在控制问题中，有时会知道受控对象的运动定律，因此有必要开发出具有某些特性的调节器。 有时，由于描述受控对象的方程式是非线性的，因此使该任务变得复杂，这使得控制器的构造变得复杂。 在这方面，已经开发了几种方法来考虑控制对象的非线性结构特征，其中一种是逆动力学问题方法。

引言

当您尝试将一个动态系统“转换”为另一个动态系统时，开发人员有两个方程式，其中一个描述了一个现有的受控系统，另一个方程式表达了这个非常受控的系统的运动定律，将其转化为有用的东西，自然就会产生动力学反问题的方法。 法律看起来可能有所不同，但主要的是它在物理上是可行的。 这可能是发电机或自动频率控制系统输出端的正弦电压变化定律，涡轮机转速或打印机底座移动定律，甚至可能是铅笔芯的X，Y坐标，卡片在卡片上进行签名。

但是，可以“施加”适合对象的物理可实现性和可控制性框架的控制律，这通常不是开发中最困难的部分。 但是在我看来，所考虑的方法可以很容易地考虑到物体的非线性和多维性，这一事实增加了它的吸引力。 顺便说一下，在这里您可以注意到与反馈非线性补偿方法[1]的连接。

众所周知，在某些情况下，即使线性系统控制正确，非线性控制器也比线性控制器具有更好的控制特性[2]。 一个例子是一种调节器，其随着执行命令的误差的增加而减小系统的阻尼系数，并且随着误差的减小而增大，从而导致过渡过程的质量提高。

一般而言，与需要考虑非线性相关的控制主题早已引起了科学家和工程师的注意，因为尽管如此，大多数实际对象还是由非线性方程式描述的。 以下是技术中常见的一些非线性示例：


问题的一般陈述如下。 设一个可以描述为n阶微分方程的控制对象

$$

$$F（{{x} ^ {{n}}}，{{x} ^ {{n-1）}}，\ ... \，\ x，\ {{\ xi}}，t）= u ，\ Quad \ Quad \ Quad（1）$$

在其中有干扰 $$$\ {{\ xi}}$ （这可能是测量设备的噪声，外部随机影响，振动等）和控制信号 $$$u$ （在技术上，控制通常是使用电压进行的）。 在这种情况下，为了简化感知，我们考虑一维控制对象，其中包括一个扰动。 在一般情况下，这些数量是矢量。 据了解，相位变量 $$${{x} ^ {{n}}}，{{x} ^ {{n-1）}}，\ ... \，\ x$ 描述控制对象的状态，干扰 $$$\ {{\ xi}}$ 和管理 $$$u$ 取决于时间，但是为了简化感知，不会显示此事实。 表达式（1）可以包含非线性，也可以是非平稳的，即。 其参数会随着时间而明显变化。 非稳态方程的一个例子可以是反应堆中铀核的数量，由于衰变反应，铀核的数量不断减少，这导致缓和棒的最佳控制规律不断变化。

控制器的构造方式是可以计算出先前已知的控制定律，该定律可以用不低于描述控制对象的等式（1）的阶数的微分方程来描述：

$$

$$f（{{x} ^ {{m）}}，\ {{x} ^ {{m-1）}}，\ ... \，\ x，\ \ psi，\ {{\ psi} ^ {（1）}}，\ ...，{{\ psi} ^ {（k）}}，\ t）= 0，\ \ \ \ \ m \ ge n，\ quad \ quad（2）$$

在哪里 $$$\ psi，\ {{\ psi} ^ {（1）}}，\ ...，{{\ psi} ^ {（k）}}$ -控制信号及其派生词的数量应足以使您充分描述所需的控制律。 因此，对于稳定系统，没有必要测量控制的导数。 对于用于斜坡输入信号的跟踪系统，测量一阶导数就足够了。 要跟踪二次方变化的信号，必须添加一个二阶导数，依此类推。 应该注意的是，与信号相反，该信号被馈送到调节器的输入 $$$u$ 从调节器进入控制对象。 该方程式也可以是非线性的，也可以是非平稳的。

确定所需的控制信号 $$$u$ 我们从（2）表示最高导数

$$

$${{x} ^ {{n}}} = {{f}}（{{x} ^ {{n-1）}}，{{x} ^ {{n-2）}}，\ .. 。\，\ x，\ psi，\ {{\ psi} ^ {（1）}}，\ ...，{{\ psi} ^ {{k）}}，t）$$

并替换结果表达式 $$$x ^ {{n）}$ 在等式（1）中，表示控制时：

$$$$显示$$ \开始{矩阵} {u = F \左（{{f}}（{{x} ^ {{n-1）}}，{{x} ^ {{n-2）}} ，\ ... \，\ x，\ psi（t），\ {{\ psi} ^ {（1）}}，\ ...，{{\ psi} ^ {（k）}}，t） ，\\ \ Quad \ Quad \ Quad \ Quad {{x} ^ {（n-1）}}，{{x} ^ {（n-2）}}，\ ... \，\ x，\ { {\ xi}}，t \右）。}＆\ quad \ quad \ quad（3）\ end {matrix} $$显示$$

从表达式（3）可以清楚地看出，为了创建所需的控制信号，除了外部干扰（如果影响很大），还必须测量作为控制量本身 $$$x$ ，以及所有衍生产品的订单 $$$n-1$ 包容性，这可能会造成一些困难。 首先，较高的导数可能无法直接用于测量，正如我们所说的加速度导数，因此，我们将不得不求助于微分运算，无论是编程方式还是电路方式。 而且，如您所知，由于噪声增加，他们试图避免这种情况。 其次，测量结果不可避免地包含噪声，这迫使人们诉诸于滤波。 任何滤波器都是动态的，或者说是惯性的，这意味着方程存在导数。 因此，在一般情况下，整个控制系统的阶数将增加一个等于描述所有滤波器仪表的方程式阶数之和的数字。 也就是说，如果我们控制一个二阶对象并在每个测量通道中使用二阶滤波器（即只有两个二阶滤波器）来测量输出量及其导数，则控制系统的阶数将增加四。 当然，如果滤波器时间常数足够小，则可以忽略平滑元件的影响。 但是无论如何，它们都会将所谓的小的动态参数带入系统，它们的综合作用会影响整个控制系统的稳定性[2]。 还应该理解，该方法仅允许您在过渡过程中指定控制，并且不通过任何控制质量标准与优化相关联。

控制器和控制对象的关系可以通过以下方案描述：

范德波尔振荡器控制

考虑用于控制自激系统的控制器综合的示例。 这是一个虚拟的例子，很好地说明了该方法的本质。 假设您要控制一个方程式如下的系统：

$$

$$\ ddot {x}-\ gamma（1-{{x} ^ {2}}）\点{x} + {{\ omega} ^ {2}} x = u。 \四\四（4）$$

管理法律应如下：

$$

$${{{T} ^ {2}} \ ddot {x} + 2T \ xi \ dot {x} + x = \ psi，\ quad \ quad（5）$$

在哪里 $$$\ psi$ -我们的驾驶控制信号（设定点）。 也就是说，实际上，我们想将非线性发生器“变成”线性振荡链接。 应当指出，在同一[2]中，该系统是稳定系统，因为输出 $$$x$ 试图重复输入信号 $$$\ psi$ 即将系统输出稳定在给定的恒定水平 $$$\ psi$ 可以显示为

$$

$$x \ rightarrow \ psi。$$

输入信号很重要 $$$\ psi$ 保持恒定或缓慢变化（如此缓慢以至于滞后误差 $$$x$ 来自 $$$\ psi$ 因为整个系统具有0阶静默性（即是静态的），并且对于任何不断变化的设置信号，都可以使用值或分段常数函数来满足我们对精度的要求） $$$\ psi$ 动态误差肯定会出现在系统输出上，这看起来像是在输出值上增加一个恒定值，该值单调取决于控制动作的变化率。 将来将取消此功能。

因此，我们从等式（5）表示最高导数：

$$

$$\ ddot {x} = \ frac {\ psi} {{{T} ^ {2}}}-\ frac {2 \ xi \ dot {x}} {T}-\ frac {x} {{{T } ^ {2}}}$$

并将其代入（4），表示 $$$u$ ：

$$

$$u = \ frac {\ psi} {{{T} ^ {2}}} + \左（{{\ omega} ^ {2}}-\ frac {1} {{{{{T} ^ {2}} } \ right）x- \ left（\ frac {2 \ xi} {T} + \ gamma（1-{{x} ^ {2}}）\ right）\点{x}。 \四\四（6）$$

这是控制信号，由调节器根据所需控制信号形成 $$$\ psi$ 。 从（6）还可以得出需要测量输出量的信息 $$$x$ 及其一阶导数

带参数的范德波尔振动 $$$\伽玛= 0.6，\欧米伽= 3$ 看起来像这样：


让我们有一个“阶梯”型信号：


并且我们希望系统重复该操作。

我们将其馈送到振荡器的输入并查看响应：


在输入单信号的作用下，只有很小的恒定偏置被添加到振荡器的振荡中。

现在假设我们需要获得这样一个对主信号的振荡器响应，该响应将与振动链接（5）的时间常数相对应 $$$T = 0.125$ 和阻尼系数 $$$\ xi = 0.8$ 。 回应 $$$x_ {mp}（t）$ 每单位步长的这种振荡链接的数量如下所示：


现在让我们将控制信号传递给振荡器 $$$u$ 用表达式（6）描述：


可以看出，振荡器的行为符合所要求的规律。 让我们看一下控制信号 $$$u$ ：


该图显示了过渡过程中的大幅增长。 在实际系统中，很可能系统会进入饱和（破坏）状态，或者为了防止这种情况，我们必须限制输入信号。 我们通过限制控制动作的幅度来考虑到这一点 $$$u$ 在水平 $$$\ pm$ 15.现在，控制信号如下所示：


振荡器的输出是这样的：


信号限制的结果是很大的瞬态误差，这取决于系统所需的特性，可能会非常显着。 随着所需时间常数的增加，瞬态排放减少。 您需要注意，稳定状态下的最大控制信号（在此图上大约从第六秒开始）不受限制，否则，转换过程将无休止，系统将无法完成任务。 调节器增益，即控制信号比 $$$u$ 在调节器输出 $$$\ psi$ 由受控系统的参数确定，即因数 $$$\ omega ^ 2$ 。

现在我们给振荡器提供这样一个线性变化的信号：


振动环节的反应：


和振荡器：


可以看到出现了恒定的滞后-动态误差，因为该系统被设计为仅跟踪恒定的参考信号 $$$\ psi$ 。 为了能够跟踪线性变化的信号，有必要评估其变化速率并在控制器中加以考虑。 为此，我们组成了所需的控制律，如下所示：

$$

$${{{T} ^ {2}} \ ddot {\ delta} + 2T \ xi \ dot {\ delta} + \ delta = 0，\ quad \ quad（7）$$

在哪里 $$$\ delta = \ psi-x$ -振荡器错误跟踪参考信号。
我们还表示（7）的最高导数，将其代入控制对象（4）的方程中并获得控制信号：

$$

$$u = \ frac {\ psi} {{{T} ^ {2}}} + \ frac {2 \ xi} {T} \点{\ psi} + \左（{{\ omega} ^ {2} }-\ frac {1} {{{T} ^ {2}}} \ right）x- \ left（\ frac {2 \ xi} {T} + \ gamma（1-{{x} ^ {2} }）\右）\点{x}。 \四\四（8）$$

在对应于表达式（8）的调节器的新结构中，设定动作的变化率 $$$\点{\ psi}$ 。 我们将线性变化的设定值应用于输入时，查看系统的输出：


振荡器跟踪设置信号 $$$\ psi$ 。

但这是一个完全综合的例子。 实际上，这将是一个系统，其结构可能不够准确地被识别。 我们还将确定具有一定误差的系统参数-这是两个。 控制包括相位变量 $$$x，\点{x}$ 必须用某种噪声来测量的是三个。 并且系统的参数可能会随时间浮动，也就是说，固定系统在足够长的时间段内可能会显示不稳定。 尽管这样说更正确-在相当短的时间间隔内，非平稳系统似乎静止不动。 在此示例中，我们假定系统已被足够准确地识别，并且其随时间的变化非常微不足道。 然后，为清楚起见，我们如下重写控制器（6）的表达式：

$$

$$u = \ frac {\ psi} {{{T} ^ {2}}} + \左（{{\ omega} _ {\ text {id}}} ^ {2}-\ frac {1} {{ {T} ^ {2}}} \右）\帽子{x}-\左（\ frac {2 \ xi} {T} + {{\ gamma} _ {\文本{id}}}（1- { {{\ \ hat {x}}} ^ {2}}）\ right）\ hat {\点{x}}，\ quad \ quad（9）$$

在哪里 $$$\ hat {x}，\ hat {\点{x}}$ -测量的控制值及其导数； $$${\ omega} _ {\文本{id}}，{\ gamma} _ {\文本{id}}$ -分别确定固有频率和非线性衰减系数。

通过设置，在振荡器参数的识别中增加10％的误差 $$$\ gamma_ {id} = 0.66，\ omega_ {id} = 3.3$ 。 让我们看一下结果：


从图中可以看出，出现了静态错误，该错误随着识别错误的增加而增加 $$$\ delta \ omega = \ omega- \ omega_ {id}$ 稳定状态下不受误差影响 $$$\ delta \ gamma = \ gamma- \ gamma_ {id}$ 。 但是，后者会影响振荡器瞬态与理想振动环节之间的偏差。 您可以尝试执行与PID控制器（ Habr而不是Habr ）的设计相同的操作-将误差的积分添加到控制信号中（不要忘记积分饱和一次或两次 ）。 但是现在，我们忽略这个问题，考虑表达式（9），可以看出自然频率越低 $$$\ omega$ 与所需时间常数相比 $$$\ frac {1} {T}$ ，相同识别错误的影响越小 $$$\ frac {1} {T}$ 。 减少 $$$T$ 从0.125到0.05。 静态错误也减少了：


现在，我们尝试通过将误差的积分添加到控制器来补偿静态误差 $$$\ delta$ （如在PI控制器中一样）。 表达式（9）将变为

$$

$$u = \ frac {\ psi} {{{T} ^ {2}}} + \左（{{\ omega} _ {\ text {id}}} ^ {2}-\ frac {1} {{ {T} ^ {2}}} \右）\帽子{x}-\左（\ frac {2 \ xi} {T} + {{\ gamma} _ {\文本{id}}}（1- { {{\ \ hat {x}}} ^ {2}}）\ right）\ hat {\点{x}} + k_ {int} \ int_0 ^ {t_1} {（\ psi-x）dt}，\ quad \四（10）$$

在哪里 $$$k_ {int}$ -积分部分的系数； $$$t_1$ -当前时间。

此处的积分形式为解释一般概念而不是特定算法的数学描述的形式，因为在实际的控制器中，必须采取措施来限制累积的误差，否则会出现瞬态问题。 让我们看一下在表达式（10）所对应的调节器的作用下系统的反应：


该图显示静态误差会随着时间的推移而减小，但是瞬态过程会延迟。 与PID控制器类似，您可以尝试添加比例和微分组件。 结果如下（未仔细选择系数）：


自然地，积分和微分分量的添加不再是逆动力学问题方法的一部分，而是实现了用于优化瞬态过程的某种方法。

让我们分析变量的噪声测量的影响 $$$\ hat {x}，\ hat {\点{x}}$ 。 同样，我们将步骤输入系统输入，并在没有任何噪声的情况下查看输出（仍然存在相同的10％识别错误）：


现在添加到测量 $$$\ hat {x}，\ hat {\点{x}}$ 期望为零且方差相等的高斯白噪声 $$$\ sigma_x ^ 2 = \ sigma_ \点{x} ^ 2 = 0.01$ 通过具有时间常数的非周期性链接传递 $$$T_x = T_ \点{x} = 0.01$ 模拟测量传感器+ 低通滤波器 。 产生的噪声实现之一：


现在系统输出也开始发出噪音：


由于嘈杂的控制信号：


查看执行任务的错误：


让我们尝试增加传感器的时间常数 $$$T_x = T_ \点{x} = 0.04$ 并再次查看系统输出：


出现了明显的波动-那些描述传感器（它们的惯性）的小的动态参数[2]的作用的结果。 这些动态参数使噪声过滤变得困难，从而迫使人们不得不用“较大”的时间常数来描述传感器，通常来说，这些时间常数不能总是给出积极的结果。

考虑非线性粘滞摩擦的直流电动机控制

这是应用逆动力学问题方法的更真实的情况。 考虑使用永磁体（例如玩具中的中国电机）励磁的直流收集器电机的控制组织。 原则上，控制此类发动机的主题已涵盖很多，不会引起任何特殊困难。 逆动力学问题方法将被广泛用于补偿发动机动力学方程中的非线性。我们假设发动机本身可以用线性微分方程来描述，但是轴的非线性粘滞摩擦力有很大的影响，它与转速的平方成正比。机电系统的方程式如下：

$$

$$\begin{matrix} \dot{\omega} = \frac{1}{J} \left(k_t \Phi I - B \omega - D \omega^2 - M_{l} \right) \\ \dot{I} = \frac{1}{L} \left(U - k_e \omega - R I \right) \\ \end{matrix}, \quad\quad (11)$$

在哪里 $$ω是轴的旋转角速度；$\omega$$$J是整个旋转系统（附有负载的锚）的惯性矩；$J$$$k t是机器常数，为特定的发动机设计定义，涉及磁通量和轴转速；$k_t$$$Φ是磁通量，对于特定的电动机设计，在工作电流范围内（但在高电流非线性地取决于绕组电流的情况下），可以粗略地认为它是恒定的；$\Phi$$$I-通过电枢绕组的电流；$I$$$$B$ -线性粘滞摩擦系数； $$$D$ -非线性粘滞摩擦系数； $$$M_l$ -负载力矩； $$$L$ -电枢绕组的电感； $$ -施加在绕组上的电压； $$$k_e$ -反电动势系数，对于特定的发动机设计为常数； $$$R$ -电枢绕组的电阻。 原则上，仅进行非线性粘性摩擦就足够了，但是为了更笼统，决定将摩擦对轴转速的非线性依赖性作为二项式来表示。

我们将尝试通过动力学反问题的方法来制造这样的调节器，以使发动机完成速度方面的误差时的动力学与表达式所描述的振动环节相对应。

$$

$${{{T} ^ {2}} \ ddot {\ omega} + 2T \ xi \ dot {\ omega} + \ omega = \ psi，\ quad \ quad（12）$$

在哪里 $$$\ omega$ -电机轴的旋转角速度； $$$\ psi$ -速度设置。

公式（12）可以使用将命令作为动态变量计算出来的错误进行编译 $$$\ delta = \ psi- \ omega$ ：

$$

$${{T} ^ {2}} \ ddot {\ delta} + 2T \ xi \ dot {\ delta} + \ delta = 0，$$

但是在方程式中会出现带有设定值导数的项，这可以从表达式中看出

$$

$$\ frac {1} {T ^ 2}（\ psi- \ omega）+ \ frac {2 \ xi} {T}（\ dot {\ psi}-\ dot {\ omega}）+ \ ddot {\ psi }-\ ddot {\ omega} = 0，$$

反过来，这将增加误差的波动分量。 并且由于我们希望系统仅计算出一个恒定的，突然变化的设定点（即，考虑其速度，加速度和所有后续导数为零），因此我们需要跟踪最大位置误差，而无需考虑其导数，或者，如果更易于理解，且误差的导数为零，这将导致表达式（12）。

为了获得最终描述调节器的表达式，必须将两个一阶方程（11）的系统简化为一个二阶方程。 为此，我们针对时间对第一个方程式（11）进行微分（假设负载力矩不变）：

$$

$$J \ ddot {\ omega} = \ Phi \点{I} -B \点{\ omega} -2D \ omega \点{\ omega}$$

并将其代入系统（11）的第二个方程式中 $$$\点{I}$ ，它给出一个二阶方程

$$

$$\ ddot {\ omega} + \左（\ frac {R} {L} + \ frac {B} {J} \ right）\点{\ omega} +2 \ frac {D} {J} \ omega \点{\ omega} + \ frac {\ Phi K_t K_e + RB} {JL} \ omega + \ frac {RD} {JL} \ omega ^ 2 + \ frac {RM} {JL} = \ frac {\ Phi K_t} {JL} U. \四\四（13）$$

代入表达（13） $$$\ ddot {\ omega}$ 从（12）获得，我们可以找到所需的控制 $$ 实施所需的运动定律（12）：

$$

$$\ small U = \ frac {JL} {\ Phi K_t} \ left [\ left（\ frac {R} {L} + \ frac {B} {J}-\ frac {2 \ xi} {T} \右）\点{\ omega} + \压裂{2D} {J} \ omega \点{\ omega} + \左（\压裂{\ Phi K_t K_e + RB} {JL}-\压裂{1} {T ^ 2} \ right）\ omega + \ frac {RD} {JL} \ omega ^ 2 + \ frac {RM} {JL} + \ frac {\ psi} {T ^ 2} \ right]。 （14）$$

我们将两个引擎的输入应用于其中，其中一个由根据逆动力学问题原理实施的调节器进行补充，该调节器按照以下方案具有单位幅度的步长：


并查看电动机轴的旋转频率对时间的依赖性：


对幅度为10伏的阶跃的反应：


从图中可以看出，初始系统的振荡指数与输入信号幅度的非线性关系。

现在比较两个带有PID控制器的发动机，其结构图如下图所示：


发动机轴的旋转频率：


以及更大：


从图中可以看出，由于使用了逆动力学问题方法构造的PID控制器，加速了对阶跃控制信号的系统响应，由于控制对象中的非线性，使用常规PID控制器无法实现这一点。 但是，使用PID控制器的可变系数可能会更好地解决此问题，并使系统更强大。 但这是一个完全不同的故事。

结论

本文考虑了一种方法，该方法可让您构建用于控制非线性系统的控制器，范德波尔振荡器和直流电动机的控制示例显示了该方法。

这种方法的主要优点包括：

• 易于实施所需的控制法（从分析上）；
• 控制非线性系统的能力；
• 控制非平稳系统的能力。

但是，此方法也有许多明显的缺点 ：

• 需要知道受控系统的整个状态向量（可能需要微分，过滤）；
• 需要足够准确地识别受控系统的参数，这会降低鲁棒性；
• 由于模型中未包含的小动态参数（滤波器，传感器）的共同作用，需要研究系统的不稳定性。

通常，这是一个非常有趣的方法，但是通过将其控制DC电机（使用PID控制器）的实现与仅由PID控制器控制的电机进行比较，很明显，不可能从中获得大量的面包。 但是控制装置的结构要复杂得多，除其他外，一方面迫使其与微分噪声作斗争，另一方面又使稳定性边界无法达到。 也许与此相关的是有关该主题的少量作品。 动力学反问题的方法的可能应用之一可以是系统的参考（理想）轨迹的构建，以与对应于各种调节器（例如线性或线性化）的轨迹进行比较。

二手文献：

1. Kim D.P. 自动控制理论。 T.2。 多维，非线性，最优和自适应系统：教科书。 津贴。 -M。：FIZMATLIT，2004。-464羽
2. Boychuk L.M. 非线性自动控制系统的结构综合方法。 M.，《能源》，1971年。
3.非平稳的自动控制系统：分析，综合和优化/编。 K.A. Pupkova和N.D. 埃古波娃。 -M.：MSTU的出版社。 N.E. 鲍曼，2007 .-- 632羽