在本文中，从最小的细节开始，详细考虑了三种获取Euler-Poisson积分的方法。 在一种方法中，推导了辅助还原公式。 要找到一些复杂的积分，可以使用简化公式，该公式可以减小被积数的阶数并以有限的步数计算相应的积分。
该积分取自高斯函数：
I= int limit 0inftye−x2dx有一种非常有趣的数学方法。 要找到原始积分，请先寻找该积分的平方，然后从结果中取根。 怎么了 是的，因为去极坐标非常容易，而且很轻松。 因此，请考虑高斯积分的平方：
I ^ 2 = \ int \ limit_0 ^ \ infty {e ^ {-x ^ 2} dx} \ int \ limit_0 ^ \ infty {e ^ {-y ^ 2} dy} = \ int \ limit_0 ^ \ infty { \ int \ limits_0 ^ \ infty {e ^ {-\ left（{x ^ 2 + y ^ 2} \ right）}}}} dxdyI ^ 2 = \ int \ limit_0 ^ \ infty {e ^ {-x ^ 2} dx} \ int \ limit_0 ^ \ infty {e ^ {-y ^ 2} dy} = \ int \ limit_0 ^ \ infty { \ int \ limits_0 ^ \ infty {e ^ {-\ left（{x ^ 2 + y ^ 2} \ right）}}}} dxdy我们看到我们得到了一些函数的双重积分
g\左（x，y\右）= exp\左[−左（x2+y2\右）\右] 。 该表面积分的最后是笛卡尔坐标系中的面积元素
dS=dxdy 。
现在让我们转到极坐标系：
beginarrayldS=dxdy=rd varphi cdotdr\向左。 \开始arraylx=r cos varphiy=r sin varphi endarray right| tox2 cos2 varphi+y2 sin2 varphi=r2 tox2+y2=r2 endarray
此处应注意，r可以从0到+∞变化，因为 x在相同范围内变化。 但是角度φ在0到π/ 2之间变化，描述了笛卡尔坐标系第一季度的积分区域。 替换源，我们得到：
\ begin {array} {l} I ^ 2 = \ int \ limits_0 ^ \ infty {\ int \ limits_0 ^ \ infty {e ^ {-\ left（{x ^ 2 + y ^ 2} \ right）}}} } dxdy = \ int \ limits_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ int \ limits_0 ^ \ infty {e ^ {-r ^ 2}}} rd \ varphi dr = \ int \ limits_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} {d \ varphi} \ int \ limits_0 ^ \ infty {e ^ {-r ^ 2} rdr} = \ int \ limits_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} { d \ varphi} \ int \ limits_0 ^ \ infty {e ^ {-r ^ 2} \ frac {1} {2} d \ left（{r ^ 2} \ right）} = \\ = \ frac {1} {2} \ int \ limits_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} {d \ varphi} \ left（{\ left。{-e ^ {-r ^ 2}} \ right | _0 ^ \ infty} \ right）= \ frac {1} {2} \ int \ limits_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} {d \ varphi} \ left（{-e ^ {-\ infty}-\ left（{ -e ^ 0} \ right）} \ right）= \ frac {1} {2} \ int \ limits_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} {d \ varphi} = \ frac {1} {2 } \左（{\左。\ varphi \右| _0 ^ {\ frac {\ pi} {2}}} \右）= \ frac {\ pi} {4} \\ I ^ 2 = \ frac {\ pi} {4} \到I = \ sqrt {\ frac {\ pi} {4}} = \ frac {{\ sqrt \ pi}} {2} \\ \ end {array}
由于积分的对称性和被积分值的正范围，我们可以得出以下结论：
int limits − inftyinftye−x2dx=2 int limits 0inftye−x2dx=2 cdot frac sqrt pi2= sqrt pi
让我们找到更多解决方案？ 这很有趣！ :)
考虑功能
g\左（t\右）=\左（1+t\右）e−t现在让我们回想起学校的数学，并使用导数和极限对函数进行简单的研究。 并不是说我们会在这里考虑复杂的极限（毕竟，它们在学校没有通过），我们只是讨论如果函数的自变量趋于零或无穷大时函数会发生什么，因此我们将估计渐近行为，这在数学中总是非常重要的。 这就像对所发生情况的定性评估。
\开始数组lg\左（t\右）=\左（1+t\右）e−tg′\左（t\右）=e−t−\左（1+t\右）e−t=−te−tg′\左（t\右）=0\到t=0\左[\开始数组lt<0\到−te−t>0\到g\左（t\右）− rm增加t>0\到−te−t<0\到g\左（t\右）− rm减少\结束array\右。g\左（0\右）=\左（1+0\右）e−0=1g\左（−1\右）=\左（1−1 right）e−\左（−1 right）=0g\左（ infty right）=\左（1+ infty right）e− infty=0 endarray
它的上限在区间（-∞; +∞）上为零，在区间[-1; +∞）上为零。
我们对变量进行以下更改
t= pmx2我们得到：
t = \ pm x ^ 2 \到\左\ {\开始{array} {l} 0 <\左（{1-x ^ 2} \ right）e ^ {x ^ 2} <1 \\ 0 < \左（{1 + x ^ 2} \右）e ^ {-x ^ 2} <1 \\ \结束{array} \右。 \至\左\ {\开始{array} {l} 0 <\左（{1-x ^ 2} \ right）<e ^ {-x ^ 2} \\ 0 <e ^ {-x ^ 2} <\ frac {1} {{1 + x ^ 2}} \\ \ end {array} \ right。
在第一个不等式中，我们限制变化（0,1），在第二个不等式中，我们限制间隔（0; +∞），将两个不等式都提高到n的幂，因为带正项的不等式可以提高到任何正数。 我们得到：
\ begin {array} {* {20} c} {\左\ {\ begin {array} {l} \左（{1-x ^ 2} \ right）^ n <e ^ {-nx ^ 2} \\ 0 <x <1 \\ \结束{array} \ right。}＆{\左\ {\开始{array} {l} e ^ {-nx ^ 2} <\ frac {1} {{\ left （{1 + x ^ 2} \ right）^ n}} \\ x> 1 \\ \ end {array} \ right。} \\ \ end {array}
让我们构造n = 1的图以证明不等式
现在，我们尝试将不等式整合到相应系统中指示的范围内。 并立即将所有内容合并为一个不等式：
int limits10\左（1−x2 right）ndx< int limits10e−nx2dx< int limit 0inftye−nx2dx< int limit 0infty frac1\左（1+x2 right）ndx
同样，如果您查看图表，则该不等式是正确的。
给定一个小的替换，很容易看到：
int limits 0inftye−nx2dx= left[ beginarraylp= sqrtnxp2=nx2 fracdp sqrtn=dx endarray right]= frac1 sqrtn int limits 0inftye−p2dp= frac1 sqrtn我
即 在中间的那个大不等式中，我们有Euler-Poisson积分，现在我们需要找到站在该不等式边界的积分。
从左边界找到积分： beginarrayl int limits10\左（1−x2 right）ndx=\左[ beginarray∗20c beginarraylx= sintdx= costdt1−x2=1− sin2t= cos2t endarray＆\开始arraylx=1\到t= arcsin1= frac pi2x=0\到t= arcsin0=0 endarray endarray right]== int limits frac pi20 cos2nt cdot costdt= int Limit frac pi20 cos2n+1tdt endarray
为了计算和评估它，我们首先找到一个一般积分。 现在，我将向您展示如何针对给定的积分导出简化公式（在数学中，通过这种公式，它们意味着降低度）。
beginarrayl int limits alpha beta cosntdt= int limits alpha beta cosn−1t costdt= int limits alpha beta cosn−1t cdotd left（ sint right）== left[\开始array∗20cu= cosn−1t＆du=−\左（n−1 right） cosn−2t sintdtdv=d\左（ sint right）＆v= sint endarray right]==\左。 cosn−1t sint\右| alpha beta+\左（n−1\右） int limits alpha beta cosn−2t sin2tdt==\左。 cosn−1t sint\右| alpha beta+\左（n−1\右） int limits alpha beta cosn−2t\左（1− cos2t\右）dt==\左。 cosn−1t sint\右| alpha beta+\左（n−1\右） int limits alpha beta cosn−2tdt−\左（n−1\右） int limits alpha beta cosntdt endarray
\开始arrayl int limits alpha beta cosntdt=\左。 cosn−1t sint\右| alpha beta+\左（n−1\右） int limits alpha beta cosn−2tdt−\左（n−1\右） int limits alpha beta cosntdt int limits alpha beta cosntdt+\左（n−1\右） int limits alpha beta cosntdt=\左。 cosn−1t sint\右| alpha beta+\左（n−1\右） int limits alpha beta cosn−2tdtn int limits alpha beta cosntdt=\左。 cosn−1t sint\右| alpha beta+\左（n−1\右） int limits alpha beta cosn−2tdt int limits alpha beta cosntdt= frac1n\左。 cosn−1t sint\右| alpha beta+ fracn−1n int limits alpha beta cosn−2tdt endarray
现在，如果使用归约公式，我们考虑相同的积分，但极限范围为0到π/ 2，则可以进行一些简化：
\开始arrayl int limits frac pi20 cosntdt= frac1n\左。 cosn−1t sint right| frac pi20+ fracn−1n int limits frac pi20 cosn−2tdt=\左[ frac1n\左。 cosn−1t sint right| frac pi20=0 right]== fracn−1n int limits frac pi20 cosn−2tdt= fracn−1n left（ frac1n−2\左 cosn−3t sint\右| frac pi20+ fracn−3n−2 int limits frac pi20 cosn−4tdt right）== fracn−1n\左（ fracn−3n−2 int limits frac pi20 cosn−4tdt right）= fracn−1n left（ fracn−3n−2 left（ fracn−5n−4 int limits frac pi20 cosn−6tdt right） right）== fracn−1n\左（ fracn−3n−2\左（ fracn−5n−4\左（ fracn−7n−6 int limits frac pi20 cosn−8tdt right） right） right）=... endarray
如我们所见，您可以将其降低到无穷大（取决于n）。 但是，有一个微妙之处。 公式根据n是否为偶数而变化。
为此，我们考虑两种情况。
\ begin {array} {l} n = 10：\\ \ int \ limits_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ cos ^ {10} tdt} = \ frac {{9 \ cdot 7 \ cdot 5 \ cdot 3}} {{10 \ cdot 8 \ cdot 6 \ cdot 4}} \ int \ limits_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ cos ^ 2 tdt} = \ frac {{9 \ cdot 7 \ cdot 5 \ cdot 3}} {{10 \ cdot 8 \ cdot 6 \ cdot 4}} \ int \ limits_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\左（{{frac {1 } {2} + \ frac {1} {2} \ cos 2t} \ right）dt} = \\ = \ frac {{9 \ cdot 7 \ cdot 5 \ cdot 3}} {{10 \ cdot 8 \ cdot 6 \ cdot 4}} \左。 {\左（{\ frac {1} {2} t + \ frac {1} {2} \ sin 2t} \ right）} \ right | _0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} = \ frac {{9 \ cdot 7 \ cdot 5 \ cdot 3}} {{10 \ cdot 8 \ cdot 6 \ cdot 4}} \ cdot \ frac {\ pi} {4} = \ frac {{9 \ cdot 7 \ cdot 5 \ cdot 3 \ cdot 1}} {{10 \ cdot 8 \ cdot 6 \ cdot 4 \ cdot 2}} \ cdot \ frac {\ pi} {2} = \\ = \ frac {{\左（{n -1} \对）!!}} {{n !!}} \ cdot \ frac {\ pi} {2} \\ \ end {array}
beginarrayln=9： int limits frac pi20 cos9tdt= frac8 cdot6 cdot4 cdot29 cdot7 cdot5 cdot3 int limits frac pi20 costdt= frac8 cdot6 cdot4 cdot29 cdot7 cdot5 cdot3左。\左（ sint right）\右| frac pi20== frac8 cdot6 cdot4 cdot29 cdot7 cdot5 cdot3 cdot1= frac\左（n−1\右）!!n!!\结束array
n在哪里！ -双阶乘。 n的双阶乘由n表示！ 并定义为间隔[1，n]中所有自然数的乘积，奇偶性与n
由于对于任何n值，2n +1是一个奇数，因此我们得到了不等式的左边界：
\ int \ limits_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ cos ^ {2n + 1} tdt} = \ frac {{\左（{2n} \右）!!}}} {{\左（{2n + 1} \对）!!}}
从右边界找到积分：（这里我们使用先前证明的相同的折减公式）
beginarrayl int limits 0infty frac1 left（1+x2 right）ndx= left[ beginarraylx= tant\至\开始array∗20cx=0\至t=0x= infty\至t= frac pi2 endarraydx= fracdt cos2t frac11+x2= frac11+ tan2t= cos2t endarray right]== int limit frac pi20 cos2n−2tdt=\左[\左（2n−2\右）− rmeven右]= frac\左（2n−3\右）!!\左（2n−2\右）!! cdot frac pi2 endarray
在估计了不等式的左侧和右侧之后，我们进行了一些转换以评估不等式的左侧和右侧的极限，条件是n趋于∞：
\开始{array} {l} \ frac {{\左（{2n} \右）!!}}} {{\左（{2n + 1} \右）!!}} <\ frac {1} { {\ sqrt n}} \ cdot I <\ frac {{\左（{2n-3} \右）!!}}} {{\左（{2n-2} \右）!!}}} \ cdot \ frac {\ pi} {2} \\ \ sqrt n \ cdot \ frac {{\左（{2n} \右）!!}}} {{\左（{2n + 1} \右）!!}} <I <\ sqrt n \ cdot \ frac {{\左（{2n-3} \右）!!}}} {{\左（{2n-2} \右）!!}}} \ cdot \ frac {\ pi} {2} \\ \结束{array}
平方不等式两边：
n cdot frac\左（\左（2n\右）!!\右）2\左（\左（2n+1\右）!! right）2<I2<n cdot frac\左（\左（2n−3\右）!!\右）2\左（\左（2n−2\右）!!\右）2 cdot frac pi24
现在让我们做一点题外话。 1655年，约翰·沃利斯（John Wallis）（英国数学家，数学分析的先驱之一。）提出了确定数π的公式。 J. Wallis来到她身边，计算了一个圆的面积。 该乘积收敛极慢；因此，Wallis公式对数π的实际计算几乎没有用。 但这对评估我们的表情非常有用:)
pi= mathop lim limitesn to infty frac1n left[ frac left（2n right）!!\左（2n−1\右）!!\右]2
现在，我们变换不等式，以便可以看到在哪里可以替代Wallis公式：
beginarrayl fracn2\左（2n+1 right）2 cdot frac1n cdot frac\左（\左（2n\右）!!\右）2\左（\左（2n−1\右）!!\右）2<I2< frac1 frac1n cdot frac left（ left（2n−2 right）!! right）2\左（\左（2n−3\右）!!\右）2 cdot frac pi24 mathop lim limitsn to infty\左[ fracn2\左（2n+1\右）2\右] cdot mathop lim limitsn\到 infty\左[ frac1n cdot frac\左（\左（2n\右）!!\右）2\左（\左（2n−1\右）!!\右）2\右]<I2< frac1 mathop lim limitsn to infty\左[ frac1n cdot frac\左（\左（2n−2\右）!!\右）2\左（\左（2n−3\右）!!\右）2\右] cdot frac pi24 frac14 cdot pi<I2< frac1 pi cdot frac pi24\到 frac pi4<I2< frac pi4I2= frac pi4 toI= frac sqrt pi2 endarray
从Wallis公式得出，当n→∞时，左右表达式都趋于π/ 4
由于函数exp [-x²]是偶数的事实，我们可以安全地假定
int limits − inftyinftye−x2dx=2 int limits 0inftye−x2dx=2 cdot frac sqrt pi2= sqrt pi
欧拉在1729年首次计算了一维高斯积分，然后泊松找到了一种简单的计算方法。 在这方面，它被称为欧拉-泊松积分。
让我们尝试计算高斯积分。 它可以用不同的形式编写。 毕竟，什么都没有改变进行集成的变量的名称。
beginarraylI= int limits 0inftye−x2dxI= int limits − inftyinftye−x2dx= int limits − inftyinftye−y2dy= int limits − inftyinftye−z2dz\结束array
您可以从三维笛卡尔坐标系转到球面坐标系，并考虑高斯积分的立方。
\ left \ {\ begin {array} {l} x = r \ sin \ theta \ cos \ varphi \\ y = r \ sin \ theta \ sin \ varphi \\ z = r \ cos \ theta \\ \ end {array} \对。 \到x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = r ^ 2
该变换的雅可比公式可计算如下：
\开始arraylJ= left| beginarray∗20c frac\部分x\部分r＆ frac\部分x\部分 theta＆ frac\部分x\部分 varphi frac\部分y\部分r＆ frac\部分y\部分 theta和 frac\部分y\部分 varphi frac\部分z\部分r＆ frac\部分z\部分 theta＆ frac\部分z\部分 varphi\结束array\对|=\左| beginarray∗20c sin theta cos varphi＆r cos theta cos varphi＆−r sin theta sin varphi sin theta sin varphi和r cos theta sin varphi＆r sin theta cos varphir cos theta＆−r sin theta＆0 endarray right|==r2 sin theta endarray
\ begin {array} {l} I ^ 3 = \ int \ limits_ {-\ infty} ^ \ infty {\ int \ limits_ {-\ infty} ^ \ infty {\ int \ limits {{\ infty} ^ \ infty {e ^ {-x ^ 2-y ^ 2-z ^ 2}} dxdydz}} = \ int \ limits_0 ^ {2 \ pi} {\ int \ limits_0 ^ \ pi {\ int \ limits_0 ^ \ infty { e ^ {-r ^ 2} Jdrd \ theta d} \ varphi =}} \\ = \ int \ limit_0 ^ {2 \ pi} {d \ varphi} \ int \ limits_0 ^ \ pi {\ sin \ theta d \ theta} \ int \ limit_0 ^ \ infty {e ^ {-r ^ 2} r ^ 2 dr} \\ \ end {array}
我们从内部开始依次计算积分。
beginarrayl int limits 0inftye−r2r2dr= left[ beginarraylu=r todu=drdv=re−r2dr\到v= intre−r2dr= frac12 inte−r2dr2=− frac12e−r2 endarray right]== left。\左（− frac12re−r2 right）\右| 0infty+ frac12 int limits 0inftye−r2dr= frac12 int limits 0inftye−r2dr= frac12 cdot fracI2= fracI4 int limit 0pi sin thetad theta=\左。\左（− cos theta\右）\右| 0pi=\左（− cos pi\右）−\左（− cos0\右）=1+1=2 int limits2 pi0d varphi=\左。 varphi right|2 pi0=2 pi endarray
然后结果是：
beginarraylI3=2 pi cdot2 cdot fracI4\至I3= piI\至I2= pi\至I= sqrt piI= int limits − inftyinftye−x2dx= sqrt pi endarray
欧拉-泊松积分通常用于概率论中。
我希望这篇文章对某人有用，并有助于理解一些数学技巧：）