在日常使用和数学的所有分支中，素数的重要性都不能高估 。 我们从容地依靠它们的特殊属性，将它们用作我们社会无数要素的基础，因为它们是自然结构不可分割的一部分。 抵抗任何因式分解的素数通常被称为数学世界的“原子”。 卡尔·萨根这样对他们说：

质数作为所有数字的基本组成部分的地位非常重要，它们本身就是我们对宇宙的理解的组成部分。

在自然界和我们的生活中，素数无处不在：蝉建立生命周期，制表师使用它们计算滴答声，在飞机发动机的帮助下，空气脉冲的频率保持平衡。 但是，所有这些应用领域在每个密码学家都熟悉的事实的背景下逐渐消失：质数是现代计算机安全性的核心，也就是说，它们直接负责保护一切 。 看到浏览器地址栏中的锁了吗？ 是的，这意味着基于素数使用了两键“握手”。 购物时如何保护您的信用卡？ 还使用基于素数的密码学。

但是，尽管我们一直依赖于它们的独特属性，但质数仍然使我们难以捉摸。 在整个数学史上，最伟大的思想家都试图证明一个定理，即预测素数或它们彼此相距多远。 实际上，一些未解决的问题，例如孪生数 问题 ， Goldbach问题 ， 回文质数和Riemann假设 ，与这种趋于无穷大的素数的一般不可预测性和不确定性有关。 当然，从Euclid时代起，我们发现了可以预测一些数字位置的算法，但是尚未证明一般定理，并且先前的尝试还没有用于检查大数字的工具。 但是，二十一世纪的技术使研究人员可以测试大量假设，但仅此一项技术就引起争议，因为粗筛不被认为是可靠的证据。 换句话说，素数拒绝服从任何通用公式或方程式，并且它们在自然界中的排列似乎是随机的。

然而，一个随意涂鸦的人设法证明他们至少不是完全随机的。

从花样到小费-乌兰桌布

最大的证据之一是素数的排列不是纯粹的巧合，它以最不可能的方式出现：从一个无聊的学生那里经过漫长而随意的涂鸦。


桌布乌兰

随着故事的发展，波兰数学家斯坦尼斯拉夫·乌兰（Stanislav Ulam）在1963年的一次研讨会上发现了这种图形模式。 他画了一条线，决定以正方形-螺旋形的方式对相交进行编号，并开始以简单的螺旋形圈出数字。 令他惊讶的是，圆圈状的素数落在对角直线上，或者，如乌兰（Ulam）更严厉地指出，“表现出强烈的非随机行为”。 乌兰（Ulam）的桌布（或素数螺旋）是一组以正方形螺旋线标记的素数的图形显示。 桌布最初是由 马丁·加德纳 （ Martin Gardner）在《 科学美国人 》上发表的，并在“数学游戏”标题中广为人知。


尺寸377x377的Ulam桌布（最多约142 000）

上面显示的可视化显然显示出值得注意的模式，尤其是沿对角线。 但是也许我们在自欺欺人？ 人们通常认为，乌兰布的桌布只是我们大脑试图随机查找图案的一种技巧。 幸运的是，我们可以使用两种不同的技术来确保事实并非如此。 视觉比较和逻辑分析都明确地告诉我们，这种模式并非偶然。 首先，我们将由NxN大小的矩阵定义的Ulam桌布与包含随机定义点的相同大小的矩阵进行比较。 其次，我们可以利用我们对多项式的了解来理解为什么当期望以图形方式显示质数时应该期望出现某种模式。

如上所述，最有可能，最直观的确认图案是否不规则的方法，是直接与Ulam桌布进行比较。 为此，请创建一个Ulam桌布和一个正方形螺旋形，并随机放置相同大小的位置。 表示数值螺旋的两个不同的200x200矩阵如下所示：


视觉上的比较使Ulam的桌布具有惊人的图案，尤其是沿对角轴的图案，这非常明显。 此外，其中几乎没有点簇。 另一方面，点的随机排列不会立即产生任何明显的模式，并导致点在不同方向上的积累。 无疑，这种技术缺乏传统证据的严格性。 但是，素数螺旋的可视化中有一些无可挑剔的东西：这是一项随机发现的技术，可让您创建激发逻辑并美观的图形。

如果我们以更合逻辑和传统的方式处理素数的本质，那么在这种可视化中期望模式的出现是相当合理的 。 如上所述，在对角线，水平和垂直方向上的线似乎包含提示。 这些不是质数的线可以用排除质数出现可能性的普通平方多项式来解释-例如，对应于方程y =x²的对角线之一显然不包含质数。 另一方面，已知一些平方多项式称为素数公式 （我们将在下面讨论它们）会产生高密度的素数，例如，欧拉素数多项式：x²-x-41; 这是另一条以螺旋状形式反射的线（尽管很难在上图中找到间隙）。

视觉比较指示模式，逻辑分析确认预期模式的存在。 当然，我们距离寻找所有素数的通用公式还差得很远，但是Ulam的桌布无疑是美丽的，既是我们知识的象征，又是自然艺术的杰作。

萨克斯螺旋

与许多数学领域一样，最初的思想出现后，跟随数学家的军队也开始为新主题做出贡献。 乌拉姆的桌布启发了几代寻求发展他惊人发现的数学家，这是合乎逻辑的。 1994年，软件工程师罗伯特·萨克斯（Robert Sachs）决定使用他的编程技能以各种方式可视化素数。

几乎就像在Ulam的桌布一样，Sachs决定使用另一个螺旋平面来构造他的方案。 类似于上面显示的方形螺旋，螺旋平面拒绝给传统的笛卡尔数系统加点，因为它们是单极定位系统。 仅需知道数字，您就可以找到它在螺旋中的位置，相对于螺旋中所有其他数字的位置以及从数字到数字的上一个和下一个平方的距离。 但是，Sax尝试使用叠加在具有以下极坐标的阿基米德螺旋上的整数而不是方形螺旋来查找模式：


阿基米德/萨克斯螺旋的极坐标

使用此技术，阿基米德螺线以零为中心，所有自然数的平方（1、4、9、16、25）位于螺线和极轴的交点处（位于原点以东）。


阿基米德/萨克斯螺旋结构

准备好该图后，我们将沿螺旋线（逆时针）填充正方形之间的点，并以相等的距离应用它们。 最后，如在Ulam的桌布示例中，我们将挑选出最终螺旋中包含的素数。

萨克斯（Sachs）数值螺旋在2003年首次在线发布，无论从视觉上还是智力上都具有吸引力。 此外，正如我们将很快看到的，它与众所周知的Ulam桌布相比，使我们对基本样式有了更深入的了解，因为它结合了Ulam伪螺旋线的虚线：


具有明显质数的阿基米德螺旋线，也是萨克斯螺旋线。

结果图表再次显示出明显的模式。 几乎立即可以看出，有一条干净的白线从中心延伸，并向东水平延伸。 转到我们的方案，我们可以确保这只是一条包含所有整数平方的线（r = n ^（。5））。 第二个观察结果：与Ulam桌布的直线相比，标记图案更像曲线 。 事实证明，这些曲线（也称为乘积曲线 ）使我们回到多项式，解释了先前螺旋中出现的模式。 但是在转向它们之前，为了统一起见，我们再次将萨克斯螺旋与随机值螺旋进行比较：

多项式和乘积曲线

罗伯特·萨克斯（Robert Sachs）在此发现之后的工作完全集中在这些弯曲的碎片上，这些弯曲的碎片开始于或接近螺旋的中心，并与螺旋的转弯以不同的角度相交。 这些曲线几乎是笔直的，但更典型的是它们绕原点执行部分，全部或多个顺时针旋转（相对于螺旋线自身的运动）， 然后从东西轴偏移一定的距离。 萨克斯数字螺旋最显着的方面之一是这种弯曲的作品在西半球（与数字平方相反的一侧）的优势。

萨克斯将产品曲线描述为代表“它们之间具有恒定差异的因子的产品”。 换句话说，考虑到萨克斯螺旋中自然数平方的普遍性，每条曲线都可以用二次方程式表示（二次度的多项式），这也不是简单的巧合。 也许这些乘积曲线可以得出结论，即萨克斯螺旋在理解素数的过程中比乌兰的桌布有用得多。 尽管Ulam的桌布向我们展示了方程的模式和可能的存在，但是Sachs螺旋为寻找素数公式提供了支持点-它们的曲率和完整性是恒定的，这意味着它们将更易于检测。 例如，下面显示的Sachs螺旋包含以标准形式书写的标记线及其相应的素数公式。 正如我所承诺的那样，著名的产生素数的欧拉公式再次遇到了我们（最后输入：n²+ n +41）：


由于这种数字螺旋效应，Sax能够就什么是质数做出惊人的陈述：正整数仅位于产品的一条曲线上。 由于螺旋可以无限旋转，因此曲线本身也可以认为是无限的。 从理论上讲，这些乘积曲线可能会预测足够大的数字的位置-至少值得仔细研究这些数字。

总体而言，萨克斯螺旋式无疑提出了更便捷的素数公式，促使我们对素数有了更深的了解。

这一切的意义

因此，我们分析了乌兰的桌布和萨克斯螺旋。 通过这些示例，我们对素数性质的理解得到了扩展。 特别是，萨克斯（Sachs）螺旋向我们介绍了乘积曲线，乘积曲线本质上是一组二次方程，称为素数公式。 乌拉玛（Ulama）和萨克斯（Sax）的两个图表都出乎意料且美观，它们激发了我们的好奇心，并阐明了全世界最艰巨的任务之一。

从这一切中学到什么教训？

即使您出于纯粹的好奇心和无聊而做，您也绝不会拒绝审查看似无法解决的问题。 每个人都能发现，而且往往是由于完全不寻常的过程而产生的。 借助可视化， 斯坦尼斯拉夫·乌兰 （ Stanislav Ulam）通过可视化改变了他对著名任务的观点，使我们更进一步了解质数：谁知道我们还会遇到其他意外发现？