费根鲍姆常数背后的原因

itu告：米切尔·费根鲍姆（1944-2019），4.66920160910299299185320382 ...

史蒂芬·沃尔夫拉姆博客文章



它称为费根鲍姆常数 ，大约等于4,6692016。 而且它在某些可以证明混沌行为的数学和物理系统中以令人羡慕的周期性发生。

米切尔·费根鲍姆 （ Mitchell Feigenbaum）于6月30日离开我们，享年74岁。他是1975年发现它的人，他通过在袖珍计算器上进行实验数学来做到这一点。

这一发现已成为混沌理论中的决定性因素。 但是，当它第一次被发现时，这个结果是出乎意料的，离奇的，与先前研究的任何东西都不相关。 但是，从某些方面来说，正是米切尔·费根鲍姆（Mitchell Feigenbaum）发现我近40年的事实才发现这似乎是适当的。

米歇尔（Mitchell）研究理论物理学，并且是其数学传统的鉴赏家，他似乎总是把自己视为局外人。 他看上去有点像贝多芬-并给人留下了某些知识秘密的优雅印象。 他经常发表强而有力的陈述，通常带有阴谋的目光，他的眼睛微微闪烁，手里拿着一杯酒或香烟。

他用华丽的长句讲话，这背叛了他的学术和知识分子。 但是，由此产生的想法却截然不同。 有时它们是详细的和技术性的。 有时，这些只是直觉的飞跃，至少我无法追踪。 他总是阅读一些东西，直到5-6个小时才入睡，用公式填充笔记本的黄页，并给Mathematica系统加载可能持续数小时的复杂代数计算。

他很少发表作品，而发表作品常常使他感到失望，因为没有多少人能理解它们。 到他去世时，他已经从事感知光学领域多年的研究，并曾研究过诸如“为什么月亮在地平线以上时看起来更大”之类的问题。 但是，他没有决定发布类似的内容。

30多年来，米切尔（Mitchell）的正式工作（实际上是由于费根鲍姆常数的开放而获得）是纽约洛克菲勒大学的教授（为履行研究所的生物学研究使命，他被任命为“数学物理实验室”负责人）。 但是，他仍然做了很多工作，将名字命名为金融计算的启动，并且与全球地图集Hammond的新制图方法的发明紧密相关。

米切尔发现了什么

基本思想很简单。 将数字x从0取到1。我们将逐步将x替换为ax（1-x）。 假设我们从x = 1/3开始，a = 3.2。 这是x的顺序值：



x的值迅速变为周期为2的周期。但是，如果我们取a的其他值怎么办？ 这是所谓的一些结果 “物流映射”：



对于小a，x的值很快变为固定值。 对于较大的a，它们变为周期性，首先为2，然后为4。对于较大的a，值开始以明显随机的方式跳跃。

可以根据a的值构造x的值（在删除前50个后，这里为300）来概括这一点：



随着a的增加，观察到级联加倍。 在这种情况下，它们出现在a = 3，≈3.449，≈3.544090，≈3.5644072处。 米切尔（Mitchell）指出，这些连续值在几何序列中有一个限制（a∞≈3.569946），即_∞ -a n〜δ- _n和δ≈4.669。

一个有趣的结果。 但这才是赋予它含义的地方：这不仅对于某迭代映射x→ax（1-x）是正确的； 对于任何显示器都是如此。 例如，这里是x→sin（π√x）的“分叉图”：



细节有所不同，但米切尔（Mitchell）指出，周期加倍的排列再次形成了具有完全相同的基数δ≈4.669的几何序列。

而且，不仅这些各种迭代映射在质量上都相似； 在测量收敛速度时，结果完全相同-总是δ≈4.669。 这是Mitchell的重大发现：系统类别中混沌方法的定量通用特征。

科学背景

迭代映射的基本思想可以追溯到远古时代。 它们的早期版本是与搜索逐次逼近有关的，例如求平方根。 例如，可以通过迭代x→1 / x + x / 2来获得17世纪√2的牛顿法。 从x = 1开始：



显然，在1870年， 恩斯特·施罗德 （ Ernst Schroeder）发表了对任意函数进行迭代逼近的想法（以从形式到布尔代数的形式化许多东西而闻名），尽管大多数讨论都涉及函数方程的求解，而不是迭代本身（研究除外）。 1879年由Arthur Cayley完成的牛顿近似收敛区域。 1918年， 加斯顿·莫里斯·朱莉娅 （ Gaston Maurice Julia）对复平面上的迭代材料函数进行了广泛的研究，从而发明了朱莉娅集合 。 但是在1970年代后期分形出现之前（很快导致了Mandelbrot集的出现 ），这个数学领域就变得植物化了。

但是，不管纯数学方面的研究如何，类似于x→ax（1-x）形式的迭代映射在1930年代开始出现在研究种群生物学或商业周期理论的可能实用模型中。 它们通常以连续方程的离散形式出现，例如19世纪中叶的Verhulst logistic方程。 振荡行为也很普遍-1954年，William Ricoeur（科学捕鱼的创始人之一）在通过经验鱼繁殖曲线进行迭代时也发现了更为复杂的行为。

在纯数学中，迭代映射的变体在数论中定期出现。 实际上，在1799年， 卡尔·弗里德里希·高斯 （ Karl Friedrich Gauss）研究了与连续分数有关的映射x→压裂（1 / x）。 自19世纪末以来，人们开始对x→frac（ax）形式的映射及其与a的性质的关系感兴趣。

亨利·庞加莱（HenriPoincaré）在1900年代研究有效的天体力学方法之后，立即出现了对初始条件敏感的想法，最后人们注意到，迭代图实际上可以在初始条件下“挖掘数字”。 例如，对π位进行x→frac（10 x）迭代实际上只是将数字序列的每一步向左移动一个位置：





x→ax（1-x）类型的映射也显示出类似的“从数字中挖掘”（例如，如果x被sin（πu） ²代替，则x→4 x（1-x）完全变成u→frac（u （2），这在1940年代就为人所知-例如，约翰·冯·诺伊曼（John von Neumann）于1949年用他的迭代中平方方法通过计算机生成伪随机数对此进行了评论。

但是，基于迭代映射的实验数学又如何呢？ 早期的数字计算机上几乎没有实验数学（大多数计算机的计算机时间太昂贵了）。 但是，在洛斯阿拉莫斯（Los Alamos）的曼哈顿项目之后，他们创建了自己的MANIAC计算机，该计算机最终开始用于实验数学领域的一系列研究。 1964年，Paul Stein和Stan Ulam撰写了一份题为“研究电子计算机上的非线性变换”的报告，该报告显示了与示波器相似的MANIAC屏幕的照片，并且显示了相当复杂的形式的迭代显示。 1971年，“出于好奇”在洛斯阿拉莫斯创建的另一份报告（由MANIAC项目负责人，蒙特卡罗方法的开发者Nick Metropolis以及Paul Stein和他的兄弟Miron Stein撰写）为逻辑映射生成了更具体的计算结果。 ，并指出了周期加倍的基本现象（作者称其为U序列），以及对基本显示方法变化的定性抵抗。

除了物理学和数学之外，还有其他发展。 1964年，埃德·洛伦茨（麻省理工学院的气象学家）引入并创建了他的“自然发生的”微分方程的模拟，并证明了其对初始条件的敏感性。 自1940年代以来，动力学系统理论的数学发展就形成了连续的流（这项工作基于1900年代Poincare的成就）。 他们特别研究了微分方程解的整体性质。 通常，研究人员遇到固定点，有时会限制周期。 但是，到1970年代，尤其是在第一批计算机模拟出现之后（例如在Lorentz中），很明显非线性方程可能会发生其他事情：所谓的 “ 奇怪的吸引子 。” 在研究奇怪吸引子的“返回映射”时，迭代映射开始再次出现。

但是，直到1975年，各种迭代映射研究才开始交叉。 在纯数学领域，动力学系统理论家吉姆·约克（Jim York）和他的马里兰大学学生李天延（Tien-Yen Lee）发表了“混沌遵循第三时期”的著作，他们表明具有一定参数值的迭代映射，其初始条件导致出现长度为三的循环，必须有其他不会导致周期出现的初始条件-或如它们所描述的那样，表现出混乱。 后来证明，1962年苏联动力系统研究学院的代表亚历山大·萨科夫斯基证明了稍弱的结果，所有周期的周期都从周期3的周期开始。

同时，对逻辑学方面的人口生物学专家的兴趣开始在逻辑映射中增长，由此诞生了由澳大利亚物理学家，由罗伯特·梅 （ Robert May）所教育的澳大利亚物理学家撰写的，写得很好的1976年评论“具有非常复杂的动力学的简单数学模型”。普林斯顿大学生物学专业（那时他将成为英国政府的科学顾问，并获得牛津大学男爵May的头衔）。

但是，尽管有诸如分支图的草图之类的东西，但是发现它们的通用数值特性必须要期待Mitchell Feigenbaum的出现。

米切尔的旅行

Mitchell Feigenbaum在纽约布鲁克林长大。 他的父亲是一名分析化学家，母亲在一所公立学校任教。 米切尔（Mitchell）虽然在数学和精确科学方面的考试中取得了很好的成绩，而且还独立学习了数学分析和弹钢琴，但他并不特别喜欢学习。 1960年，他16岁那年，就像一些神童一样，进入纽约市立大学，正式学习电气工程，还参加了物理和数学课程。 1964年毕业后，他进入了麻省理工学院。 起初，他想为电气工程专业的博士学位辩护，但很快就转向了物理学。

尽管他对古典数学物理学感到高兴（例如在Landau和Lifshitz的书中提出的数学物理学），但最后他还是写了一篇关于他的策展人所指定的主题的论文-粒子物理学，并对用于标量粒子散射光子的费曼图的类进行了评估。 。 论文不是很有趣，但是在1970年，他被派到康奈尔大学做博士后。

米切尔（Mitchell）开始有动力方面的问题，他不愿做物理学，而是宁愿在咖啡馆里度过时光，在《纽约时报》中解决填字游戏（他设法做到了这一点）。 但是米切尔在康奈尔大学结识了一些重要的朋友。 其中之一是普雷德拉格·茨维塔诺维奇（Predrag Tsvitanovic），他是来自南斯拉夫那部分地区（现称克罗地亚）的杰出研究生。 他研究了量子电动力学，并与米切尔分享了对德国文学的兴趣。 另一位是年轻的女诗人凯瑟琳·杜里什（Kathleen Durish）（后来成为凯蒂·哈蒙德（Katie Hammond）），是普雷德拉格（Predrag）的朋友。 另一个是物理学的后起之秀，皮特·卡鲁瑟斯教授，他与米切尔分享了对古典音乐的兴趣。

1970年代初期，量子场论的黄金时代即将来临。 但是，尽管他的工作主题是米切尔，但他并没有做到这一点，在康奈尔大学呆了两年后也没有取得任何成果。 但是，他给汉斯·贝特 （ Hans Bethe）留下了深刻的印象，并将其转移到另一个地方（也作为博士后），但转移到了在非官方机构中排名稍低的研究所-维尔京理工学院。

在维珍学院，米切尔的表现甚至不及康奈尔。 他几乎不与人交流，只在三页上发表了一篇著作：“多组输运方程中归一化系数与色散函数的关系”。 顾名思义，这项工作是技术性的，没有兴趣。

米切尔（Mitchell）在弗吉尼亚呆了两年之后，目前还不清楚接下来会发生什么。 但是，运气干预了。 米切尔（Mitchell）来自康奈尔（Cornell）的朋友皮特·卡鲁瑟（Pete Carruthers）受聘在洛斯阿拉莫斯（Los Alamos）成立了一个理论部门，并获得了全职委托，聘请了几位杰出的年轻物理学家。 彼特（Pete）自豪地告诉我（作为科学管理建议的一部分），他觉得米切尔（Mitchell）有能力做点大事，尽管有其他人的意见-和证据-他还是决定戴上。

将米切尔转移到洛斯阿拉莫斯后，皮特开始为他提供项目。 起初，这是皮特工作的延续，试图计算量子场理论的一堆集体（“传输”）性质以了解高能粒子碰撞-这些是夸克-胶子等离子体研究之前的工作。

但是很快，皮特建议米切尔（Mitchell）处理液体中的湍流，尤其是要弄清重整化组方法是否有助于解决此问题。

当液体（例如，水）开始足够快地流动时，其中会出现小的漩涡，并且开始以复杂的，乍一看是随机的方式运行。 但是，尽管已经对这个现象进行了数百年的定性讨论（例如，甚至达芬奇（Leonardo da Vinci）也做了他的素描），但是物理学家却几乎不能说出这一点-尽管在1940年代， 安德烈·尼古拉耶维奇·科尔莫哥罗夫曾说过，漩涡应该与k形成级联-能量分配。 在洛斯阿拉莫斯，科学家专注于开发原子武器（不可避免地涉及研究具有强流的流体的行为），湍流对于理解这一点非常重要-尽管如何使用它尚不明显。

1974年，有消息称康奈尔大学的肯尼思·威尔逊 “解决了近藤问题” [近藤问题是理论物理学无法解释近藤效应 。 反式]使用称为“重归一化组”的技术。 皮特·卡鲁瑟斯（Pete Carruthers）建议米切尔（Mitchell）将此技术应用于湍流。

重归一化组与规模（或其他参数）的更改如何影响系统的描述（和行为）有关。 碰巧的是，米切尔（MIT）的弗朗西斯·洛（Francis Lowe）博士与默里·盖尔曼（Murray Gel-Mann）于1954年在量子电动力学的背景下重新引入了该博士学位。 这个想法多年没有动摇，但它可以追溯到1970年代，并且以不同的方式被积极地应用到粒子物理学（尤其是量子色动力学 ）和凝聚态物理学中。

在房间里的一块铁中，可以对齐与每个原子相关的所有电子的自旋，然后铁将被磁化。 但是，如果您对熨斗进行预热，则其中的温度会突然开始波动-高于所谓的温度。 居里点 （铁为770°C）-铁中出现了太多的随机性，磁性消失了。 通常，有很多情况（融化，沸腾，交通堵塞的形成） 相变 。

但是在阶段过渡期间究竟发生了什么？ 我认为最简单的方法是研究细胞自动机领域的对应物。 根据下面给出的特定规则，当系统最初没有大量的黑色单元格时，很快它将全部变为白色。 但是，如果您增加了原始黑电池的数量（类似于增加磁系统的温度），那么在这种情况下，突然有50％的黑电池发生了急剧的转变，整个系统最终变成了黑（有关相变的专家的观察：是的） ，这是一维系统的相变；只有在系统需要微观可逆的情况下才需要二维。



但是，靠近50％黑色电池边界的系统会发生什么情况？ 实际上，她无法决定要变成黑色还是白色。 结果，它显示了从最小到最大的整个波动层次。 到1960年代，很明显，表征功率波动的幂定律的“关键指数”对于许多系统都是相同的。

但是，我们如何计算这些关键指数呢？ 在某些人为情况下，分析方法是已知的。 但是在大多数情况下，还需要其他一些东西。 1960- , . . «» . , .

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, 1975 , , . , , , , , . , - , a _∞ ≈ 3,56995 π √2. . , .

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, 1975 , , , , . HP-65 , x → sin(x) , δ .

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, . : g(g(x)) = -g(α x)/α, α ≈ 2,50290, , , :

迭代映射的研究领域在1976年6月10日获得了动力，此后，罗伯特·梅（Robert May）在《自然》杂志上发表了一篇评论，该评论是他独立于米切尔（Mitchell）撰写的，而且自然也没有提及他获得的结果。 但是在随后的几个月中，米切尔随身携带了有关其结果的报告。 对他们的反应是混合的。 物理学家对这些结果与物理学的关系感兴趣。 鉴于他们是从实验数学中获得的，并且没有正式的数学证明，因此数学家们并不了解他们的身份。 而且，像往常一样，人们很难理解米切尔的解释。

1976年秋天，普雷德拉格（Predrag）在牛津大学获得了博士学位，在我到达的第一天，一个17岁的学生写了粒子物理学的文凭，我便与他会面。 我们主要讨论了他用于群体理论的优雅的“鸟足迹”方法（32年后他终于出版了这本书）。 他还试图向我解释迭代映射。 我仍然记得他是如何谈论亚得里亚海鱼类种群理想化模式的（仅在几年后，我与普雷德拉格来自现在被称为克罗地亚的那些地方联系起来）。

那时我并不重视这一点，但是迭代映射的想法在我脑海中根深蒂固，很快就与分形的想法混为一谈，我从《 Benoit Mandelbrot 》一书中学到了这一点。 几年后，当我专注于复杂性问题时，这些想法帮助我进入了像细胞自动机这样的系统。

但是在1976年，米切尔（直到下一次与他会面，直到几年以后，我才会与之会面）积极地旅行并提供有关结果的报告。 他还向著名的科学杂志“数学进展”提交了论文。 六个月以来，他没有从那里收到消息，但最终工作被拒绝了。 他再次尝试，并向SIAM应用数学杂志发送了另一份工作-结果相同。

我想说我对此并不感到惊讶。 根据我在学术文献中发表出版物的经验（我已经很长时间没有从事过）了，在确定的研究领域发表论文非常容易。 但是，在真正新颖或独创性领域中的工作实际上可以依靠专家评估后予以拒绝-因为是出于智力上的短视或由于学术腐败。 米切尔还有另一个问题-他的解释很难理解。

但最后，在1977年，《统计物理学杂志》的编辑乔尔·莱博维茨（Joel Lebovitz）同意出版米切尔的著作-实际上，是因为他遇见了他，因为他承认他不了解这项工作。 因此，1978年的著作“非线性变换类中的定量普遍性”出现了，描述了米切尔的伟大成就。 为了确定学术重点，米切尔有时会引用他在1976年8月26日所做的报告的摘要，并发表在洛斯阿拉莫斯理论部1975-1976年的年度报告集中。 米切尔（Mitchell）受拒绝发表作品的影响很大，多年来，他在抽屉里放着拒绝信。

米切尔（Mitchell）继续在世界各地巡回报道结果。 对他们有兴趣，但感到迷惑。 然而，1979年夏天发生了一件令人惊奇的事情：来自巴黎的阿尔伯特·利伯哈伯（Albert Liebhaber）宣布了一项关于液氦对流流动向湍流过渡的物理实验结果，他发现该期间的时间正好与米切尔计算出的δ指数成倍增加。 事实证明，它不仅对于数学系统类是通用的，而且在实际的物理系统中也被证明是通用的。

随即米切尔（Mitchell）出名了。 发现了与重归一化组的联系，他的工作对物理学家和数学家都变得很时髦。 米切尔（Mitchell）继续从事报道工作，但是现在，他有机会定期与最杰出的物理学家和数学家闲逛。

我记得他是在1979年秋天的某个时候来到加州理工学院的。 所有这些都类似于与摇滚明星的会面。 米切尔到了，做了一个时尚但有点神秘的报道，然后理查德·费曼和默里·盖尔曼偷了他进行私人对话。

很快，米切尔（Mitchell）被提供了许多不同的高级职位，并于1982年以优异的成绩回到了加州理工学院，成为物理学教授。 有人说这项发现值得诺贝尔奖，到1984年6月，他与贝多芬的别致一起出现在《纽约时报》杂志的康奈尔瀑布中：



但是数学家仍然不满意。 与Benoit Mandelbrot的情况一样，他们认为Mitchell的结果是“数值假设”，未经证实，也不值得一提。 但是，最好的数学家（与Mitchell成为朋友）很快就开始研究这个问题，尽管不久之后才完成δ通用性的最终证明，却花了十年的时间。

科学去了哪里

米切尔的主要发现发生了什么？ 它当然成名了。 很快，在许多系统中，液体，光学等系统中，都发现了具有普遍特性倍增的级联级联。 但是它们有多普遍？ 是否可以扩展它们以涵盖流体中湍流的整个问题？

Mitchell和其他人研究了除迭代映射以外的系统，并发现了相关现象。 但是其中并不比米切尔的第一个发现令人惊讶。

从某种意义上说，我尝试研究细胞自动机和简单程序的行为始于1981年，旨在寻找Mitchell的工作可能导致的一些大问题。 但是，我们的方法和结果截然不同。 米切尔始终试图接近传统数学物理学家可以转向的事物，而我无所畏惧地走进了计算宇宙，探索那里遇到的现象。

我试图了解Mitchell的工作与我的工作有何关系，例如，在1981年的第一项关于细胞自动机的工作中，我什至注意到，可以通过迭代映射来近似估计细胞自动机进化中连续步骤中黑细胞的平均密度。

我还注意到，从数学上讲，元胞自动机的整个演化可以看作是迭代图-尽管不是在一组普通实数上，而是在cantor集上 。 在我的第一份工作中，我什至建立了平滑的Mitchell映射的类似物，但是，它们在我中是疯狂而断断续续的：



但是，无论我如何尝试，我都找不到与Mitchell的作品任何明显的联系。 我一直在寻找时期加倍或Sharkovsky命令的类似物，但是我没有发现任何特别之处。 对于我的计算平台，即使考虑具有无限数字序列的实数也是不自然的。 多年后，在“一种新型科学”一书中，我插入了“平滑迭代映射”注释。 我显示了它们的数字序列，并观察了Mitchell的发现如何暗示在序列的开头存在不寻常的嵌套结构：

故事结束

米切尔怎么了？ 在康奈尔（Cornell）呆了四年之后，他搬到了纽约的洛克菲勒大学（Rockefeller University），接下来的30年几乎是波希米亚人的存在，大部分时间都在曼哈顿上东区的公寓里度过。

米切尔（Mitchell）在洛斯阿拉莫斯（Los Alamos）时嫁给了一位名叫科妮莉亚（Cornelia）的德国裔女性，物理学家（也是我的老朋友）大卫·坎贝尔（David Campbell）的妹妹，后者在洛斯阿拉莫斯（Los Alamos）成立了非线性研究中心，然后成为波士顿大学的校长。 然而，很快，Cornelia离开了Mitchell，只剩下Pete Carruthers。 后来，由于酗酒和其他问题，皮特与妻子露西团聚，但于1997年去世，享年61岁。

米切尔（Mitchell）在康奈尔（Citchell）遇见了古尼拉（Gunilla），古尼拉14岁那年从一位牧师家庭逃离了瑞典北部一个小镇，他最初是萨尔瓦多·达利（Salvador Dali）的模特儿，然后在1966年以时装模特儿的身份来到纽约。 古尼拉（Gunilla）是一名记者，被录了录像，写了戏剧和画了画。 他们于1986年与米切尔（Mitchell）结婚，并持续了26年的婚姻，在此期间，古尼拉（Gunilla）在形象艺术领域取得了辉煌的成就。

米切尔自己撰写的最新作品于1987年出版。 他还与多位合著者共同出版了许多作品，尽管其中没有一部成为特别值得注意的作品。 他们中的大多数人继续他的早期研究，或试图将传统的数学物理方法应用于类似于流体流动的各种复杂现象。

米切尔喜欢与学术界高层互动。 他获得了各种奖项和认可（诺贝尔奖除外）。 但最后他认为自己是局外人-一个专注于物理学的文艺复兴时期人，但并不完全相信所有制度和实践。

自1980年代初以来，我经常在纽约和其他地方见过米切尔（Mitchell）。 他每天使用Mathematica平台，称赞它，并经常谈论他使用它进行的复杂计算。 像许多数学物理学家一样，米切尔（Mitchell）是特殊函数的专家，并且经常与我讨论越来越多的奇异函数，在他看来，我们应该将其添加到产品中。

米切尔在学术界之外有两个主要爱好。 在1980年代中期，年轻的女诗人（现名为凯蒂·哈蒙德（Katie Hammond），米切尔从康奈尔认识），是《纽约时报》的广告经理，嫁给了一家拥有哈蒙德世界地图集出版社的家庭。 通过它，Mitchell陷入了制图学的全新世界。

我就这个话题多次与他交谈。 他为能够找出在创建地图时如何使用黎曼映射定理来获得特殊的局部映射而感到自豪。 他向我描述了一种基于物理学的算法，用于在地图上放置标签（尽管我仍然不完全理解他）。 他对新版哈蒙德地图集（后来称为“我的地图集”）的发布感到非常满意。

自1980年代以来，将物理思想应用于量化金融的趋势一直在积极发展，物理学家经常成为华尔街分析师。 而且，由于金融业者一直在寻找独特的利益，因此总是对新方法感兴趣。 我经常遇到类似的问题-但是在詹姆斯·格里克 （ James Gleick） 1987年的著作《混乱》（我接受了很长的采访）成功之后，出现了一大堆想要知道“混乱”如何帮助他们管理财务状况的人。

其中一位是迈克尔·古德金（Michael Gudkin） 。 他于1960年代初在大学学习，为法律系学生建立了一家法律研究公司。 几年后，他聘请了几位获得诺贝尔奖的经济学家，并创立了也许是第一家使用计算机进行套利交易的对冲基金。 Gudkin一生都是摩托车手，他热爱赌博，旅行和西洋双陆棋，并且赚了很多钱。 在一个不幸的时刻，他正在寻找一些新的解决方案-并发现了混沌理论和Mitchell Feigenbaum。

他曾在各种物理学家任职多年，然后在1995年组建了一个团队，并成立了Numerix公司，以在日益奇特的金融工具领域将物理计算方法的使用商业化。 Mitchell Feigenbaum是公司的代表，尽管我的老朋友Nigel Goldenfield和他的年轻同事Sasha Sokol进行了所有艰苦的工作。

从一开始，公司就从事与数学物理学有关的大量工作，Mitchell积极参与其中。 他曾是伊藤的随机演算的忠实爱好者，并在其上作了演讲，并为找到一种将随机积分加速一千倍的方法而感到自豪。 但是，该公司实际上使用C ++编写了用于集成到银行系统中的库。 从长远来看，米切尔不想做这样的事情。 经过几年的工作，他在公司的活动减少了。

我在1998年与Gudkin相识，然后在14年后相识。 在此之前不久，他写了自传《更快的错误答案：制造万亿交易机的机密历史》，突然间与我联系，邀请我参加一个晦涩难懂的新业务。 米切尔仍然对迈克尔说得很好，尽管当谈话突然消失时，我成立了一家新公司并担任其董事，但我拒绝了。

这些年来，我经常与Mitchell交谈，尽管我们的联系人没有尽可能多地保存在档案中，因为他更喜欢通过语音而不是通过邮件交谈。 他曾经给我写信：“我不喜欢通过电子邮件通讯。 我仍然更喜欢听到声音并与人互动。”

但是一些片段保留在我的档案中。 例如，有一封关于米切尔（Mitchell）在2004年60岁生日的信，我没有去，因为它与我一个孩子的生日相交。 相反，我订购了Feigenbaum-Zvitanovich晶体的生产，这是一个三维玻璃雕塑，描绘了复平面上函数g（z）的限制。

解决功能方程式有点困难，激光雕刻首先将几个玻璃块分割开，但是最终这个物体被制成并发送了-多年以后，我很高兴看到它在米切尔公寓的架子上：



有时，在我的档案中，其他人（通常是Predrag）突然提到Mitchell。 2007年，普雷德拉格（Predrag）给我写信（带有他独特的幽默感）：

其他新闻：刚遇到米切尔，他遇到了奥德赛。

我不是说昂贵的护送服务，而是荷马的奥德赛。 他开始计算具有26,000年进动的恒星的位置作为函数。 他说，希帕古斯曾经计算过这一切，但天主教会设法销毁了他所有碑的复制品。”

米切尔（Mitchell）一直对历史充满兴趣，证明了他是文艺复兴时期人的形象。 2013年，米切尔（Mitchell）在回应我在莱布尼兹（Leibniz）上发表的文章时说，他从青春期开始就是莱布尼兹（Leibniz）的恋人，并解释说：

“牛顿的血管造影专家伏尔泰对单子论的本质一无所知 ，所以我只能伪造“所有可能世界中最好的”。”很久以前，我将此作为口头手段来解释2 ⁿ的普遍性。

莱布尼兹（Leibniz）在他19岁时出版的第二本著作《论切线反演方法》（On Tangent Inversion Methods）或诸如此类，包含了用于求解常微分方程的等斜线方法的发明。 莱布尼兹和牛顿从微分方程开始，已经接受了微分符号。 一个非常有趣的故事。”

不过，数学物理学历来是米切尔学术生活的据点，尽管更多的是个人角度，而不是他的学术工作的一部分。 在某个时候，他的女god还很小，就问他为什么离地平线越来越近的月亮看起来更大。 他给她写了一个答案（有点像欧拉给德国公主的信），然后意识到自己不确定答案，因此着手进行了多年的光学和成像研究。 进入麻省理工学院后，他受到杰里·莱特温（Jerry Lettwin）的书“青蛙的眼睛对青蛙的大脑说了什么”的启发，对视网膜的工作产生了兴趣。

他告诉我这件事，说通常的图像形成理论是错误的，并且他有更好的理论。 他总是以月球的大小为例，但是我不确定这个问题是与光学还是感知有关。 尽管他的手稿有些运气（根据传闻，他当时正在准备一本书），但他从未出版过与该主题相关的作品，但如果其他人能理解它们，它们最终将看到曙光。

当我参观米切尔（Mitchell）和古尼拉（Gunilla）时，他们的公寓给人留下了波西米亚风情-到处都是书籍，纸张，绘画和各种类似的东西。 还有一只鸟。 那是只鹦鹉，声音很大。 我不知道是谁和为什么带来的。 但是他很麻烦。 由于邻居对噪音的抱怨，米切尔和古尼拉差点被赶出公寓，他们最终将小鸟赶到医生那里。 正如我后来发现的那样，出乎意料地回顾了为宠物开发视频游戏的未实施计划（“我们星球上的其他人的想法”），凤头鹦鹉是社交动物，而这种宠物肯定需要“鸣叫鹦鹉”。



结果，古尼拉（Gunilla）离开了家庭，据传闻是因为伯德（Bird）。

几年前，我们上次亲自见过Mitchell。 我的儿子克里斯托弗（Christopher）和我来探望他-他像米切尔（Mitchell）一样兴奋，眼睛闪闪发光，他对图像形成的数学物理学迅速而又神秘地讲话。 “鸟的眼睛被高估了，”他对隔壁房间里的鹦鹉的声音说道。 他们的中央窝非常小。 他们的眼睛像望远镜一样工作。”

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