概率论。 贝叶斯公式

让我们进行一些实验。

$$$w_1，...，w_N$ - 基本事件 （实验的基本结果）。
$$$\ Omega = \ {w_i \} _ {i = 1} ^ N$ - 基本事件的空间 （实验所有可能的基本结果的集合）。

定义1：

设置系统 $$$\西格玛$ 如果满足以下属性，则称为sigma代数 ：

1. $$$\ Omega \ in \ Sigma;$
2. $$$A \ in \ Sigma \ Rightarrow \ overline {A} \ in \ Sigma;$
3. $$$A_1，A_2，... \ in \ Sigma \ Rightarrow \ bigcup \ limits_ {i = 1} ^ \ infty A_i \ in \ Sigma$

从定义1的属性1和2可以得出： $$$\ emptyset \ in \ Sigma$ 。 从定义1的属性2和3可以得出： $$$\ bigcap \ limits_ {i = 1} ^ \ infty A_i \ in \ Sigma \ space（$ 因为 $$$A_i \ in \ Sigma \ Rightarrow_ {St. 3} \上线{A_i} \ in \ Sigma \ Rightarrow_ {St. 3} \ bigcup \ limits_ {i = 1} ^ \ infty \ overline {A_i} \ in \ Sigma \ Rightarrow_ {St. 2} \\ \ Rightarrow_ {St. 2} \上线{\ bigcup \ limits_ {i = 1} ^ \ infty \ overline {A_i}} \ in \ Sigma \ Rightarrow \ bigcap \ limits_ {i = 1} ^ \ infty A_i \ in \ Sigma）$

定义2：

• $$- 事件 $$$\ forall A \ in \ Sigma;$
• $$$P \冒号\ Sigma \到\ mathbb R$ -在以下情况下的概率测度 （概率）：
  
  1. $$$P（\ Sigma）= 1;$
  2. $$$\ forall A \ in \ Sigma \ space \ space P（A）\ geqslant 0;$
  3. $$$\ {A_i \} _ {i = 1} ^ \ infty，\ space A_i \ in \ Sigma，\ space A_i \ cap A_j = \ emptyset$ 在 $$$i \ not = j \ Rightarrow P（\ bigcup \ limits_ {i = 1} ^ \ infty A_i）= \ sum \ limits_ {i = 1} ^ \ infty P（A_i）$

概率属性：

1. $$$P（A）\ leqslant 1;$
2. $$$P（A）= 1-P（\上线{A}）;$
3. $$$P（\ emptyset）= 0;$
4. $$$A \ subseteq B \ Rightarrow P（A）\ leqslant P（B）;$
5. $$$P（A \杯子B）= P（A）+ P（B）-P（A \盖子B）;$
6. $$$\ forall \ {A_i \} _ {i = 1} ^ N \\ \ space \ space P（\ bigcup \ limits_ {i = 1} ^ N A_i）= \ sum \ limits_ {i = 1} ^ NP（ A_i）-\ sum \ limits_ {i <j} P（A_i \ cap A_j）+ \ sum \ limits_ {i <j <k} P（A_i \ cap A_j \ cap A_k）-... + \\ +（ -1）^ {n-1} P（A_1 \ cap A_2 \ cap ... \ cap A_n）;$
7. $$$\ forall \ {A_i \} _ {i = 1} ^ \ infty \冒号（A_ {i + 1} \ subseteq A_i，\ space \ bigcap \ limits_ {i = 1} ^ \ infty A_i = \ emptyset）\ space \ space \ space \ lim \ limits_ {i \ to \ infty} P（A_i）= 0$

定义3：

$$$（\ Omega，\ Sigma，P）$ 概率空间 。

定义4：

$$$\ forall A，B \ in \ Sigma：P（B）> 0$
$$$\ qquad P（A | B）= \ frac {P（AB）} {P（B）}$ -事件的条件概率 $$受事件影响 $$$B$ 。

定义5：

让 $$$\ {A_i \} _ {i = 1} ^ N$ 在哪里 $$$\ forall i \ in \上标{1，N} A_i \ in \ Sigma$ 被执行 $$$\ forall i，j \ in \上划线{1，N} \空格A_i \ cap A_j = \ emptyset$ 和 $$$\ bigcup \ limits_ {i = 1} ^ N A_i = \ Omega$ 。 然后 $$$\ {A_i \} _ {i = 1} ^ N$ 称为基本事件空间的分区 。

定理1（总概率公式）：

$$$\ {A_i \} _ {i = 1} ^ N$ -基本事件空间的划分， $$$\ forall i \ \上划线{1，N} \空格P（A_i）> 0$ 。
然后 $$$\ forall B \ in \ Sigma \ quad P（B）= \ sum \ limits_ {i = 1} ^ NP（B | A_i）P（A_i）$ 。

定理2（贝叶斯公式）：

$$$\ {A_i \} _ {i = 1} ^ N$ -基本事件空间的划分， $$$\ forall i \ \上划线{1，N} \空格P（A_i）> 0$ 。

然后 $$$\ forall B \ in \ Sigma \冒号P（B）> 0 \ Quad P（A_i | B）= \ frac {P（B | A_i）P（A_i）} {\ sum \ limits_ {i = 1} ^ NP（B | A_i）P（A_i）} = \ frac {P（B | A_i）P（A_i）} {P（B）}$ 。

使用贝叶斯公式，我们可以高估先验概率（ $$$P（A_i）$ ）基于观察（ $$$P（B | A_i）$ ），并对现实有了全新的认识。

一个例子 ：

假设有一个测试可单独应用于一个人并确定：他是否感染了“ X”病毒？ 我们假设测试为特定人员提供了正确的判断，则该测试成功。 已知该测试的成功概率为0.95,0.05是第一种错误（假阳性，即该测试通过了肯定的判定，并且该人是健康的）和第二种错误（假阴性，即。测试通过了否定判决，并且该人病了。 为了清楚起见，一个肯定的判断=“测试”说一个人感染了病毒。 还已知有1％的人口感染了该病毒。 让某人对测试做出正面评价。 他真正生病的可能性有多大？

表示： $$$t$ -测试结果， $$$d$ -病毒的存在。 然后，根据总概率公式：

$$

$$P（t = 1）= P（t = 1 | d = 1）P（d = 1）+ P（t = 1 | d = 0）P（d = 0）$$

根据贝叶斯定理：

$$

$$P（d = 1 | t = 1）= \ frac {P（t = 1 | d = 1）P（d = 1）} {P（t = 1 | d = 1）P（d = 1）+ P（t = 1 | d = 0）P（d = 0）} = \\ = \压裂{0.95 \ times0.01} {0.95 \ times0.01 + 0.05 \ times0.99} = 0.16$$

事实证明，在测试结果呈阳性的情况下，被“ X”病毒感染的可能性为0.16。 为什么会这样呢？ 最初，概率为0.01的人感染了“ X”病毒，即使概率为0.05，测试也将失败。 也就是说，在只有1％的人群感染这种病毒的情况下，如果测试结果为阳性，则测试错误0.05的概率对一个人真正生病的可能性有重大影响。

二手文献清单：

• “概率论基础。 教科书 朱可夫斯基 Rodionov，莫斯科物理技术研究所，莫斯科，2015；
• “深度学习。 沉浸在神经网络世界中”，S。Nikulenko，A。Kadurin，E。Arkhangelskaya，PETER，2018年。