成人挑战

关于Habré的文章已经有好几篇了（ 一 ， 二 ， 二，半篇 ），专门介绍了新的Posit浮点格式，其作者在各个方面都提出了优于标准IEEE 754 float的文章。 这种新格式还发现批评家（ 一 ， 二 ）声称Posit的缺点大于优点。 但是，如果我们真的有一种新的革命形式，而批评仅仅是由那些批评者的嫉妒和无能引起的呢？ 好吧，找出答案的最佳方法就是自我评估。

引言

新格式的优点通过简单的示例进行了演示，这些示例具有相近顺序的数字加/乘运算，从而使精度提高了一位或两位数。 但是，在实际计算中，单次操作的正负1位误差并不重要，因为无论如何我们都以有限的精度进行计算。 操作序列导致的错误累积很重要，当一段时间后低位数字的错误开始导致旧位数字的错误。 这就是我们将尝试体验的。

准备工作

为了进行测试，我从此处开始了Posit实现并带有可悲的标题。 要在Visual Studio中进行编译，我们必须在util.h文件中添加#define CLZ（n）__lzcnt（n）行，并将posit.cpp文件中的0.f / 0.f替换为std :: numeric_limits <float> :: quiet_NaN （）。 顺便说一下，在这个库中也没有找到基本数学函数的实现（当然，除了根）-这是怀疑某些东西不对的另一个原因。

测试1.复数的乘法

尽可能使用使用复杂算术计算的傅立叶变换。 首先，我想在傅立叶变换上测试Posit。 但是由于其准确性完全取决于实现，因此要进行正确的测试，您必须考虑所有基本算法，这有些耗时； 因此，您可以从一个简单的操作开始-复数的乘法。

如果我们取某个向量并将其旋转360度1°，那么最后我们应该获得相同的原始向量。 实际上，由于误差的累积，结果将略有不同-匝数越大，误差越大。 因此，使用此简单代码

complex<T> rot(cos(a), sin(a)); complex<T> vec(length, 0); for (long i = 0; i < count; i++) { vec *= rot; } cout << "error: " << stdev(vec.real() - length, vec.imag()) << endl; 

我们旋转带有不同类型数据的矢量，并将误差视为所得矢量与原始矢量的均方差（也可以解释为差矢量的长度）。

首先，将单位向量作为对Posit的最支持：

这里还没有明显的领导者-优势是一个或另一个的两倍。 将旋转向量的长度增加到1000：

误差值几乎相等。 继续-1,000,000：

在这里，Posit已经自信地落在后面，并且双重错误开始蔓延到浮动中。 让我们花更长的时间-10 ¹⁰来充分理解浮点格式的优点：

在开始时最有趣的事情是，在4次迭代中-当float给出与double相当的错误时，Posit已经具有完全错误的结果。

测试2.有理多项式的计算

由于原始库中没有数学函数，因此我们将尝试自行完成某些操作。 通过泰勒级数展开，许多函数的近似性很差，并且它们通过有理多项式的近似计算更方便。 可以通过多种方法来获得这种近似值，包括纯粹地通过Padé近似值进行分析。 此外，我们将使用足够大的系数进行测试，以使它们在计算之前也经过舍入。

使用Wolfram Mathematica和PadeApproximant命令[Sin [x]，{x，0，{11，11}}]
我们得到了近似正弦的有理多项式，它在大约-2到2的范围内提供了双精度：

$$

$$\ frac {-\ frac {481959816488503 x ^ {11}} {363275871831577908403200} + \ frac {23704595077729 x ^ 9} {42339845201815607040}-\ frac {2933434889971 x ^ 7} {33603051747472704704 ^ 33603051747472704} } {617703157122660}-\ frac {109061004303 x ^ 3} {722459832892} + x} {\ frac {37291724011 x ^ {10}} {11008359752472057830400} + \ frac {3924840709 x ^ 8} {2016183104848362240} x ^ 6} {168015258737363520} + \ frac {1679739379 x ^ 4} {13726736824948} + \ frac {34046903537 x ^ 2} {2167379498676} +1}$$

为了节省计算量， 霍纳法通常直接用于计算。 在我们的案例中（使用HornerForm）它将看起来像

 template< typename T > T padesin(T x) { T xx = x*x; return (x*(T(363275871831577908403200.) + xx*(-T(54839355237791393068800.) + xx*(T(2120649063015013090560.) + xx*(-T(31712777908498486800.) + xx*(T(203385425766914820.) - T(481959816488503.) * xx)))))) / (T(363275871831577908403200.) + xx*(T(5706623400804924998400.) + xx*(T(44454031219351353600.) + xx* (T(219578286347980560.) + xx*(T(707177798947620.) + T(1230626892363.) * xx))))); } 

让我们看看：


如您所见，这里的Posit情况看起来很糟糕-几乎不拨打两个有效数字。

结论

不幸的是，奇迹没有发生，革命被取消了。 Posit在单个计算中展示的优势仅是一个窍门，其价格是“大量”实际计算中准确性的灾难性下降。 使用Posit代替IEEE 754浮点数或定点数唯一有意义的原因是宗教性的。 使用魔术格式，其创建者的神圣信仰确保了准确性，可以为您的程序带来许多奇迹！

PS 源代码，用于验证和批评 。

PPS 继续 。