外国人数学简短指南

有什么事

怎样才能在不考虑代数的情况下构成大学第四期十门课程的必修材料呢？

为了勇敢的疯狂，我们唱了一首歌！

本《指南》的目标读者是那些对数学突然感兴趣或感到需要提高其专业水平的人，但由于某些原因，他们无法将自己的一生奉献给学术教育。 如果您需要理解，但是却非常缺乏基本知识，并且您觉得自己像是一个数学国家的外国人，他们会说一种无法理解的语言，请尝试以这种方式来旅游。 整条路线都是观光游，设计为期数天，最多两周。 相比之下：一门完整的学术课程大约需要五年。 提议的路由的最终目标是熟悉一个高度专业的部分的原理-椭圆密码学。 但是，如果本节不在您的兴趣范围内，或者您面临严重的困难或危险，则不必结束。 但是，自从您阅读了《指南》以来，仍然至少请尝试至少到达“公式语言”部分的末尾。

像字典一样，本指南也可用于反向翻译。 对于被迫与非数学家联系并密切合作，不断克服误解的数学家来说，这可能会很有用。 这种情况似乎很难，以至于题词中的马克西姆·高尔基的话对双方都是一个普遍的答案。 无论如何，我希望得到反馈，并尝试补充我们对他们为什么不了解我们以及如何解决这一问题的了解。

现在，知道这里没有皇家道路，我们将尝试至少铺设一条旅游小径。

公式语言

有人告诉我，书中包含的每个公式都会使客户数量减半。 然后，我决定完全不使用公式。 没错，最后我仍然写了一个方程式-著名的爱因斯坦方程式E = mc ^ 2。 我希望它不会吓到我一半的潜在读者。
史蒂芬·霍金-时间简史

如果霍金出版社是正确的，那么仅添加33个公式就足以使潜在读者的数量接近零。 我们会尝试吗？

首先，必须对符号有足够的了解。 请记住，数学是一门语言。

在第一近似中，可以区分对数学文本的理解的多层。 第一层是词素的选择，即所谓的词法分析。 第二个是表达式的构造和其他语义构造。 程序员称其为解析（parsing）一词，也就是说，一般的数学家通常根本不调用它，因为他们是在潜意识中使用这种机制。 接下来是负责理解主题领域，物理意义以及所有这些内容的层次。

一些数学家将程序员视为非数学家。 这是不公平的。 首先，程序员必须面对一台不能原谅程序文本中遗漏之处的机器。 与典型的科学文章相比，在科学文章中经常使用“明显”，“易于显示”，“不费吹灰之力”等表达，但实际上过渡并不十分明显。 因此，由于编程，整个数学分支诞生了，专门用于形式语言及其分析。 其次，在严酷的条件下，编程语言本身和相关工具已经发展。 了解现代语言如何优雅地解决将变量与对象匹配的问题。 顺便说一句，一个严重的问题是当它们太多时，并且它们来自不同的来源时，不要在概念上混淆。 而且，如果您花一点时间快速浏览诸如Coq，Agda和Idris之类的特定语言，您将看到数学与编程本身之间的最紧密联系。

词法分析

我曾经知道字母是怎么写的，我相信单词的力量。
火葬场-最后机会

首先，请一位朋友程序员问一个词法分析器和解析器是什么。 您无需深入研究，只需通过示例了解什么是令牌。 如果听到“ el-er-parser”或“语法树”之类的奇怪单词，请安静地离开房间。 很可能，您已经有足够的资源，不再需要程序员。 消化你的知识。 然后，您需要学习如何在真实的数学文本中区分标记。 练习随机下载的文章。 避免使用pdf以外的其他格式的文档，以及避免立即在网页上显示的文本。 但是，确实有一些站点可以正确显示数学文本（白名单中包括Wikipedia和Habr）。 纸质书通常也很合适。 不要尝试从找到的文本中提取含义，只需训练以解析公式即可。

字母

• 通常使用两个字母的字母-拉丁字母和希腊字母，但有时会找到西里尔字母和希伯来字母。 碰巧不同字母的字母在样式上重合。 在字母上，这不会引起问题，因为在同一文本中不会使用具有相同类型的两个不同字母。 但是，例如，当您指“ beta”时，您大声地将B读为“ be”时，您可能会遇到数学家的嘲笑。 为此要做好心理准备，您必须忍受。
• 大写和小写字母代表不同的对象。 （对于某些人来说，这似乎太明显了，但是我认为有必要明确地宣布它。一旦我需要向专利部门的同事介绍我的工作要旨。当我几乎达到了轶事的特征“爸爸，大海在哪里？”时，我突然意识到女孩们认为我的名字m和M指的是同一个对象。消除了误解后，由于他们的专业精神，整个过程迅速而果断地取得了圆满成功。）
• 同一封信，用不同的字体书写，表示不同的对象。

通常（在代数中），一个字母是一个独立的标记。 如果连续写几个字母，则意味着乘法。 例如，abc表示a，b和c的乘积。 但是，也有例外。 首先，这是许多标准函数和其他符号的名称，它是一个多字母标记： $$$\ sin，\ cos，\ min，\ max，\ sup，\ lim$等 与其他用斜体字写出的字母标记不同，它们通常以笔直（罗马）样式描绘。 此外，在计算机科学和其他一些领域，它们与该规则不符，在该规则中，字母序列表示单个单词令牌。 如果在特定情况下甚至有一点疑问，请咨询专家。

支架

在解析方面，最重要的作用是括号。 您可能已经知道或猜测括号已用于对标记进行分组。 但是也有例外。 如果公式对您来说似乎很奇怪并且包含多余的括号对，或者什至括号的平衡已损坏，则很可能您遇到了一个示例，并使用了括号。 去找专家澄清。

指标

注意上下索引。 这就是排版看起来像上标和下标。 上标更简单：通常，它代表幂。 与底部有点难。 可以通过两种方式理解它：

• 就像一个映射操作。 举个例子 $$$x_i$是这样的功能 $$$x$这作为一个论点 $$$我$。 如果现在还不清楚，没关系，可以暂时跳过此地点。
• 当方便的字母已经结束时，作为形成新令牌的一种方法。 通常可以假设 $$$a_1，a_2，a_i$-这些只是三个不同的对象。

在某些时候，您似乎认为这两点本质上是同一件事。 不用担心，这是正常现象，您已经接近启蒙了。 与专家安排会议。

其他字符

数学家是审美家。 他们不仅喜欢满足感，而且喜欢美丽的形式。 使用良好且适当的字体键入公式时，他们会感到满意。 纳特做了一个美味的姜饼，叫做 $$$\ TeX$。 参加有关打字和排版公式的教程，并在那里找到符号表。 现在，对于您来说，如何将这些符号进行分类非常重要：字母，运算符，关系符号，箭头...在不了解符号的数学含义的情况下，请尝试了解每个符号在语法上的用法。 例如，有一类二进制运算，其与操作符号等距的左右应为某种子表达式。

人物

非数学家相信数学家相信。 实际上，很少考虑数学家，并且数字主要用于对对象进行编号。 因此，显然，“数字”部分是匆忙添加的，并且不合逻辑地跟随“其他符号”部分。 您自己可以告诉专家数字令牌的形成方式及其含义。

表示法约定

令a，b，c，d，e，f为实数，其中e不一定等于自然对数的底，尽管它可能与自然对数重合。

在数学中，存在关于在何种情况下使用哪些字符的约定。 但是，这些协议在不同的部分可能会有所不同。 它就像一种语言的方言。 所有数学中都有标准化的符号。 查看主题领域接受的约定。 此外，一些学者疏忽大意，有时违反公认的协议。 不幸的是，在大多数情况下，关于此主题没有一套规则，您有时可以与您的专家讨论。

尽管数学通常是超国家级的，但文化上还是有差异的。 如果您偏离指南建议的路线太远，可能会遇到它们。 例如，区分切线，共切，双曲函数的英文和俄文名称。 同样，根据文化传统，相同字母的发音可能有所不同。 为了省力，请学习所有字母的英文名称，包括希腊文。 如果您没有逃学，那么至少拉丁字母不会有问题。 如果您用俄语使用它们，您的对话者可能会皱眉，但这次他们将不得不忍受。 如果想让他们开心，请学习俄语俄语文化中公认的拉丁字母和希腊字母的名称。

解析中

表达方式

您很可能不是在植物学上而是在数学上听过“树”这个词。 这是一件相当简单的事情，如有必要，可以刷新您的知识。 因此，数学表达式具有树结构。 这意味着表达式由子表达式组成，子表达式又由子表达式组成。但是这个过程不是无止境的，而是以某些由标记组成的子表达式结束。

一些标记本身就是基本表达式。 例如，数字（更确切地说是数字文字）和变量。 有些要求在某些位置将参数添加到它们，即某种子表达式。 然后它们形成一个较大的表达式。 例如，加法运算的符号要求在运算符的左右两侧都有表达式。 我们可以说，词素具有某种联系，或者，如果您更喜欢化学，则化合价是需要向子表达式的词素中添加多少个以及在什么地方形成一个表达式。 对于操作+ arity可以描述如下： $$$\ cdot + \ cdot$

此项恰好意味着+令牌在其左侧和右侧需要参数。 不同的令牌需要不同数量的自变量，此外，自变量的位置不限于“右”和“左”，而可以是例如“顶部”，“底部”，“右底部”。 自古以来也存在复合令牌，但是随着编程语言的发展， mixfix有了一个特殊的名称。 例如，向量的标量积表示如下： $$$\ langle \ cdot，\ cdot \ rangle$。

有时，令牌会冲突，因为它们无法确定它们之间编写的论点属于谁。 然后，您必须添加括号。

变数

有些标记的含义是从上方赋予的-在文本中较高的位置，或在其他文本中的链接。 或者隐含含义是给定学科或所有数学中普遍接受的含义。 例如，加号表示加法运算。 加-他在非洲加。 但是，也许在靠近路线终点的某个地方，您会遇到带有一些不寻常含义的加号。 仍然有标记（通常是字母）没有任何明确指示，它们称为变量，其中有几种类型。

• 参数。 这是一个变量，可以说它由某物表示，但没有确切说明。 如果您觉得这很奇怪，您可以暂时跳过它，当您满足参数要求时，您将立即通过示例了解所有内容。
• 自由变量。 如果在表达式中找到什么也没说的变量，则将这种变量称为free。 严格来说，绝对不能说什么。 您有权要求公式的创建者从中获取自由变量。 随便问一下，这很有用：即使解释变得令人难以理解，它们也会使您更加认真。
• 绑定变量。 如果您不喜欢自由变量的自由程序，则有几种方法可以限制它们的自由度。 您可以在表达式中添加一些内容，从而获得一个新的表达式，其中先前的自由变量被锁定。 与旧表达式不同，新表达式将不再依赖于此变量。 如果您对“东西”是什么感到好奇，请查看量词或某个整数。 尝试仅查看语法，而不要研究其含义，但是，您会上瘾的。

语境

碰巧看到公式，就不可能将自由变量与参数区分开。 这意味着需要从上下文中获取其他信息，这些信息通常由其他公式或人类语言的文本来表示。 根据上下文，该公式可能具有不同的含义。 如果您需要了解公式，请始终研究上下文并寻求理解。

但是，公式可以不依赖上下文而存在，只是作为可以对其进行转换的句法对象。 数学家通常可以首先进行概括-“忘记”上下文，然后进行计算，然后“记住”上下文并重新理解所获得公式的含义。

等于符号

等号非常重要。 它以不同的方式使用，您需要能够区分它们。

• 按值评估变量。 这是变量位于左侧而表达式位于右侧时。 在某些学科中，在这种情况下，他们用=甚至:: =代替=。
• 身份。 左右两边是一些表达，写这篇文章的人声称这两个表达是相等的。 在此也使用该符号。 $$$\等价$。 您是否考虑过“相等”是什么意思？ 值得讨论，但可能会使您走得远。
• 方程式。 这是从根本上描述新实体的方法。 数学家是这样做的：他们采用几个自由变量，在它们上面建立表达式，然后将它们驱动为一个方程式或什至进入一个由多个方程式组成的系统，从而使它们更加接近。 然后，他们观察这些不幸的变量是如何在约束中涌动的，从而形成了怪异的集合。 然后他们非常感兴趣地研究了这些场景。 （顺便说一句，您的路线穿过了集合论的领域，您必须更好地了解它们。）要描述获得的集合，就是要求解方程。 通常在学校给孩子们提供方程式，这些方程式产生一个非常简单的元素集，有时甚至是两个元素也可能没有。 但是在这件事上的成年科学家是伟大的演艺人员。 一些物理学家能够用一个方程式生成整个宇宙。

从公式中提取含义

东西写了，但是放在括号中。 他们尝试了-真的，哦。

数学家的大脑在物理特征上与知识多数的典型代表的大脑没有根本区别。 即使在内存和计算速度方面，差异也不是很大。 数学家如何设法理解繁琐的公式并理解它们？

答案的一部分在于能够挑选出主要的东西，并从不重要的东西中抽象出来。 您还记得，表达式由子表达式组成。 当您看到一个大而恐怖的表情时，不要急于一次打开所有的盒子，盒子，盒子和盒子，看看所有子表达式。 : , . , , . , - , , , — , , , .

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返回到有限集的沙箱，再次检查您对记号的记忆程度。 玩有限大小的小游戏。 尝试对其应用基本操作。 构建许多子集。 如果您忘记了什么是双射的 ，请在学龄前儿童的教科书中刷新您的知识。 毕竟，您从演讲前时期就知道了这个概念，只是那时还没有以任何方式调用它，是吗？ 确保您的直觉与定义和基本陈述完全一致。 如果不是这种情况，请联系专家。

离开之前，请再次环顾四周。 在沙盒的边缘，您可以看到超终极的一角。 他们的一切都很简单。 向他们问好，只是不要说您不在沙盒之外。

再次关于符号

在无聊的人中生活有多困难
说三岁的迈克尔
在无聊之中
矫正的伊戈尔，三十岁，戴着眼镜

阿贝尔群->线性空间->运算符->在线性空间中起作用。 但是下载此分支后，您可以在软件功能描述中触发“功能”一词。

您已经知道一些数学术语，并将继续学习更多。 与专家讨论相关主题时，请不要白白使用它们。 例如，为防万一，最好用“一组方法”或“一组方法”代替“一组方法”，这样没人会认为您已经在满足组公理的一组方法上建立了操作。 如果在关于数学主题的非正式交流中由于您发现自己忙于术语而没有足够的常用单词，那么最好使用所谓的元句法变量：“垃圾”，“废话”，“ shnyaga”等，它们在情感上也可能会用形容词绘画：“笨拙”，“平滑”，“病态”。 听起来不那么聪明，但是您更容易理解。 一段时间后，您将摆脱丑陋的替代词，并且您的讲话不会对语言学家或数学家造成痛苦。

不要徒劳地使用通用量词。 用普通语言表达的通用性量词由“总是”，“所有”，“所有”，“每个人”，“任何”等表示。 “从不”，“无处”等字样。 它们也代表这个量词，但带有否定，即“从不”表示“总是不”。 数学家经常用普遍性的量词从字面上解释语句，此后，在提出反例之后，他们证明了您的形式错误。 您不需要额外的压力吗？ 当然，在某些情况下可以并且应该使用通用量词。

在数学中，经常有同音。 这是单个单词或符号表示几个完全不同的概念的时候。 首先，这是由于缺乏良好的文字和字符。 其次，与自然语言不同，经过一番概括，很多不同的概念实际上是相同的。 注意到这与数学相同的数学家通常会从这种意识中经历大脑性高潮。 如果研究人员自己完成了认知道路的重要部分，就会产生特别强烈的感觉。 您也可能会遇到同样强烈的感觉。 但是，如果没有，那也没关系。 随时与专家分享您的感受。

通常，同名并不难理解，因为数学家会仔细确保所有定义都是严格和正确的。

逻辑学

您几乎必须专门处理最终对象。 这意味着您对逻辑的直观想法很可能就足够了，最重要的是，不会导致矛盾。 为了以防万一，请阅读有关惯用方法的内容，即使您不熟悉该名称，您也绝对知道其本质。

通常，逻辑是关于如何基于现有语句做出新语句。 看看周围。 你周围到处都有谚语：大，小，明显，不可理解。 您可以假定语句分为两种类型：true和false。 这是小雕像！ 你觉得怎么样

$$

$$\ int e ^ x = f（u_n）$$

这个陈述既不是真非假，它是毫无意义的（至少从数学的角度来看），因为写在等号左边的不是表达式。 您可以将dx添加到积分中，但是剩下几个自由变量，因此表达式不是语句。 他们将不得不表达某些意思或使他们联系起来，以便我们谈论真理。

好吧，让我们只考虑有意义的陈述。 它们是对还是错？ 事实证明，没有。 有些陈述既不能被证明也不能被证明；它们被称为不可解决的。 途中不太可能遇到无法解决的评论。 但是，他们肯定会碰到那些至今为止鲜活的人都不知道的真理。

如果上次您没有遵循并凝视着数学基础的深渊，您可能会注意到存在不止一种逻辑，并且有许多不同的逻辑。 幸运的是，在您的途中将不再需要产生很多悲伤的知识。 如果您认为事实总是一样而感到自在，请继续这样做。

范畴论

“脱氧核糖核酸，”我说。 -这是酸。 脱氧核糖核酸。
他悲惨地笑了笑，调整了自己的捏脸。
“酸，”他用截获的声音重复道。 “她为什么这样？”
我同情地说：“你不能给她打电话。” “除非缩写为DNA。” 是的，您想念它，Fedya，请继续阅读。
“是的，是的，”他说。 “我宁愿错过它。”
Arkady和Boris Strugatsky-三个人的故事

尽管范畴论本身几乎与集合论一样危险，但是我们需要提取一些与本节正式相关的概念。

• 邻接类。 这是从现有结构构造新结构的方法之一。 阅读定义，查看一些示例。 如果不清楚，可以跳过。 但是，如果您仍然渗透，您将获得一些了解其他事物的好处。 例如关于戒指 $$$\ mathbb {Z} _n$（稍后需要使用此内容），将其视为一类推论，而不是将其除以除法运算的结果，会更加方便。 此外，学校对向量的定义是带有箭头的线段，这对您来说似乎是荒谬的，甚至是错误的。 您可以告诉朋友，向量不是分段，而是一类分段。
• 形态学。 形态是一对对象之间的某种关系。 您从三岁开始就知道一种这种态射影-这是有限集之间的双射。 阅读同构的定义，并意识到这是双射的更一般情况。 得到很好的理解，这很重要。 如有必要，请咨询专家。 此外，您还可以阅读有关同态的知识（不要与同胚性混淆！）。 如果存在同性恋恐惧症或其他困难，可以跳过。

总的来说，整个类别理论是数学中最抽象的部分；除了小东西和箭头以外，什么也没有。 尽管对心理有一些危险，但是类别理论可以推荐用于其他类型的成瘾的替代疗法。 但是，请勿自行服药，在您的城市中，很可能有专科医生提供。

代数

老实说，我没有怀疑我从事散文演讲已有40多年了。
Jean-Baptiste Moliere-贵族商人

您从学校就应该熟悉该学科的名称。 实际上，代数与代数结构一起工作，在学校中，只有整数和有理数从结构以及实数（以强截断形式）通过。 好消息是，现在您不必解开困扰您的代数方程式。 如果您遇到任何问题，那就已经决定了。 如果有的话，计算机将为您服务，那就是铁。 您只需要了解一些特定的代数结构。

首先，重要的是要清楚地了解代数结构的概念。 阅读定义，得到很好的理解。 查看组定义。 在它的负载中是所有子组的定义，例如，monoid，半组，groupoid。 也阅读它们，但不要忘记记住。 您只需要组。 接下来，研究环和场的定义。

注意！ 避免在明确说明带有无限载体的结构的地方。 我们仍然需要一些这样的无尽对象，但是您对它们很熟悉。 即：整数环 $$$\ mathbb {Z}$，有理数字段 $$$\ mathbb {Q}$和实数领域 $$$\ mathbb {R}$。 与他们一起玩耍，记住学校规则，例如“金额不会因更改条款而改变”，并由他们证明这些结构实际上是指环/领域。 解释为什么整数不形成字段。

由于本指南的最终目标是精确地执行椭圆加密，因此您必须熟悉域上多项式的概念。 为了不研究一般定义，请联系专家，以便他仅告诉您与旅行目的有关的内容。

如果您更喜欢几何而不是代数，则可以查看场上方的椭圆曲线 $$$\ mathbb {R}$。 但是请记住，尽管名称如此，这些视觉对象还是完全偏离了您的路径。

为了感兴趣，您还可以考虑其他代数结构的定义：代数（是的，代数就是这样的代数结构；不要惊慌，这不是递归，而是同义的），向量（线性）空间...

返回路线。 您正在等待最后一场比赛 。 阅读有关它们的文章。 实际上，并非一切都是必需的。 为了节省精力，最好立即寻求专家的建议，这是另一种情况。 实现有限域的分类，很简单。 顺便说一句，知道为什么有限域也称为Galois域将很有趣。 记住20年来的所作所为，并感到as愧。

如果您喜欢拖钓，并且欣赏自己的能力，请尝试在主题论坛上认识那些贩运者和反贩运者，并将他们聚在一起。

信息论

如果您是1970年以后出生的，那么您很可能在中学时就被告知了比特和字节。 在基础科学中字节不是特别需要，但是位的概念需要清楚地知道。 如有必要，请看一看教科书。

计算或在教科书中找到给定长度的总位序列数。 通过按顺序将字母编码来使用字母。 想一想或读教科书中如何编码整数。 考虑一下在信息论中有用的是以二为底的对数。

概率论

任何对获取随机数的算术方法无能为力的人，毫无疑问是有罪的。
约翰·冯·诺伊曼

对概率论的误解及其在实际问题中的应用是人为错误的最重要来源。 这是一个非常重要的主题，请尝试花一些时间来熟悉其基础知识。 现在未必一定要这样，因为对于我们路线的最终目标而言，仅应用其中的一个小节就足够了-随机数生成。

现在您已经足够认识到生成随机数的问题非常复杂，整个机构已经处理了数十年。 甚至确定什么机会都是非常复杂的。 您不能随便拿一个随机数。 不幸的是，存在一个语言陷阱，很难理解该主题。 随机（random）一词以及其俄语中的“随机（random）”一词虽然程度较小，但实际上表示“可怕”，而对于许多应用程序（尤其是密码学），您需要选择远离随机性。

如果您觉得您对概率论非常了解，请咨询专家。 如果时间允许，请着手研究量子力学的多世界（Everett）解释。 不要被带走，您正在家里等待。

可计算性理论

是否有可能使该编译器始终警告程序可以循环运行？

您现在不需要此部分。 意识到对于任何数学定义的函数都没有一种算法可以计算出它，这是非常有用的。 如果您感到自己有力量，请浏览问题的历史，尝试了解基本的定义和结果。 不要过度劳累，此主题是可选的。

只是为了减轻您对自己的无知的压力，我将通知您，题词中提出的问题是由一位受人尊敬的物理学和数学教授向我提出的，他的兴趣领域与计算机科学相距甚远。 如果您了解这种情况，那么您的旅行很有用。 鼓励自己。

复杂性理论

不幸的是，古典科学已经发展，因此严格说来，复杂性理论是基于数学分析的极限理论。 这是因为自私的数学家并未照顾您。 他们走近了已经站在巨人肩上的复杂性，并使用了他们自己拥有的完美工具。 为了实现我们的谦虚目标，有可能建立我们自己的小型复杂性理论，即使是超极简主义者也希望如此。 但是，举例来说，我既无力也无动力完成一幅漂亮的风景画。 因此，您仍然必须转向所谓的matan一词。

数学分析

我不是植物人，我只是爱马坦。

阅读顺序限制的定义（不需要功能限制）。 数学家喜欢进行概括，但用“一组实数”代替“某某空间”之类的所有表达式，但您不需要它。 确保您可以解析包含单词的表达式 $$$\ lim$。 您很可能会遇到困难，这很正常。 相信我，极限的概念非常直观，您只需要激发直觉的相应部分即可。 要求专家对定义的文本发表评论。 绘制图形，按照简单的顺序进行操作。 如果时间允许，可以游览第二个绝佳的极限。

即使您对限制没有完全的了解，也可以立即进行O标记。 您只需要“ O”大即可 ，但负载却要“ O”小，以及各种θ和ω。 不要劳累，一开始，您只需要大致了解它们是什么。 $$$O（1），O（N），O（\ log N）$。 找出答案，而是尝试自己猜测原因 $$$O（\日志N）$只是一个对数，由于某种原因而不是对数。 然后休息一下，握在手中 $$$O（N ^ 2）$和 $$$O（2 ^ N）$。 看一下 $$$O（N ^ k）$（记住上下文：这里N是一个变量，k是一个参数）。 想一想为什么他们在谈论多项式增长时 $$$N ^ k$-只是一个多项式，也就是多项式的特殊情况，但是它们并没有在“ O”下放置很多成熟的多项式。 （即使您不会讲拉丁语，您也可能已经猜到多项式与多项式相同，而多项式则是多项式。）提示：原因与“仅仅是对数而不是对数”的原因非常相似。接地。” 与专家联系以澄清这些问题。 学会相互比较这些“ O”。

注意：当数学符号不一致时，o符号是一个罕见的例子。 在记录中 $$$f（N）= O（N）$使用等号，但表示其他含义，即：“功能 $$$f（N）$属于阶级 $$$O（N）$”。 也就是说，应使用非对称符号 $$$\在$但这是传统。 好吧，现在您看到数学家并非一无是处。 意识到这一事实，也许对您来说会变得容易一些。

计算复杂性理论-续

对数-一个函数，原则上是有限的。

稍稍插入Matan之后，您就可以轻松掌握用于测量渐进复杂度的秤。 算法的复杂性通常以执行时间来衡量：有时，他们谈论使用时钟测量的通常时间（嗯，这个浏览器选项卡何时加载？），有时则是关于处理器周期或抽象计算机的步骤数。 那些更倾向于物理学的人更喜欢以能量单位来衡量复杂性，例如，以图灵机消耗的柴油量为单位。 所有这些测量方法大致相同。 重要的是要知道花费的时间（或能量）如何取决于算法输入数据的大小。 在渐近估计中，“ O”下的N为N，是输入数据的大小（以位表示）。 专家们同意认为，如果算法的复杂度增长不快于多项式，那么它“容易”，否则“困难”。 适当地回过头来，记住在凉爽方面（即，在渐近生长的速度方面）如何相互比较功能是适当的。

如果您发现题词中的陈述是错误的，请鼓励自己。 他是由大学老师以计算方法交付的。 知道这种情况后，请特别考虑他的想法。

单向功能。 阅读定义。 . , , , .

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致谢

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