仅仅进行除法运算，或如何创建数学理论并从中获得40万美元。 系列二，倒数第二

在前面的系列中，我们检查了不包括有理数的分数。 今天，正是这（而不是零件）正在等待我们，并且我们还将准备一个稍微复杂些的最终零件，而无需使用诸如残基类环或具有对数对数模的比较等术语。 同样在第三部分感兴趣的人中，40万美元的奖金正在等待中。 为什么在第三？ 因为在没有介绍该主题的情况下，并不总是很容易理解为什么奖品不那么容易获得的原因。 阅读之后-仅需运气和一些有目的的耐心活动即可，而这只是您需要的。

理性之星

为了回答前面关于有理数的问题，我们再次需要一个小题外话。 首先，回想一下，在除以“角”的过程中，我们总是将除数的一部分除以除数得到余数。 在这种情况下，将除法的整个部分写入结果，然后将除法的其余部分乘以数字系统的基数，然后重复用除法的除法过程，直到检测到周期或减小除数的所有因数，然后得出最后的分数。

看起来像这样：

5 | 3 ------ 1.66(6) 3 20 18 20 18 2 ... 

在此，从20中减去18的余数始终等于2，然后我们将其乘以十进制数字系统的底数。

现在，让我们思考5除以3的除法与1除以3的除法有何不同？ 答案很简单-结果是存在整数部分。 但是我们想知道该期间以及该期间之前的部分（称为前期），但未包括在结果的整个部分中。 因此，我们不需要考虑整个部分。 因此，在此示例中，可以排除所有大于3或等于3的数字。 更有趣的是，分裂定律在很多方面都得到了体现，除了一个之外，没有其他任何数字。 也就是说，研究将一个单位分解为一系列整数，大单位就足够了，我们将了解如何回答所有提出的问题，同时我们将遇到数量可观的新星。

同时，我们尚未开始对该主题进行认真研究-一些技巧。 您知道共享可以“反之亦然”吗？ 不像我们习惯了放学，而是从头开始。 让我们在另一个示例中进行演示，在该示例中，我们取最后的余数，然后从中开始计算分数周期。 回想一下，将5除以3的余数等于2。我们减去最后得到的数字是多少？ 我们不需要记住，因为我们知道我们总是从前一个余数中减去数字乘以10，即减量的最后一位数字始终等于0。这意味着用从1到9的数字对三元乘积进行排序就足够了，=（3,6 （9,12,15,18,21,24,27）来查看-其中只有一个以8结尾，而总数与其余2一起，在减一的最后一位给出零。 因此，在得到2的余数之前，我们从20中减去18。为什么从20中减去？ 因为最后一位数字为零的任何其他数字都将使差X0-18大于三或小于零。 以同样的方式，我们计算所有其他数字：

2-已知残基
18-除零数字外，同时显示下一位数字的值-6（6 * 3 = 18）
20是零的合适数字
2-乘以10（= 20/10）之前为零的数字
18-除零以外的数字
20是零的合适数字
...

结果，我们得到与除以一个角时完全相同的序列，但是“另一方面”。 因此，您可以“从头算起”任何周期分数的周期。 什么是预期（以及以这种方式显示的与这种情况下的计算无关），我们将进一步了解。 当使用该单位作为股息时，结果的整个部分始终为零，因此我们再次失去了除该期间以外的其他计算需求。

现在，请记住我们如何将单位分为三个部分： $$$1/3 = 0.3（3）$ 。 这里的一切都很简单，周期很短，没有前期，似乎没什么了不起的。 但是，让我们尝试将除法结果再乘以三： $$$0.3（3）* 3 = 0.9（9）$ 那就是 $$$0.9（9）/3=0.3（3）$ 。 一开始就是这样： $$$1/3 = 0.3（3）$ 。 没注意到区别吗？ 输入一个，然后经过直接和反向操作，我们得到...我怎么称呼它更容易？ 也就是说，如果我们将整个九分链追溯到无穷远，那么我们会知道我们有一个单位，但是仍然以某种方式不是那样，您能找到它吗？ 好吧，不像原始的那样，仅此而已。 数学家会说，这只是数字相同的两种表示形式，但是每天对“相同”叛逆者的理解都与这种定义有点不同。 原则上，很难与数学家不同意，因为小数点后的许多个9不同于完全相同的东西，它们是短暂的，无限小并且趋于零。 但是，具体来说，您是否可以全神贯注地考虑这一切？ 无限数量的9，无穷小，当沿着一系列9移至无穷大时趋于零。 现在，将其与这样的记录进行比较-1.一个标志-一切对我们都是清楚的。 关于无限数量的9对1的讨论，有多少迹象？ 也就是说，还有区别吗？ 还是您的大脑容易在一系列差异中忽略了这些琐事？ 但是，如果我们不去关注九分之一列表中无尽的精神凝视，那么在我们停下来的地方，马上就会有一个差异，即使是数学家也认为这是重要的-如果您没有看到其他九个指标，那么我们根本就不是一个。 因此，出现了一个问题-您能看到所有无限的深度吗？ 通常，无论您想要什么，数学家都将这种现象定为相同的数量。 因此，在考虑了这颗星（坦率地说-奇怪的光芒）之后，我们继续进行下一颗。

一个有趣的结论是从检测到无限个9的事实得出的-如果单位除数大于3的质数，则结果周期总是除以9，当然也除以3，并且其长度大于一个字符-除以11，并且当甚至更多的字符-13、37、101等。 而且这一切与单位除数无关，只要它是简单的并且超过三个。 您可以自己检查它，例如，将等于142857的1/7周期除以3、9、11、13、37。

好吧，在堆之前，我们要问一个简单的问题-是否可以自己构建周期？ 是的，你可以。 例如，我们要获得周期0123456789，是否可以找到一个类似的除数和除数？ 可以！ 但是没有数字8。那么它将是1/81。 为了使数字8出现在其应有的位置，我们需要在数字81后面加上小数点后的几位数，或者不带小数点，但是此期间会出现许多零。

另一个规律性-对于某些单位除数，我们根本无法计算周期，而只是在将除数（单位）乘以任何数字后就周期性地进行移位。 例如-1/7 = 0.（142857）和2/7 = 0.（285714），5/7 = 0.（714285），3/7 = 0.（428571）等。 如果除数大于7，则除法结果的整个部分将移至小数点前的部分，期间仍将由相同的六位数字组成，但再次循环移位-25/7 = 3（571428），86/7 = 12。 （285714）等 你觉得怎么样 任何数字除以7都会得到一组相同的数字！ 任何！ 绝对可以。 是的，这些“任何数字”都是无限数。 结果始终包含6个相同的数字。 进一步，您将理解为什么数字世界如此结构化，但是现在，我们注意到，当将单位除以7时，我们隐式接收了绝对必要的所有信息，可以根据其他任何数字为7的结果来计算周期，因为我们现在知道，只需循环移位一个就足够了分裂的唯一结果。 也就是说，再次确认不需要处理除一个数字以外的任何数字除以为研究选择的数字。 没错，可能有必要乘以一些数字并记住中间结果，但稍后再讲。

现在，对于更一般的视图，我们将显示“战斗地图”。 绘制地图以将单位除以研究中的数字，而除法在所有数字系统中以小于研究中的数字为基础。 该图不包括除法的结果，即所讨论的分数的周期，而是包含在除法的每个阶段通过“角”获得的残差。 它是这样的：


在上表中，您看到的行从0到6。0也是数字系统的基础。 你不同意吗？ 让我们尝试说服。 什么是数字系统？ 这是底数，乘以某个值，然后将其加到结果中，该结果在开始时为零。 因此，例如在十进制数字系统中，将获得所有数字。 如果基数为零？ 那么所有项乘以零也将等于零。 但是，那会发生什么变化？ 我们是否违反了在所选数字系统中构造数字的规则？ 因此，为了使战斗图上的图片具有通用性，我们使用所有数字系统，在研究数字7的情况下使用从0到6的数字。但是，除了具有通用性之外，带有零的线还有其他用途。

但是所有这些行是什么意思？ 每一行都向我们显示了在数字系统中将单位除以7时残基的序列，该系统在最左侧的列中签名。 也就是说，在以0为底的系统中除以1/7时，我们的初始余数为1（除法的单位）。 此外，正如我们通常在除以一个角时所做的那样，我们将第一个余数乘以数字系统的基数。 我们得到零。 现在零是当前余数。 通常，当在接收到等于零的余数后计算商时，如果可除数中没有其他数字，则除法会停止（因为会得到结果）。 但是在我们的情况下，我们填写了一个不能容忍空虚的表，除了急躁外，它还具有其他属性，这些属性还要求所有单元格中都存在任何数字。 因此，我们继续将余数0除以7。通常，当余数小于除数时，将其乘以数字系统的基数，但是乘以零多次是没有用的，因此我们写成乘以零后余数再次变为零，并且现在将其放在下一个单元格的表中。 然后重复该过程。 因此，我们用零填充第一行中的所有单元格。 然后填写第二行。 但是它已经有了数字系统的另一个基础-单位。 将1除以7后，我们得到第一个余数-一个。 然后，我们乘以数字系统的底数，即乘以1。 我们再次得到1.我们在适当的单元格中书写。 再次乘以1，再次得到1，再次写。 依此类推，直到填充第二行。 但是，经过这两方面的精彩介绍之后，我们终于对二进制系统进行了更有意义的划分（后两个系统的含义将变得更清楚）。 首先，我们有相同的单元。 在第三行中写入单位。 然后，我们乘以数字系统的底数（乘以2）。 我们得到的2比2少7，我们还不能减去，所以我们将余数2写在表中。 再次，我们乘以2，得到4，它再次小于7，因此它再次进入表而没有更改。 但是在下一步中，我们得到8，它大于7，因此我们需要减去。 结果为1。我们在表中写。 但是之前我们已经有一个单元，所以所有其他步骤都将是相同的-因此我们将第三行添加到末尾。 同样，我们将添加其余的行，但不要忘记我们需要乘以数字系统的另一个基础。

因此，当我们最终获得完成的表格时，我们可以得出一些结论。 首先，注意重复。 对于二元系统，我们有1,2,4,1,2,4,1，即两次乘以1,2,4，然后再乘以1。这里，列表1,2,4对应于所得二进制分数的周期。 也就是说，期间将为长度3。尽管我们使用了余数而不是期间中的数字，但是长度并未受到此影响，因此所有信息得以保存。 甚至更多-在表中，实际上还有更多的剩余信息。 但是，稍后再说，但就目前而言，更多的是，我们注意到所有的线都由相同的长度组成，以便于研究，并且由于存在许多有用的特性。 因此，线条以单位开头和结尾，这很好地区分了数字7的属性。如果将线条缩小到句点的长度，我们将无法享受数字7本质的对称显示之美。

现在有关信息。 天平毫不费力地在期间的相应位置设置了数字，因此不会丢失此表示形式中的信息，但是由于天平可以更大，例如最大一个小数位（即9），因此参与其中的信息变得最完整，因为系统中的一个位置推算无法告诉我们，例如，余数为19，但是余数19可以清楚地表明该时期内的数字，以及我们从哪一个先前的余数中减去了股息的乘积（记住“除法”后的焦点）。 此外，我们立即注意到一件简单的事情-残留物不得超过 $$$N-1$ 在哪里 $$$N$ -我们将单位除以的调查数。 这是非常重要的一点。 另外，可以容易地证明，如果在除以拐角时重复先前遇到的残基，那么将跟随先前重复的值重复整个残基序列。 因此，一旦找到时间段，我们就不再需要它了。 如果我们仅记录该期间的数字，那么在该期间重复数字并不意味着计算完成。 因此，余额比该期间的数字更为重要。 但是最有趣的是所有东西的残留 $$$N-1$ ，因此期间更长 $$$N-1$ 不能。 因此，在这里我们只找到了期间中位数的上限，即从期间的实际位数到余额。 就像他们说的那样，手的轻松移动不会欺诈。 这是更完整的信息的好处。 好吧，因此，我们进行7次匹配的“战斗地图”的宽度为6 +1列，也就是说，所有可能的残基为6列，而从单位检测对称性为1列，这绝不是所有数字都必须的，因此不是值得隐藏，节省一栏的空间。

好吧，现在就其用途来看看上面的“地图”。 您可以立即注意到一组简单的模式。 每行以一个单元开始，然后以一个单元结束。 每行的第二个位置指示数字系统的基数，但每行的中间包含N-1或1。请注意，除了简单地将除法结果固定在表中之外，我们没有做出任何努力来按此顺序在表中排列数字。 但是，尽管我们忽略了任何顺序（除法步骤的顺序除外），但顺序本身无处出现，并从单位中抽取了字母P，在其上设置了零位上限（遮阳板为1），将表格除以中间的单位列，它对数字7的加法（根据公式7-1 = 6）。 另外，订单本身将数字系统放置在第二栏中。 将其与左第一栏中的数字进行比较，它们是有意添加的，以便我们确切知道数字系统在哪里。 很好，我们可以轻松地自己计算出所得分数的周期，尽管为方便起见，该值在列中以p = X的形式表示。

实际上，在您面前就像是周期表，但不是化学的，而是数论的。 以与门捷列夫相同的方式，您只需查看表格即可找到特定模式，然后，就像在门捷列夫之后一样，该模式的存在也可以证明是合理的，并证明对于满足一定条件集的所有数字重复该模式。 这是此类表中最重要的事情。 仅仅观察和观察模式，就可以发现定律，例如数论。 好吧，对于更具思想的读者来说，通向完整周期的道路在这里打开-找到模式后，您需要证明（或否认）它与所有数字或某个类别的数字的相关性。

如前所述，该表包含有关质数7的完整信息。但是，从该信息中，我们可以得出有关所有质数的假设。 甚至其中一些假设已经向我们证明，因此我们只需要检查其他假设即可。 费马和欧拉等著名人物提供了证据。 农场给了我们这个公式 $$$a ^ {（p-1）} \ pmod p = 1$ （此处，mod操作采用将左边的值除以右边的值的余数，在编程中通常用％符号表示），即余数的余数 $$$a ^ {（p-1）}$ 在p上，所有素数始终等于1（即素数，这很重要）。 但是数字7也是素数。 并且可以使用以下公式计算每一行中的每个残基： $$$b ^ i \ pmod N = r$ 。 这里b是数字系统的底数（从英语为基础），i是行中的位置号（从英语索引开始），从第一个位置的零开始，N是被调查的数字（在这种情况下为7），r是余数（从英语提醒中）形成在第i个除以拐角的步骤中，并包含在表格的第i列中。 让我们比较费马公式和计算由索引i指定的余数的公式。 对于所有残基序列的最后一个成员，它们是相同的。 并完全按照Fermat公式，对其余每个位置 $$$N-1$ 我们有平等的团结。 也就是说，用肉眼观察到的以一列单位形式观察到的模式在费马的时代就得到了证实和证明（尽管费马没有让我们沉迷于证据，但通常他的所有陈述都是正确的）。 欧拉在费马公式中添加了不仅可以将其用于质数，而且可以用于复合数的功能。 是的，您需要知道一个数字的所有除数，但是对于小数字来说，这不是问题。 因此，在下面的第二张表中，我们看到了数字21的残基序列，它是合成的。 欧拉证明，将任意数除以等于较小数且不具有N的公因数的次数的余数也等于1。 正是这一事实，我们在表中观察到数字21，对于这20个较低的数字，其中8个具有21的公因数，而12没有。 因此，我们在第12列（从头开始索引时）观察到许多单位。 而且这些单位不在行尾，因为一些小于21的数字的公因数与21相同。 , , . — , . — 12- 21 . ? , , , , 3 7 ( 21) . , , , .


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. . , , . 2 7 3, 6. 4 6, 24 mod 7 = 3, . ( ) , . 24, , 3. 1/7, , . ? .

. , . , N . 7 1 6 7, 2 5 3 4. $$$b^i \pmod N = r$ :

$$$(N-j)^i \pmod N = r$ ,
$$$j^i \pmod N = r$ ,
$$j = N - b其中， N是所研究的数字（例如7），b是数字系统的基数，i是从零开始的列索引，r是给定b和i单元格中的余数。$j=N-b$



N. , . ( , ) , N . — . N, , N. ( ) $$$(N-1)/2$ ( ), . , — , — , 1.

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, . , . — , , , — . , , ( , ). 7 , 7, , 1/7. 7 ( ) , , ( ), . — , . , 10 7 — 3. 3 , , , . , , . N . , , .

以及所研究的各种数字之间的一些依赖关系：


在这里，我们看到二进制系统中2到39之间的数字行。注意底部的行。数字1,2,4,8,16,32的列从此向上。在数字32之后，我们看到一列值增加了一个（25,26,27，...）。在下一列中，值增加三。然后在6、13、26等 达到一个大于要调查的数字的值（该期间的长度之前，括号中左列）后，增加“切换”。因此，增长率由一变为二，然后由三等等。通常，所有此类列均以$$2 i，其中i是列索引。低于$2^i$$$2 i值不变，但在上面它根据公式变化$2^i$$$2 i / j，其中j是向上移动一行（大于零）时的增量。也就是说，当行号介于$2^i/j$$$$2^i/j$ 和 $$2 i /（j + 1 ），增量等于j。越过边界后$2^i/(j+1)$$$2 i /（j + 1 ），增量等于$2^i/(j+1)$$$j + 1，则边界为$j+1$$$2 i /（j + 2 ）之后，增量为$2^i/(j+2)$$$$j+2$ 等 , 10 ( ), , , 2 .

, , , , 11, 13, 17. , . - , !

水晶球老板倾向于预测未来，但我们也可以从桌子上预测一些事情。您可能已经注意到-单位的最后偶数列仅以质数找到。也就是说，只要看一眼就足以了解数字是否为质数。这是我们对水晶球的第一个预测。第二个预测是数字系统中的分数周期$$k ∗ N - 1（此处k是大于零的任何整数）始终为2。数字系统中的分数周期$k*N-1$$$k ∗ N + 1始终等于1，并且其中的所有值也等于1。例如，对于研究数N = 11且k = 1，我们有$k*N+1$$$$k*N-1=10$ , $$$1/11=0.(09)$ , 2, .

. , , $$$b^i \pmod N$ , b — , i — , , N — . , , . $$a （p - 1 ）（国防部p ）= 1（Fermat给我们），中间列的规律性给我们提供了一个类似的公式-$a^{(p-1)} \pmod p = 1$$$a （p - 1 ）/ 2（国防部p ）= { 1 ，p - 1 }，即质数的幂的任何数字减去1除以2，将得到1或p-1，其中p是质数。该公式可以扩展到整个表中从一个到一个的周期数为奇数且周期长度为偶数的情况。$a^{(p-1)/2} \pmod p = \{1,p-1\}$然后 $$$a^k \pmod p = p - (a^{(p-1)/2+k} \pmod p)$ , k — , p — . , , . .

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21. , . , . 3 , №3 . №7 ( , ). . , , . . , . , — . , . . (, , N), , , . N, , .

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在下一个系列中，我们将讨论可分性理论，以及有兴趣的读者感兴趣的奖项。