的最后一个表达式求和，那么我们将得到整个网络整体所产生的损耗强度。

我 = ∑ _i 我 （ i ）
= ∑ _i 2（ α / 2ν ） ⋅ （1-1 / n ） ⋅ （ n - i ） ⋅ （ i -1） ⋅ （1 / n ）=
= 2（ α / 2ν ） ⋅ （1-1- n ） ⋅n 2⋅∑ _i （1- i / n ） ⋅ （ i / n -1 / n ） ⋅ （1 / n ）≈
≈2（ α / 2ν ） ⋅n 2⋅∑ _i （ i / n ） ⋅ （1- i / n ） ⋅ （1 / n ）。

∑ _i （ i / n ） ⋅ （1- i / n ） ⋅ （1 / n ）的总和可以通过积分用高精度替换为：

∫t （1- t ）d t （t∈[0; 1]）= 1/2-1/3 = 1/6。

我们从哪里得到，在n单位容量的线性城市中，开关损耗的强度为：

I =（ α / 2ν ） n 2/3。

在此之前，我们仅考虑其中四分之一总是产生单位功率流量的示例。 让我们看看如果每个季度没有一个单位功率源，而是-λ （每个季度将变成λ倍），那么线性城市的开关损耗公式是否会改变。

以m个街区为例。 如果块产生的功率流为1，则开关损耗将为（ α / 2ν ） m 2/3。 每四分之一的旅行生产能力增加λ导致主流和侧流的λ同时增加，因此，每个立交点以及整个网络内部的成本增加了²倍，损耗公式为：

I ＝（ α / 2v ） m 2⋅λ2/ 3 。

总的来说，切换损耗如何取决于城市中的宿舍数量完全无关紧要，对我们而言，主要的问题是它们如何取决于城市内部所有行程的功率流，换句话说，取决于单位电源的数量n 。 在考虑的情况下， n等于m⋅λ ，因此：

I =（ α / 2ν ） m 2⋅λ2/3 =
=（ α / 2ν ）（ m⋅λ ） 2/3 =
=（ α / 2ν ） n 2/3。

换句话说，线性城市中的开关损耗不取决于将其划分为四分之一的微小程度。

细胞城
想象一下一个蜂窝城市，其中垂直街道的道路在不同的高度上间隔开。 例如，如果将所有从北向南通往的街道道路都架在桥上，而从西向东延伸的道路都建在地表上，则可能发生这种情况。 此外，如果所有街道都有双向交通，则该城市的路线图将称为“标准蜂窝拓扑”（图26）。

当然，这里的重点并不是要认真地实践上述网络：在城市景观的背景下，它看起来在美学上不会太令人愉悦，此外，由于需要多层交换，它将吞噬大部分街道空间。 但是，这种纯粹的假设网络是获得必要估算的一种好方法，以后可以很容易地将其扩展到从实际城市中的适用性角度来看非常有趣的道路网络。

像往常一样，我们将假设居民的迁移需求是通过“统一访问”模型来描述的，并且我们将从一个独立的季度产生的所有旅行流的容量为1的情况开始考虑。

在以标准蜂窝城市为例的案例中，可以很方便地摆脱既定的传统，而不将地址点视为一个单独的四分之一，而是将其视为一个正方形的领土区域，以捕获街道高速公路和与其相邻的所有邻域的四分之一的交叉点。 图27显示了几个此类区域的相对位置，并显示了其中一个区域的交通模式。 该图清楚地表明，离开四分之一区的任何驾驶员都有机会沿着世界四个部分中的任何一个方向上高速公路。


无花果 26

为了找到该城市产生的转换成本的价值，我们计算了其每个区域内所有主流和支流的力量。 区域的形状和相互安排使我们可以用国际象棋类比来解决最后一个问题，将区域视为领域的单元，并考虑它们之间的汽车运动-船的运动（图27）。 从一个单元到另一个单元，前提是它们彼此处于“一般位置”，则可以两步移动车子，如果两个单元位于相同的水平或一个垂直方向，则移动一个。


无花果 27

为了避免造成许多不便的保留，我们假定根据我们的规则，车子不向任何地方移动的移动也是允许的。 称为“最简单”的车行运动路线由两个动作组成，其中一个动作必须垂直执行，另一个必须水平执行。 同时考虑垂直和水平“就地”移动是合理的。 在这种情况下，这样的说法是正确的：板上的任何两个单元都通过恰好两条不同的最简单的路线相互连接。

对于驾驶员而言，“最简单”的路线是从一个区域到另一区域的干扰最小的最简单方法，因此可以合理地假设实际行程将沿着基本路线进行。 根据地址点（区域）生成的“统一访问”模型，单位功率的流量应在城市的所有n = d ^2个地址点之间平均分配，因此，沿着一条路线行进的行进流量为1 /（2 n ）。

我们计算从南到北的方向通过单元（ i ， j ）的大小的流量。 最简单的路线仅在两种情况下从南到北穿过像元（ i ， j ）。 第一个（左图28）：

1a）路线的初始像元位于最后一条（ d - i ）等高线（线）中的一条；
2a）路线的终点是第j个垂直（列）的第一个（ i -1）像元之一；
3a）路线以水平截面开始，或完全位于第j列内。


无花果 28

描述第二种情况的条件看起来是对称的（右侧图28）：

1b）路线的起点是第j个垂直线的最后一个（ d - i ）单元之一；
2b）路线的最后一个像元处于第一个（ i -1）轮廓之一
3b）路线以垂直截面开始，或完全位于第j列内。

在棋盘上只有2×[ d⋅ （ i -1）+ 1⋅ （ i -1）]×（ d - i ）适合最简单的路线，它们共同产生了动力流：

P _SN （ i ， j ）=（ d +1） ⋅ （ i -1） ⋅ （ d - i ）/ n （= P _SN （ i ））。

固定j ，我们得到函数

（ P _SN ） _j （ i ）= P _SN （ i ， j = Const），

描述了沿第j条垂直公路向北移动的水流的功率对到城市上边界的距离（以单元为单位）的依赖性。
关于函数（ P _SN ） _j （ i ）有一些或多或少明显的观察，让我们讨论一下。

也许我们从难以忽视的情况开始： P _SN （ i ， j ）实际上独立于第二个参数。 结果，对于所有j值，函数（ P _SN ） _j （ i ）= P _SN （ i ）具有相同的形式，换句话说，蜂窝城市内部街道的特定位置不会影响其负荷。 正式地，最后的陈述仅针对通往北部的高速公路得到了证明，但是由于城市的对称性，它也自动延伸到其他方向的高速公路。

现在让我们看一下P _SN （ i ）的公式本身：

（ d + 1） ⋅ （ i -1） ⋅ （ d - i ）/（2 n ）。

正如我们所看到的， P _SN对i的全部依赖性在于表达式（ i -1） ⋅ （ d - i ）。 该表达式可以解释为左右间隔的长度的乘积，长度为d的整数段从第i个元素中消除后就被分成左右间隔（图29a）。


无花果 29a


无花果 29b

显然，如果将“右”更改为“左”，而将“左”更改为“右”（图29b），则工作结果将保持不变。 从这种简单的观察，实质上，有两个结论对我们非常有用：

1. 函数P _SN （ i ）相对于街道i =（ d + 1）/ 2的中点对称，换句话说，距城市下边界距离Δ的流量与距上边界距离Δ的流量完全相同。
2. 总体而言，城市本身是上下对称的，因此要获得函数（ P _NS ） _j （ i ），该函数描述第j条高速公路上的潮流，但向南，只需简单地镜像函数图（ P _SN ） _j （ i ）在i =（ d +1）/ 2行中。 由于（ P _SN ） _j （ i ）= P _SN （ i ），并且P _SN （ i ）关于线i =（ d +1）/ 2的图是对称的，因此（ P _NS ） _j （ i ）= P _SN （ i ）= P _vert （ i ），换句话说，在城市中任何地方，直接流量和即将来临的交通流量都具有相等的功率。 P _SN （ i ）的近似图如图30所示（相信d >> 1， i >> 1， d - i >> 1）。

无花果 30

使用旋转对称性很容易找到沿水平公路的主流的力量；从形式上讲，此过程归结为简单地将i用P _SN （ i ）中的j替换为i以及较低索引的小版本。

接下来要做的是找到侧向流动的力量。 在单元格（ i ， j ）内的垂直高速公路上进出交通的旅行可以方便地分为四类：

1. q _{in_transit} : — i - , — j - , ( i , j ) ( 31a);
2. q _{out_transit} : — j - , ( i , j ), — i - ( 31b);
3. q _in : — ( i , j ), — i - ( 31c);
4. q _out : — i - . — ( i , j ) ( 31d).

无花果 32：ABCD

计数属于每个类别块线的数目后，我们得出结论，所有四个流的功率是相同的并且是：

q ₀ = d ⋅（d - 1）/（2 Ñ）

中具有值的容量主要和侧流在垂直公路上，不难计算出因转换而产生的成本。内的单个小区（我，Ĵ）将等于成本：

我_VERT（我，Ĵ）=（α / 2 ν）⋅ P _VERT（我）⋅ [（q _在 + q _{IN_TRANSIT}）⋅（1 + 1 / š）+（q _出 + q _{out_transit}）⋅（1 - 1 / š）] =
= 4（α / 2 ν）⋅（d + 1）（我 - 1）（d - 我）⋅ d（d - 1）/ 2 ñ ²听，说：
听，说：2（α / 2 ν）⋅ d ⁵ ⋅（我 / d）（1 - 我 / d）⋅（1 / d）⁴ =
= 2（α / 2 ν）⋅ d ² ⋅（我 / d）（1 - 我 / d）⋅（1 / d）。

为了找到整个城市内垂直街道上的成本，我们需要将I _vert（i，j）对于这两个指标：

我_VERT =Σ _IJ 我_VERT（我，Ĵ）=
= 2（α / 2 ν）⋅ d ² ⋅ Σ _IJ（我 / d）（1 - 我 / d）⋅（1 / d） 。

由于项的大小完全不依赖于j，因此对第二个索引求和就等于乘以d：

∑ _ij（i / d）（1 - 我 / d）⋅（1 / d）= d ⋅＆Sigma; _我（我 / d）（1 - 我 / d）⋅（1 / d）。

最后总和可以通过熟悉的积分进行近似：

Σ _我（我 / d）（1 - 我 / d）⋅（1 / d）听，说：＆Integral; 吨（1 - 吨）d 吨（吨∈[0; 1]）= 1/2-1/3 = 1/6。

这意味着

我_VERT =（α / 2 ν）⋅ d ³ /3 =（α / 2 ν）⋅ ñ √ ñ / 3。

当被问及什么是成本的高低我_HORIZ，在水平公路发生的，采用对称的城市可以回答：

我_HORIZ = 我_VERT =（α / 2 ν）⋅ ñ √ ñ / 3。

因此，整个网络城市切换所述标准单元内的损失的强度是：

我 = 我_VERT + 我_HORIZ = 2/3 ⋅（α / 2 ν）⋅ Ñ √ Ñ，

和每平均行驶成本下降值

2/3 ⋅（α / 2 ν）＆CenterDot;＆ √ ñ

细胞大小的影响通过的开关损耗量
四分之一单位发电量的流动是问题条件的相当人为的限制。我们将以上获得的结果扩展到一个区域像元产生的行进功率等于λ的情况。
让城市由m个这样的单元组成。如果所有的电池具有仅单个电源，整体的开关损耗的强度达我 ₁ = 2/3 ⋅（α / 2 ν）⋅ 米 √ 米。增加做出旅程的数量λ倍λ时间将增加所有主要的能力和侧流街高速公路，这反过来将在使λ ^2周城市转换成本之内的时间长得所有生成的。对于强度损失的新配方从而变为：

我 = 2/3 ⋅（α / 2 ν）λ ² ⋅ 米 √ 米

假设信元包括λ的单位功率可寻址点，这样的点的总数量将是：Ñ = λ 米。让我们将I表示为n和λ的函数：

I2/3 = ⋅（α / 2 ν）λ ² ⋅ 米 √ 米 =
= 2/3 ⋅（α / 2 ν）⋅ √ λ ⋅（λ √ λ）⋅（米 √ 米）=
= 2/3 ⋅ √ λ（α / 2 ν）⋅（λ 米）√（λ 米）=
= 2/3 ⋅√ λ（α / 2 ν）⋅ ñ √ Ñ。

平均成本归因于一趟新条件构成2/3 ＆CenterDot;＆ √ λ（α / 2 ν）＆CenterDot;＆ √ Ñ，在√为λ倍与来自一个单一的电源块汇集在其值进行比较。

最后一个公式告诉我们，对于相同的人口，人口密度和所有道路的总面积，转换成本会更高，其设计者在设计城市时选择的房屋面积越大。当然，如果城市人口在整个领土上分布不均，则不应关注几何尺寸，而应主要关注该季度内的平均人数及其迁移活动。


（纽约市中心照片：Vincent Laforet）

当设计带有摩天大楼的区域时，以上说明尤其重要。由于高人口密度及其高机动性的结合，人们希望在高海拔地区建造的房屋面积比建造标准楼层的房屋小几倍。在摩天大楼建造历史悠久的文明中，隔离甚至隔离成块的大型建筑物的做法很普遍。

红绿灯蜂窝城市
在每种情况下，当两条繁忙道路的线在地图上相交时，建筑师必须做出选择：要么将其中一条道路举升到桥上，让另一条道路从下方自由通过，要么以规则的交叉点的形式实现交叉点，并解决导致交通的流动冲突监管。第二种选择是由于其简单性，无需建立大型工程结构而引起的，此外，它还为行人提供了一种简单的过马路方式，由于这些原因，在城市中人们通常更喜欢这样做。


（洛杉矶市中心下午，照片：Boris Shein）

在具有小区拓扑的网络中使用交通信号灯具有其自身的特征。在第1章中，表明了在交通信号灯正确同步的情况下，汽车在沿着同一条街道行驶时，甚至不必在十字路口停车：绿灯将始终向其方向发光。这种现象通常被称为绿浪制度。要创建它，需要将交通流划分为两个类型的两个交替区域：充满车和无车流。接下来，选择一种交通信号灯操作模式，以使得在下一个“部分”经过其中一条街道的路口时，沿垂直街道行驶的汽车的前一部分已经通过，而下一辆尚未到达（图33）。


无花果 33

以绿色模式行车的能力要自己承担费用，并对城市街道的布局施加某些限制。

再次查看图33，可以很容易地看到，在任何给定时间，实际上并没有真正使用所有道路一半的面积。为了弥补这种简单性，在已用过的一半道路上，汽车的局部功率和必要的车道数量应为具有立交桥的城市的两倍。

与使用绿波相关的第二个最重要的情况是严格控制宿舍的允许大小：它们的长度（对于双向街道）应为填充的绿波长度（可能不受阻碍的运动的一部分）的倍数，约500米。如前一段所述，人口密度高的地区要求增加道路定位的频率，因此从下方限制街道公路之间的距离可能会导致交通困难。

有趣的是，在绿浪模式下，规则会根据在网络内部切换的行进路线而略有变化。例如，可以在填充区域之间执行另一辆汽车与街道高速公路上的主要交通流的连接，因此不会造成任何严重的转换成本（图34a中的“ 1”点）。


无花果 34

当然，在驶入高速公路之前，这辆汽车本身必须花费一些时间等待最近的空旷区域，然后仍要站在交通信号灯处，直到下一个完整区域到达它为止（图34a中的“ 2”点），但是，这些损失的严重程度既不取决于城市的大小，也不取决于街道上交通的繁忙程度，因此可以大规模地忽略它们。

如果汽车试图在街道高速公路上离开交通，情况将完全不同（图34b）。在这里，很可能还没有棘手的方法来减少他所产生的开关损耗。而且，由于填充区域内部的流量的本地功率增加了一倍，因此从中移除任意选择的汽车所花费的时间成本是具有立交桥的城市的两倍。总的来说，便宜的“入口”和更昂贵的“街口”出口相互补偿，这使得红绿灯小区城市在这方面几乎没有更好，但没有比标准差。

单向蜂窝城市
除了使用交通信号灯外，至少还有一个机会可以摆脱标准城市繁华的交汇处。它包括以相反的运动方向对道路进行空间划分（图35）。


无花果 35

这种变化的结果是，街道的数量将增加一倍，都将变为单侧，但最重要的是，将大大简化交汇处（图36）。


无花果 36
由于通向世界各缔约方的高速公路数量以及经过它们的旅程数量保持不变，因此，应具有所有流量的容量，以及具有两个大（线性）季度的单向蜂窝城市和标准城市的转换成本。匹配。如果我们将标准城市和一侧面积相同的单边城市进行比较，那么第二个城市的开关损耗将是原来的两倍。

“线性”街道。

如何在蜂窝网络中减少开关损耗？这个问题的答案将使我们能够成功地进行类比和一些精明的选择。

考虑一下蜂窝网络的某种不同寻常的修改，这意味着从西向东延伸的所有高速公路都是双向的，而在垂直于它们的道路上，则只能采用一种方式：北向或南向，并且这些方向交替出现从一条街到另一条街。

与往常一样，我们将假设该城市遵循统一访问模型，并且每个城市的四分之一都会产生有条件的单位功率行驶流。

在这种情况下，四分之一（i，j）旅游流，留下被周围的街道上的分布情况如下：它的1/4将落在的水平的道路之上，又1/4 -从底部在水平路面，1/4 ⋅ 我 / d流走垂直道路上的北部和更沿第二条垂直高速公路向南延伸1
/ 4⋅（1- i / d）-（图37）。

无花果 37

实际上，根据先前讨论的路线构建算法，根据统计数据，旅程的一半将从水平路段开始，对于偏爱这一半的驾驶员而言，他们的路径位于四分之一（i，j）的北面还是向南从他那里。其余的旅程的一半将从垂直的交通路段开始，并且将在南部和北部高速公路之间按位于南部（i，j）的四分之一数与位于其北部的四分之一数进行划分。

至于向内的流动（i，j），则其相对于四分之一周围的高速公路的划分规则将是对称的（图38）。


无花果 38

在与四分之一（i，j）相邻的四个交叉路口中，我们分别考虑了较低水平公路和垂直街道交叉路口处的横向流量（图38）。流机进入水平到垂直预览是：
1/2 ⋅（水平块的数目）×（垂直不低于块的数量（我，Ĵ））⋅ 1 / d ² =
= 1/2 ⋅ d ⋅ 我 / d ² =
= 1/2 ⋅ 我 / d。
在相反的方向上的横向流的大小是：
1/2 ⋅（在垂直严格下面的块的数量（我，Ĵ））×（在垂直方向块的个数）⋅ 1 / d ² =
= 1/2 ⋅（d - 我）⋅ d / d ² =
= 1/ 2⋅（1- i / d）。

现在，让我们将注意力从整个蜂窝城市转移到它的任何垂直街道，我们称之为My_street。由于对称性，如果我们假设沿着My_street的运动是从南向北定向的（图39），我们将完全不会限制推理。


无花果 39

图40描绘了沿My_street的高速公路上主流和横向流量的功率曲线图，读者可能会注意到，它们与线性城市单向高速公路的类似曲线图非常相似（图26）。



无花果 40

在这些示例中，如果在My_street内部将与每对相对的四分之一区有关的横向流和其下方的水平公路正式分配给一个虚构的像元，则流量模式完全重合。从前面的表中可以看出，线性城市的道路网络在我们已经研究过的建筑网络中产生了一些最大的开关损耗。从这个角度来看，单个单元格城市街道中的交通模式看起来效率极低，这是首先应该尝试改善的元素。

线性城市高级网络
因此，我们面临着改进线性网络的任务，以使它不会变成“正方形”。导致线性网络运行效率最低的情况是将所有路由统一为两个非常大的流量。在这种情况下，一个合理的步骤是将沿其两条街道公路的流量分成Q个相等的部分。由于将每辆车驶入或驶出交通所引起的时间成本与交通量成正比，因此将街道分为Q个隔离部分（图41a），线性城市内的开关损耗应减少Q倍。


无花果 41

仅在附近建造10条道路，并希望驾驶员自己在道路之间平均分配-不幸的是，似乎没有成功的机会。一个更周到的决定是设计网络，以使每条道路都不通向所有区域，而仅通向城市的一小部分“街段”，在那儿很难绕过它（图41b）。

您可以在多层建筑物内的电梯移动方案中看到类似的想法。在这里，每部电梯都可以让您进入和退出电梯，而不是在所有楼层，而只能在一定高度范围内。以这样的理念，让我们在路上仔细一看- [R _k个，开放存取段增量_第k =（X _k个，x _{k +1} ]用于（非严格）从x _k的南部开始的行程（可以认为，区块的编号是自下而上进行的）。在每季度的一侧，其数量（严格）小于X _k个，道路- [R _k个进入流动q _在功率| 德尔塔_第k | / Ñ（1 / Ñ到内的每个块的地址增量_k个），在同一时间，假设到关闭的能力- [R _k个由于既定的交通规则或道路网络的特殊设计，导致缺少通往上述任何一个区域的交通。

累积在间隔[1，X _k个 ]汽车最终被均等地分布所述的四分之三之间增量_k个，因此，如果你不会去那里，开始和其内谎言的端部三角形_k个，横向流动q _出在此区域中每个块的方向将具有x _k / n的功效（图42）。


无花果 42

实际上，“内部”旅行对旁流力量的贡献也发生了，但是，这种贡献的价值永远不会超过三角洲_第k | / ñ，所以当X _k个 >> | 三角洲_第k |，它可以简单地被忽略。功率p _ķ沿着主流ř _ķ这些简化下是具有最大的两个直线部分的曲线P _ķ等于X _ķ ＆CenterDot;＆ | 三角洲_第k | / ñ。开关损耗的近似值ř _ķ可由下式式中找到：

我_ķ =（α / 2 ν）⋅ ＆Sigma; _X [ q _在（X）⋅ p _ķ（X）⋅（1 + 1 / 小号）] +（α / 2 ν）⋅ ＆Sigma; _X [ q _出（X）⋅ p _ķ（X）⋅（1 - 1 / š）] =

=（α / 2ν）⋅（1 +1 / s）∑ _x [| Δ _ķ | / Ñ ⋅ p _ķ（X）] +（α / 2 ν）⋅（1 - 1 / s ^）Σ _X [ X _ķ / Ñ ⋅ p _ķ（X）] =

=（α / 2 ν）⋅（1 +1 / s）⋅（x _k ⋅ | Δ _ķ | / Ñ）⋅（Σ _X p _ķ（X））/ X _ķ +（α / 2 ν）⋅（1 - 1 / 小号）⋅（X _ķ ⋅ | Δ _ķ | / Ñ）⋅（Σ _X p _k（x））/ | 德尔塔_第k |，

其中，所述第一总和被在站点X ∈[1，X _k个 ]，以及第二-用于X ∈ 增量_第k。表达式：

（Σ _X p _k个（X））/ X _k个，X ∈[1，X _k个 ]和

（Σ _X p _k个（X））/ | 德尔塔_第k |，X ∈ 增量_第k

不是其他如沿着平均功率流[R _k个在指示的时间间隔内。由于在这些时间间隔内的功率图具有直线形式，因此两种情况下的平均功率均为P _k / 2。更换
X _第k ＆CenterDot;＆ | 德尔塔_第k | / Ñ在
P _k个，
我们终于给出强度的在其最简单的形式损失的公式：

I的_第k = 2（阿尔法 / 2 v）⋅ P _k个 ⋅ P _k个 / 2 =（阿尔法 / 2 v）⋅ P _k个 ²

现在让我们尝试计算应将线性城市划分为四分之一的那些四分之一数的序列x _k。至于段的选择的标准通过一个要求，即业务流的最大容量P _k个上为它们合适的道路为具有相同的值，这是独立的k个，换句话说，等式：

X _第k ＆CenterDot;＆ | 三角洲_第k | = const。

记住那个三角洲_第k | = X _{第k + 1} - X _k个，我们得出的差分方程：

X _{第k + 1} -x _k =常数/ x _k。

假设X和ķ连续变量，和更换

X _{K + 1} - X _ķ = X（ķ + 1） - X（ķ）

到d X / d ķ ⋅ 1，

我们可以近似差分方程微分：

d X / d ķ =常量/ X <=> X d X =常数⋅ d ķ。

如何获取X _ķ在其一般形式中的溶液：

X _ķ = C ₁ √（ķ + C ₂）。

我们仍然需要根据边界条件确定常数C ₁和C ₂的值，但是，在这个问题上有一个重要的微妙之处。与其余路段的情况不同，所有从西部高速公路到达同一路段内第1路段四分之一的汽车都开始行驶。结果，向北的第一个高速公路上的流量曲线将具有规则的倒抛物线形式。

同时，从中获得x的公式的先验条件_k，基本上是假定所有高速公路上的流动功率图应接近三角形，并且行程本身应主要在其指向的路段之外开始。如果我们将第一个路段正式分为两个相等的部分（抛物线由等腰三角形接近，并且沿着第一条高速公路的大多数行车确实从第1段的南半部指向其北半部），则可以合理准确地满足这些要求。图43）。


无花果 43

在x _k的公式中应将其视为第一点的中间点x ₁。从这里我们得到第一个边界条件：x ₂ = 2 x ₁或√（2 + C ₂）= 2⋅√（1 + C ₂）=> C ₂ = _-2 /3。第二边界条件从规定获得的所有道路段和顺利Q，因此X _{Q + 1}应等于对于四分之一城市的下一个最大的数字：从₁ √（Q + 1 - 2/3）= Ñ









+ 1，其中

Ç ₁ ≈（Ñ + 1）/√ Q。

因此：

X _ķ ≈（Ñ + 1）＆CenterDot;＆ √（ķ - 2/3）/√ Q，

| 三角洲_第k | d≈ X / d ķ =（Ñ + 1）/2√（ķ - 2/3）＆CenterDot;＆ √ Q

P _ķ = X _ķ ＆CenterDot;＆ | Δ _ķ | / Ñ =

=（Ñ + 1）² /2Ñ ⋅ Q ≈ ñ / 2 Q

我_ķ =（α / 2 ν）⋅ P _ķ ² =

=（α / 2 ν）⋅（ñ / 2 Q）²。

由于所有的2 Q街道公路损失产生相等的强度，在整个网络中的转换成本的值将是：

我 = 2 Q ⋅（α / 2 ν）⋅（Ñ/ 2 Q）² =（α / 2 ν）⋅ Ñ ² /2 Q。

如您所见，已经达到了预期的结果：将主要公路划分为Q个部分后，损失实际上减少了Q倍（与通常的Linear City公式相比，常数系数增加了1/3至1/2）。好吧，完成了一半的工作，剩下的就是将结果应用到具有蜂窝架构的城市中来。

蜂窝城市中的摩天大楼电梯
为简单起见，我们将满意一个所有街道均为单向的城市示例。使用线性城市和蜂窝城市的各个街道之间的类比，我们将沿后者的高速公路分为Q部分。默认情况下，据信离开四分之一区，您可以上经过它的任何高速公路。同时，在一条街道上铺设的所有高速公路中，有一个正好转向一个特定的区域。在建立规则的过程中，规则的统一性和简单性极为重要。看一下图44：


无花果 44

所有街道具有相同的视图和规则，它们在哪个帐户区块中的哪条道路打开了通行权限。图45显示了高速公路之间的允许转弯图。看着这张照片很难不感到困惑。关于某大城市的地铁计划，人们常说同样的话。但是，在两种情况下，如果您知道该想法的逻辑，一切都会变得简单明了。允许转弯的逻辑规则听起来很简单：如果沿着高速公路行驶时，您横穿与您的运动垂直的道路，并且可以直接转入它们后面的四分之一区域，那么您可以转入这些道路中的任何一条。


无花果 45

摩天大楼电梯拓扑与交通信号灯和立交桥兼容。这很困难，但是可以推广到不一定是蜂窝或线性结构的网络。后者对于历史悠久的城市确实非常重要，因为拆除许多历史古迹以铺设许多小直的街道不太可能是对的，但在这些城市中已经有相当大的街道可以容纳两条或三车道的高速公路。

关于运输问题和数学工作

完成半年的艰苦工作是令人愉快的。当然，我写的工作并不能解决道路设计的所有问题和困难-这项业务需要大量非常不同的人。然而，其结果提供了一个机会来查看已建成城市中的重要错误，并提供了如何避免将来发生此类错误的方法。本文无意作为参考书，涵盖工程师在实践中可能遇到的所有可能情况-我认为我的主要任务是提供新观点，开发推理和讨论问题的新方法，为读者提供必要的最少简单模型示例可以扩大自己。

当您意识到城市居民在交通拥堵中浪费了多少时间，只是因为在正确的时间没有数学家可以花一个晚上解决一个完全可以解决的问题时，这使您感到难过。这些问题中有多少仍然困扰着我们或隐藏在您的职业中？在工作中坐在您附近的人的工具有一支铅笔和一张纸吗？

我希望一切都变好。

感谢您的关注和好运！
谢尔盖·科瓦连科（Sergey Kovalenko）。

2019
magnolia@bk.ru


（照片：Vincent Laforet）