让我们面对现实：没有人喜欢分数，即使是计算机。
在谈到COBOL编程语言时，出现在每个人脑海中的第一个问题总是像这样：“为什么人类仍然在许多重要领域使用这种语言？” 银行仍在使用COBOL。 美国约7％的GDP依赖于COBOL处理
CMS的付款。 众所周知，美国国税局（IRS）仍然使用COBOL。 这种语言也用于航空领域（
从这里我学到了一个有趣的话题：机票的预订号码曾经是通常的指针）。 可以说，许多非常严肃的组织，无论是私营部门还是公共部门，仍在使用COBOL。
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第二部分该材料的作者（我们今天出版的翻译的第一部分）将找到一个答案，即为什么1959年出现的COBOL语言仍然如此广泛。
为什么COBOL还活着？
对这个问题的传统答案是极度愤世嫉俗的。 组织是懒惰，无能和愚蠢。 他们追求廉价，不愿意投资在现代产品上重写其软件系统。 通常，可以假设如此大量的组织的工作依赖于COBOL的原因是惯性和短视的结合。 在这方面，当然有一些道理。 重写大量混乱的代码是一项艰巨的任务。 很贵 这很复杂。 而且，如果现有软件看起来运行良好，则组织将没有特别强烈的动机去投资进行软件更新的项目。
这一切都是如此。 但是当我在IRS工作时，COBOL的资深人士谈到了他们如何尝试用Java重写代码，结果证明Java无法正确执行计算。
这对我来说听起来很奇怪。 真是奇怪，我立即被危言耸听的人想到：“上帝，这意味着国税局已经将向所有人缴纳的税款四舍五入了！ 我简直不敢相信COBOL能够根据IRS所需的数学计算绕过Java。 最后，他们没有将人们送入太空。
在夏天学习COBOL的有趣的副作用之一是，我开始了解以下内容。 关键不是Java无法正确执行数学计算。 关键是Java如何使计算正确。 并且，当您了解了如何用Java执行计算以及如何在COBOL中完成相同的事情时，您将开始理解为什么许多组织发现很难摆脱其计算机遗留物。
什么“ i”应加点？
我将略过COBOL的故事，讨论在数据的二进制表示成为事实上的标准之前计算机是如何
存储信息的（但是有关如何使用z / OS
接口的资料 ；这很特别）。 我认为，在审议我们的问题时，朝着这个方向偏离主要主题将是有益的。 在上述材料中，我讨论了使用二进制开关在二进制，三进制，十进制系统中存储数字，存储负数等各种方法。 我唯一没有引起足够重视的是十进制数字的存储方式。
如果您设计了自己的二进制计算机，则可以从决定使用二进制数字系统开始。 该点左侧的位表示整数-1，2，4，8。而右侧的位-小数-1 / 2、1 / 4、1 / 8 ...
2.75二进制表示这里的问题是要了解如何存储小数点本身（实际上-我应该说“二进制点”-因为毕竟我们在谈论二进制数）。 这不是某种“计算机炼金术”，因此您可以猜测我在说的浮点数和定点数。 在浮点数中，二进制点可以放置在任何位置（也就是说，它可以“浮动”）。 点
的位置存储为指数。 与没有机会的情况相比，移动点的能力使得可以存储更大范围的数字。 小数点可以移到数字的最后面，并选择所有位来存储代表很大数字的整数值。 该点可以移到数字的前面并表示非常小的值。 但是，这种自由是以准确性为代价的。 让我们再来看上一个示例中的2.75的二进制表示形式。 从四到八的过渡远远超过从四分之一到八分之一的过渡。 如果我们重新编写如下所示的示例，对于我们来说，想象起来可能会更容易。
我通过眼睛选择了数字之间的距离-只是为了展示我的想法数字之间的差异很容易自行计算。 例如，1/16和1/32之间的距离是0.03125，但是1/2和1/4之间的距离已经是0.25。
为什么这很重要？ 对于整数的二进制表示，这无关紧要-通过用适当的位组合填充二进制记录的相邻数字之间的距离，可以很容易地进行补偿，而不会损失准确性。 但是，在表示小数的情况下，并不是那么简单。 如果您试图“填充”相邻数字之间的“孔”，则某些东西可能会“掉进”（并实际上掉进）这些孔中。 这导致以下事实：二进制格式不可能获得分数的精确表示。
经典数字示例0.1（十分之一）对此进行了说明。 如何用二进制格式表示此数字？ 2
-1是1/2或0.5。 太多了 1/16是0.0635。 这太少了。 1/16 + 1/32已经接近（0.09375），但是1/16 + 1/32 + 1/64已经超出我们的需求（0.109375）。
如果您认为这种推理可以无限期地继续进行-那么您是对的-正确的
做法 。
在这里您可以对自己说：“为什么我们不像存储数字1那样仅仅保存0.1？ 我们可以毫无问题地保存数字1-因此，我们只需删除小数点并以与存储整数相同的方式存储任何数字。”
这是解决此问题的绝佳方法，除了它需要将二进制/小数点固定在某个预定位置。 否则，数字10.00001和100000.1看起来将完全相同。 但是，如果该点是固定的，例如，将2个数字分配给数字的小数部分，那么我们可以将10.00001舍入为10.00，而100000.1将变为100000.10。
我们只是“发明”了定点数。
通过使用定点数表示不同的值，我们就知道了。 这很容易做到。 使用定点数是否可以促进其他一些问题的解决？ 让我们在这里回想起我们的好朋友-关于二进制十进制数字（二进制编码的十进制，BCD）。 顺便提一下，这些数字已在大多数科学和图形计算器中使用。 从这些设备（很明显），他们希望得到正确的计算结果。
TI-84 Plus计算器Muller和Python的复发率
定点数字被认为更准确，这是因为数字之间的“空洞”是恒定的，并且因为仅当您需要想象一个没有足够空间的数字时才进行舍入。 但是当使用浮点数时，我们可以使用相同的内存量来表示非常大和非常小的数字。 没错，在他们的帮助下，不可能准确地表示可访问范围内的所有数字，我们被迫采用四舍五入的方式来填补“漏洞”。
COBOL被创建为默认情况下使用定点数字的语言。 但这是否意味着COBOL在执行数学计算方面比现代语言更好？ 如果我们遇到诸如计算值0.1 + 0.2的结果之类的问题，那么似乎前面的问题应该回答为“是”。 但这会很无聊。 因此，让我们继续前进。
我们将使用所谓的穆勒递归关系对COBOL进行试验。 让·米歇尔·穆勒（Jean-Michel Muller）是法国科学家，他可能在信息技术领域取得重大科学发现。 他找到了一种使用数学方法打破计算机正确运行的方法。 我相信他会说他研究可靠性和准确性问题，但是没有，也没有，因为他创造了数学问题，使计算机“崩溃”。 这些任务之一是其复发公式。 看起来像这样：
此示例取自此处。该公式似乎一点也不可怕。 对不对 出于以下原因，此任务适合我们的目的：
- 此处仅使用简单的数学规则-无需复杂的公式或深刻的思想。
- 我们从小数点后两位数字开始。 结果，很容易想象我们正在使用代表一定数量资金的价值。
- 由计算得出的误差不是很小的舍入误差。 这与正确结果相差整个数量级。
这是一个小的Python脚本，它使用浮点数和定点数计算Mueller递归关系的结果：
from decimal import Decimal def rec(y, z): return 108 - ((815-1500/z)/y) def floatpt(N): x = [4, 4.25] for i in range(2, N+1): x.append(rec(x[i-1], x[i-2])) return x def fixedpt(N): x = [Decimal(4), Decimal(17)/Decimal(4)] for i in range(2, N+1): x.append(rec(x[i-1], x[i-2])) return x N = 20 flt = floatpt(N) fxd = fixedpt(N) for i in range(N): print str(i) + ' | '+str(flt[i])+' | '+str(fxd[i])
这是此脚本的结果：
i | floating pt | fixed pt -- | -------------- | --------------------------- 0 | 4 | 4 1 | 4.25 | 4.25 2 | 4.47058823529 | 4.4705882352941176470588235 3 | 4.64473684211 | 4.6447368421052631578947362 4 | 4.77053824363 | 4.7705382436260623229461618 5 | 4.85570071257 | 4.8557007125890736342039857 6 | 4.91084749866 | 4.9108474990827932004342938 7 | 4.94553739553 | 4.9455374041239167246519529 8 | 4.96696240804 | 4.9669625817627005962571288 9 | 4.98004220429 | 4.9800457013556311118526582 10 | 4.9879092328 | 4.9879794484783912679439415 11 | 4.99136264131 | 4.9927702880620482067468253 12 | 4.96745509555 | 4.9956558915062356478184985 13 | 4.42969049831 | 4.9973912683733697540253088 14 | -7.81723657846 | 4.9984339437852482376781601 15 | 168.939167671 | 4.9990600687785413938424188 16 | 102.039963152 | 4.9994358732880376990501184 17 | 100.099947516 | 4.9996602467866575821700634 18 | 100.004992041 | 4.9997713526716167817979714 19 | 100.000249579 | 4.9993671517118171375788238
直到迭代12为止，舍入误差或多或少地显得微不足道，但随后真正的地狱开始了。 浮点计算收敛到一个比定点计算结果大二十倍的数字。
也许您认为任何人都不太可能执行如此大规模的递归计算。 但这正是造成1991年
灾难的原因，当时爱国者导弹控制系统错误地计算了时间，导致28人死亡。 事实证明，浮点计算意外造成了很大的伤害。 这里有一些很棒的
东西 ，也许高性能计算只是获得错误答案的一种更快的方法。 如果您想获得有关此处讨论的问题的更多信息并阅读更多示例，请阅读本工作。
问题在于计算机拥有的RAM数量不是无限的。 因此，不可能存储无限数量的小数（或二进制）位置。 如果可以确定定点计算比浮点计算更准确，则可以确信，在点之后需要的数字比使用的格式要少的多。 如果该数字不适合此格式，则将四舍五入。 应该注意的是，定点计算和浮点计算都不受Mueller的递归关系证明的问题的影响。 结果和其他结果都给出错误的结果。 问题是何时发生这种情况。 如果将Python脚本中的迭代次数（例如，从20增加到22），则在计算中获得的具有固定点的最终数目将为0.728107。 23次迭代？ -501.7081261。 24？ 105.8598187。
用不同的语言，此问题以不同的方式表现出来。 某些字符（例如COBOL）允许您使用参数设置紧密的数字。 例如，在Python中，如果计算机具有足够的内存，则可以配置默认值。 如果我们在程序中添加
getcontext().prec = 60行，告诉Python十进制模块，它将在句点之后使用60个位置，而不是默认情况下的28个位置，默认情况下，该程序将能够执行40次迭代的重复关系而不会出错穆勒。
待续...
亲爱的读者们！ 您是否因浮点计算的性质而遇到严重的问题？
