▶️ 🐣 🔧 现代音乐的基本数字 🎐 🧒🏽 👩🏻‍✈️

为什么十二点？

如果您查看键盘，您将看到每个八度音阶包含12个半音。
在钢琴的情况下，这仅意味着在例如“至”第一个八度和“至”第二个八度之间，存在11个键。连同其中一个“ do”（例如，到第二个八度），我们得到12个键：do＃，re，re＃，mi，fa，fa＃，salt，salt＃，la，la＃，si，do。

但是为什么12？

也许这只是一个意外？我们的祖先喜欢数字12，他们到处都有12：12个月，12个十二生肖，以色列的12个支派，12个使徒...在这里，他们决定将它设为12，这样就得到了命令。还是还有一个客观规律，这个数字不是偶然的？

在本文中，我将尝试证明这并非偶然。足够的一般要求（对于现代（西方）音乐来说很自然）以及数学上的必要性，使我们得出了数字12。有趣的是，我们拥有此值的原因是另一个数字的属性（请参见本文结尾）。您甚至可以说这是现代声音的核心。

问题陈述

首先，让我们尝试使任务正式化。

我们有一个参考频率 $\ omega_0$ 。我们将其称为补品。我们还有一个八度的频率 $2 \ omega_0$ 。现在我们需要了解中频的哪些选择 $\ omega_0$ 之前 $2 \ omega_0$ ，这样基于这些音符的旋律听起来会和我们的耳朵和谐吗？

恐怕这种表述虽然反映了问题的实质，但从数学的角度来看仍然很模糊，即使仅由于人类听觉的频率分辨率有限，也无法明确地回答这样的问题。这可以通过以下事实得到证实：在不同的时间使用了不同的曲调，例如毕达哥拉斯（Pythagoras ）干净，调和，均匀调和的曲调。而且至少在某些作品上，它们听起来和声音都是可以接受的。

什么是和谐？

我们必须施加一些附加条件。但是首先，我们必须回答一个重要的问题：我们认为和谐的声音是什么？

让我们看看两种声音-具有频率 $\ omega_1$ 和 $\ omega_2$ 。

取这些频率的比率。这种关系可以表示为数字的乘积 $a_1 ^ {k_1} \ cdot a_2 ^ {k_2} \ cdot ... \ cdot a_l ^ {k_l}$ 在哪里 $inline$ 是素数，并且 $inline$ -例如，整数，该比率可能等于 $2 ^ {-3} \ cdot3 \ cdot5$ 。而且比这些素数（ $inline$ ）越少，这个间隔听起来就越和谐（我在这里找到了这个说法（请参阅第二段））

因此，例如，根据此陈述，最和谐的声音将是一个八度（频率变化2倍）。下一个谐波间隔将是第五个 $inline$ 次）和一夸脱（频率变化 $inline$ 次）。

但是，使用此语句并不是那么简单。因此，例如，尚不清楚程度如何影响。例如，更和谐的乘法是 $inline$ 还是7？我不知道这个问题是否已经研究过，原则上有可能给出答案。同样，对和谐的感知是相当主观的。因此，现代音乐充满了100-200年以来一直被视为可怕的刺耳声音的声音。

第一个条件。补药，夸脱，五重奏，八度

对于我们的少量研究来说，这种不确定性不是问题。事实是，我想从这个陈述中得出的唯一结论是，在我们的情况下，无论如何，至少应该有一个“最和谐”的间隔，即一个八度，一个夸脱和一个五分之一。也就是说，随着频率的滋补 $\ omega_0$ 和八度的频率 $2 \ omega_0$ 我们还必须分别有五分之一和四分之一的频率 ${3 \超过2} \ omega_0$ ， ${4 \超过3} \ omega_0$ 或非常接近的东西，我们无法将其与纯粹的第五和第四区别开来。

注意：实际上，仅补品，五分音和八度就足够了。 五分之一的存在立即使我们增加了一个夸脱，作为八度的补充，并且由于下面要描述的第二种条件（不变性），我们也必须有一个夸脱和补品。 即，需要夸脱是由于存在五分之一和不变性的结果。

这是我们的第一个要求。

第二个条件。不变性

我们的第二个要求是不变性。这是现代音乐的重要要求。该要求包括以下事实：任何琴键中的所有和声听起来都应该相同。如果我们正在谈论用于调音钢琴的现代系统，那么这意味着由七个半音组成的第五个应该听起来相同，而不管它是从什么声音产生的。也就是说，do和salt之间的频率比应与do＃-salt＃，re-la，re＃-la＃，...相同，并且等于 $inline$ 。当然，这种不变性不仅适用于第五个，而且适用于任何间隔。该系统的一个重要优点是可以在任何时间间隔进行转播。这是制服气质的本质。

我必须说，对不变性的要求不是很明显，并且这种方法是相对较新的方法，仅在18世纪才应用。以前使用的系统（例如毕达哥拉斯和纯净）不具有这种属性。例如，聆听以干净系统编写的“ 微调钢琴奏鸣曲”（本·约翰斯顿）（原音极限= 5）。感觉钢琴没有调音。现代和谐的全部财富正是基于这种不变性。例如，正是由于采用了一种新的键盘调音方法，巴赫（Bach）的“脾气暴躁的键盘”才出现了。正是这种不变性使巴赫能够创建以前根本不可能的谐波序列。

因此，现在我们有了计算所需的所有数据。

计算方式

让我们建立一个从补品到八度音阶的音阶，以满足两个需求。
假设在这种情况下，我们得到 $inline$ 声音（包括八度）。是 $inline$ 是所需的数字。我们想证明 $inline$ 在我们的条件下应该是12。

第二个要求的结果是，相邻声音的频率之间的间隔应相同且相等 $2 ^ {1 \ N以上}$ 。

现在第一个要求说在我们的行中应该有两个声音对应于（近似近似）频率 ${3 \超过2} \ omega_0$ 和 ${4 \ over3} \ omega_0$ 。这是第五和第四。假设夸脱是 $inline$ 声音在我们的行中，第五个- $inline$ 哦我们表示 $inline$ 。

不难看出第四和第五之间的频率变化（频率比）为 $inline$ 。

但是，根据我们的第二个条件，这也应该相等 $2 ^ {n \ N以上}$ 。

所以我们得到了公式：

$2 ^ {n \ N，n} \约9/8$

经过简单的转换，我们得到了基本公式：

$n \大约N（2 \ log_2 {3}-3）= N \ cdot 0.170$

很容易看出解决方案（当然是近似值）是 $inline$ 在哪里 $inline$ -自然可以是任何数字（足够小，因为0.170与1/6不同）。

让我们看一个案例 $inline$ 。在这种情况下 $inline$ ， $inline$ 。也就是说，这是现代系统的一种变体，仅没有半音，只有有音（do，re，mi，fa＃，salt＃，la＃，do）。但是，正如您所看到的，在这种情况下，夸脱（f）和夸脱（盐）并不属于此比例。

也就是说，我们唯一的选择可能是

$inline$ 在哪里 $inline$ -任何自然数（ $inline$ 足够小）。案例 $inline$ 恰好对应于我们的现代系统，即均匀气质系统。

但是为什么不超过24个呢？原因很简单-我可以假设这样的毕业对我们来说已经太过分了。因此，仅剩一个数字：12。

如果您对给定的思路不满意，则可以在这里找到

严格的数学证明

挑战：

找出存在正整数的最小正整数N $inline$ 这样 $2 ^ {n \ N以上}$ 与...不同 $3 \ over2$ 不超过 $\ delta$ 美分。

解决方案：

表示为 $Z_n = N \ cdot（log_2 {3} -1）$ 。然后，用 $\增量<{1200 \ over N}$ （对于那些 $\ delta$ 和 $inline$ 我们将考虑）我们的任务是找到最小的 $inline$ 在哪

${1200 \ over N} \ cdot | Z_n-圆（Z_n）| <\ delta$ ，

在哪里 $inline$ -函数舍入到最接近的整数。

我们将用数字方式解决这个问题。

现在该决定了 $\ delta$ 。

我们认为纯五分之一与“我们的五分之一”之间的差异有多少（以美分计）可以接受？例如，许多人听到，平均温度系统中的大/小三分之一“伪造”。但这相对于纯间隔时间仅约为15美分。因此，我们的要求应高于15美分。一些消息来源说，在某些频率下，音乐家最多可分辨5-6美分。因此明智地采取 $\ delta = 5$ 。

然后表格清楚地表明最小的 $inline$ 。以下令人满意 $inline$ 。

注意事项：
下一个迭代，每个 $inline$ 您还需要检查声音和其他间隔。 如果是 $inline$ 例如，三分之一变成完全“假”：超过30美分（对于很大的三分之一）。

所以我们的答案是： $inline$ 。需要证明。

顺便说一句，很明显，如果我们改为 $\ delta = 5$ 例如，取10甚至15。

结论底层编号

令人惊讶的是，事实证明，现代音乐系统和当代（欧洲）音乐的基础数量是 $\ log_2 {3}$ ，即具有良好准确性（0.1％）的以下相等成立：

$\ log_2 {3} \约19/12$

对评论的评论和评论中的批评

首先，感谢您的有趣评论！
这是我对最重要的（我认为）评论和批评的答案。

批评1.鸡蛋或鸡肉

德鲁（Druu）：瞧，八度音阶中的12个声音通常取决于一个均匀的气质，因此您无法借助气质来证明12个声音的正当性，这简直是错误的。

莱尔：这正是我在说的环形逻辑：如果您选择在特定系统上构建的音乐，则很明显，就其而言，不同的系统是不可能的。

对于这些和类似的说法，我要引述两个相反的论点：

1）如果足够准确，则等于 $log_2 {3} = 19/12$ ，那么就不可能将均匀的气质系统“拉”到由12个声音组成的纯系统中。强者 $log_2 {3}$ 与...不同 $inline$ ，我们的第五个听起来会更假。如果这个数字（有很大不同），那么纯音域就不会有统一的气质方法，因此，就不会有现代音乐，或者说会有所不同。因此，结论是数字的性质是很合逻辑的 $log_2 {3}$ 是现代音乐的基础。

2）第二个反对论点不可能从逻辑上证明是合理的，而只是一个假设，但在我看来，所有这些推理都值得关注。让我们尝试回答这个问题：为什么完全需要均匀回火的系统？评论已经部分回答。当时的音乐（创建统一气质的系统时）已经使用了调制和复音，实际上，实际上，基本上已经需要统一的气质。音乐家在表演期间略微“调整”声音这一事实解决了“假”声音的问题。对于弦乐（至少无品味），风和人声（很容易做到，如果我错了，我是根据您的评论得出的结论）的，这很容易做到。例如，对于小提琴-这只是手指位置的微小变化。但是，一旦您被剥夺了这样的机会（大键琴），一切立即听起来就很糟糕。因此，看起来这12个音符不仅像这样出现，而且是音乐向自由调制和丰富复音的可能性的自然发展，而这反过来又是不变性的结果。这是音乐的自然发展。也就是说，我想说的是，如果数学上的不变性不可能只针对12种声音，而是例如对于10种声音，那么我们（甚至在均匀律之前）在我们的音阶中将有10种声音（在这种情况下，我所说的是欧洲音乐的发展）。然后，将10种均匀性的声音引入到我们的纯系统中。

批判2.十二个的独特性

关于12是唯一合理的数字的说法遭到了很多批评。

首先，在理解了该声明的激进性和严格辩解的不可能的原则之后，我可能降低了本文中某些指控的明确程度。但是...

在这种情况下，我们有2条批评意见。

1）为什么我认为19、24或29（等等）不可接受？

不，我不这么认为。对于不同的乐器，存在使用音阶之外的声音的技术，例如，滑音和颤音。这些技术为声音增添了美丽和自然。因此，即使有12个音符，我们仍会使用辅助声音。如果我们谈论周围环境，不寻常的声音，丰富声音...那么这是很合理的，但是如果我们谈论的是基本音调，那么我会怀疑。音乐不仅是为精英人士创造的，而且是为普通百姓创造的，对于他们来说，这种毕业（IMHO）是不必要的。

尽管我们有一个很好的例子-西塔琴，但第二个论点（在评论中已经给出）的确是在长期使用的情况下创建工具的复杂性和性能。但是，如果您的音阶为24，则尝试用一只手在钢琴上八度音阶。

2）但是五音呢？

在我所居住的所有东部国家中，由于某种原因，我很少听到五声级的民族音乐。我听过（而且我爱一些人）的所有东方音乐家也演奏了相当欧洲的音乐。这是一个有趣的名言：“自19世纪以来，学术作曲家就一直在使用五碳作为特殊涂料，使音乐具有古朴的味道。” 古老的香气...
但是，按照我的理解，这种音乐不是现代音乐，但我不想捍卫这一立场，因此在本文的某些地方，我使用了“现代欧洲音乐”一词。显然，这种音乐（建立在五音阶上）是根据其他法律发展的，并没有达到欧洲音乐中出现的对丰富的复音和频繁且容易调制的需求。因此，本文显然不是关于五声子的。

批评3.当代音乐

我怎么称呼现代音乐？

尽管这听起来像是重言式，但对于现代音乐，我的意思是音乐需要不变性，在具有固定系统的乐器（例如大键琴，钢琴）的情况下，这就导致需要统一的温度系统（或类似的系统）。在使用其他乐器（例如无品指弦）的情况下，一切看起来都有些复杂，因为实际上可以使用更大（超过12种）的声音集。但是，当我们谈到不变性的要求时，我们的意思是这些声音应该（在频率上）非常接近我们的12。

这个定义几乎包括所有钢琴音乐，欧洲古典音乐，爵士音乐，摇滚音乐，流行音乐以及它们的所有派生词。我肯定会有例外，但是恕我直言，这些都是例外。我看不出有任何理由对此争论，因为每个人都可以在这个概念上投资。

批评4.计算

计算错误。

我认为这个问题已删除。但是，我必须承认，在讨论中，我对次要问题做出了几项错误的陈述，这些陈述并未影响本文的主要结论。

PS请勿将本文（并提出相应要求）视为学术著作。 :)这不是一篇关于音乐理论的文章。而且，这不是关于音乐历史的文章。在这些领域中，尽管我尽力避免出现这种情况，但我绝不认为我的知识至少具有某种意义，并承认可能存在不准确之处。在这里，提出了一个简单的数学问题（具有学校的复杂程度），在我看来，该问题的解答具有有趣的解释。与我分享。

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